Numero di elementi di ordine n nel gruppo simmetrico Sn.

Danyzzz
Ciao a tutti ragazzi,

Su una traccia passata d'esame ho trovato questo quesito:
• Calcolare il numero di elementi di ordine 6 nel gruppo simmetrico S6.

Con la relativa soluzione:
• Gli elementi di ordine 6 sono i 6-cicli e i prodotti di un 3-ciclo e una trasposizione disgiunti.
Procedendo come fatto a lezione più volte, si vede che i 6-cicli sono 5! = 120, mentre i prodotti
disgiunti di 3-cicli e trasposizioni sono 15 · 4 · 2! = 120. In totale, abbiamo 240 elementi di ordine
6 in S6.

C'è qualcuno che potrebbe spiegarmelo in modo discorsivo? Queste informazioni che trovo nella soluzione non mi sono chiare...
• A) si vede che i 6-cicli sono 5! = 120.
• B) Gli elementi di ordine 6 sono i 6-cicli e i prodotti di un 3-ciclo e una trasposizione disgiunti.
• C) I prodotti disgiunti di 3-cicli e trasposizioni sono 15 · 4 · 2!

Grazie a tutti

Risposte
vict85
Per il punto (A), si può considerare il valore \(1\) come punto di partenza del ciclo. Il ciclo può mandare 1 in 5 diversi valori. Una volta fissato questo valore, ci sono 4 diversi possibili valori in cui questo valore può essere mandato... e così via.

Per il punto (B), dovresti fare mente locale sulla teoria. Conosci il legame tra scomposizione in cicli disgiunti e ordine della permutazione?

Per il punto (C), segui la traccia che ho usato per (A).

Danyzzz
Grazie per avermi risposto :)

A) ok mi è chiaro
B) Credo che si stia riferendo quindi ad un prodotto tra un 3-ciclo e un 2-ciclo (trasposizione), è cosi?
C) Non riesco a seguirti...forse c'è qulche formula da conoscere?

vict85
Si fa riferimento alle permutazioni del tipo \(\displaystyle (abc)(de) \) . Per esempio, alcune di queste permutazioni sono:
\(\displaystyle (123)(45) \)
\(\displaystyle (132)(45) \)
\(\displaystyle (123)(46) \)
\(\displaystyle (132)(46) \)
\(\displaystyle (123)(56) \)
\(\displaystyle (132)(56) \)

Danyzzz
Ho l'esame domani pomeriggio spero che capire il ragionamento...
Invce come fa dire che "I prodotti disgiunti di 3-cicli e trasposizioni sono 15 · 4 · 2!" ?

Grazie

vict85
Oggi pomeriggio non ci sarò io a suggerirti, dovresti cercare di ragionare sul problema piuttosto che cercare risposte.
Ti darò un aiuto, ma devi essere tu a finire: per ogni 3-ciclo, hai solo 3 trasposizioni disgiunte da lui. In questo caso, le si conta notando che ogni trasposizione disgiunta lascia un solo elemento fisso quando moltiplicata per il 3-ciclo.

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