Numeri primi...

[gianpierovignola]

Dato un numero primo "P" e il primo successivo "Z" il numero N di numeri compresi fra P e Z è minore o uguale al numero del primo precedente a P.

in altre parole...

dato un insieme di numeri primi consecutivi P1, P2, P3:
(P3-P2) <= P1

Spero di essermi spiegato bene... ho provato con i numeri primi < di 10^7
dimostrazione?!?!?!?

[kobeilprofeta]

Ho guardato ora la presentazione della teoria degli specchi... Carina.
Ma a questo punto ti invito a trovare un'applicazione pratica di questa teoria ed una dimostrazione matematica che non sia grafica (questa non credo sia facile).

Io credo di aver trovato una applicazione utile (chiedo a gente come zero87 o altri di commentare):

Consideriamo $n$ numeri primi, quindi $p_1,p_2,...,p_n$ ed il loro prodotto $g$.
Prendiamo ad es 2,3,5,7,11, il m.c.m. è uguale al loro prodotto (essendo primi tra loro).
Il prodotto $g$ è uguale a $2310$ e $g/2=1155$.
scegliamo un numero primo $x$ tale che $p_n
Es:
Scelgo $877$ che è compreso tra 11 e 1155 e calcolo $y$
$y=2310-877=1433$ che è anch'esso primo.

In questo modo avendo $n$ numeri primi posso calcolarne facilmente un altro, che non sarà necessariamente l' n+1esimo.

[Stellinelm]

Bravo Giampiero ... continua cosi .

Purtroppo però questa riflessione l'ha fatta Christian Goldbach .

Il prodotto di $n$ numeri primi , in cui è compreso anche il numero primo $2$ è un intero pari $a$ ,
esprimbile , secondo la congettura di Goldbach , come $a=b+c$ ,
dove $b,c$ sono due numeri primi non per forza distinti .
E' normale che se $a$ lo esprimiamo come somma di $2$ primi diversi ,
uno sarà minore ad $a/2$ ed uno sarà maggiore $a/2$.

Nello specifico , uno primo sarà maggiore $g/2$ ed uno minore ;
calcolare il minimo comune multiplo di n primi e dividerlo per 2 ,
non è altro che affermare che dato un intero pari (uguale al prodotto di n numeri primi)
volendo scriverlo come somma di 2 primi distinti , uno di tali primi è maggiore del $(m.c.m)/2$ ed uno è maggiore di $(m.c.m)/2$ ...



Edit: grazie zero .

[Zero87]

"kobeilprofeta":chiedo a gente come zero87 o altri di commentare

Grazie per la fiducia ... però devo dire che la teoria dello specchio - generalmente - non vale.

Senza che faccio i calcoli (ma non è per presunzione, per carità!), basta prendere come minimo un numero di primi maggiori di 4 in modo che vale questa cosa:
"esiste $p_j$ primo diverso da quelli prima tale che $p_j^2 < \text{mcm}$"
dove con "mcm" sottintendo che è quello tra i primi che si esaminano.

In questo modo
$p_j^2$ non è ovviamente primo ma $g-p_j^2$ probabilmente lo è.
Nell'altro post che ho segnalato stamattina dove ti ho risposto sempre riguardo alla teoria dello specchio, ho fatto un esempio numerico ($121$ e $89$ rispetto a $210 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$: 121 non è primo ma 89 sì).

Il punto di vista di Stellinelm, invece, è più interessante e vale (ammesso che valga la congettura di Goldbach). Comunque c'è da precisare che queste due - cioè specchio e Goldbach - sono due cose collegate ma non uguali (e nemmeno una l'estensione dell'altra).
- Goldbach vale per ogni pari maggiore o uguale a 4 e ci dice che ogni pari di questo tipo si può scrivere come somma di due primi che sono ovviamente specchiati rispetto alla sua metà, ma non vale anche per gli altri (nel senso $12=5+7$ ma $12=3+9$ dove 3 è primo ma 9 no).
- Lo specchio lo intendi solo per i mcm (quindi non per tutti i pari ma per pochi pari) e intendi anche che ogni primo ha il suo specchio (cosa che però si trovano controesempi sul fatto che non vale).

Ciao e buon fine settimana

[gianpierovignola]

Il collegamento fra la congettura di Goldbach e quella mia dello specchio c'è sicuramente... anche perchè l'idea di quest'ultima mi è venuta proprio analizzando la prima, in pratica detto in parole povere, tentavo di trovarle una dimostrazione

nell'ultima diapositiva della mia presentazione forse son sono stato molto chiaro ma intendevo dire che la teoria dello specchio non è sempre valida (come mi avete fatto notare anche voi) ma con primi dell'insieme dato >5 esistono delle eccezioni che poi corrispondono ai multipli dei primi moltiplicati per altri primi.

es. (preso dalla presentazione)
Dato l’insieme (p): {2,3,5,7}
il loro mcm è: 210
quindi lo specchio è: 105
tutti i primi < 105 hanno un simmetrico primo tranne i numeri il cui simmetrico è un multiplo di primi > 7 il cui prodotto è >105 e <210.in particolare non viene considerato primo il simmetrico di:
1 che è 209 (11*19)
23 che è 187 (11*17)
41 che è 169 (13*13)
67 che è 143 (11*13)
89 che è 121 (11*11)

Con questo smentisco anche l'affermazione di kobeilprofeta

"kobeilprofeta":
scegliamo un numero primo $ x $ tale che $ p_n .

e confermo quella di Zero87

"Zero87":
Senza che faccio i calcoli (ma non è per presunzione, per carità!), basta prendere come minimo un numero di primi maggiori di 4 in modo che vale questa cosa:
"esiste $ p_j $ primo diverso da quelli prima tale che $ p_j^2 < \text{mcm} $"
dove con "mcm" sottintendo che è quello tra i primi che si esaminano.

In questo modo
$ p_j^2 $ non è ovviamente primo ma $ g-p_j^2 $ probabilmente lo è.

[Stellinelm]

Continua cosi Giampiero , ma non trascurare gli studi "concreti" per questa passione .
Che tipo di dimostrazione avevi pensato ?
Ricordati però che quando fai una dimostrazione deve essere valida sempre , senza eccezioni ;
o meglio , se tendi di dimostrare una congettura altrui che non prevede eccezioni , allora la tua dimostrazione in merito
non deve averne ; se , invece , fai una dimostrazioni per conto tuo , nella cui asserzioni ammetti dell'eccezioni ,
lo puoi anche fare .
Visto che ti piace teoria dei numeri , prova a vedere la congettura abc .

[gianpierovignola]

Grazie mille per i complimenti, la dimostrazione cercavo di trovarla ma non l'ho trovata (ancora) XD.
proverò a cercare qualcosa sulla congettura abc , non ne ho mai sentito nominare ma grazie per la proposta .

[Stellinelm]

"gianpierovignola":Grazie mille per i complimenti, la dimostrazione cercavo di trovarla ma non l'ho trovata (ancora) XD.
proverò a cercare qualcosa sulla congettura abc , non ne ho mai sentito nominare ma grazie per la proposta .

Se riesci a dimostrarla come effetto domino ne dimostri tantissime altre , o meglio le convalidi , perchè sono state dimostrate assumendo come vera la congettura abc ..

[gianpierovignola]

Dimostrare una congettura non è una cosa da poco, presumo, qui ne parliamo quasi come una cosa normale XD siamo ad alti livelli

[Stellinelm]

Vero !

[Martino]

Questo l'ho trovato interessante:

The Riemann hypothesis is equivalent to the statement that an integer has an equal probability of having an odd number or an even number of distinct prime factors.

[Borwein, Choi, Rooney, Weirathmueller, "The Riemann Hypothesis: A Resource for the Aficionado and Virtuoso Alike"]

[Zero87]

Questa m'è nuova

Comunque mi ricordo che ne avevo viste una ventina di conseguenze della RH (trattandone solo alcune importanti dato che molte riguardavano l'algebra ): ma so che ce ne sono davvero davvero tante di conseguenze della RH...

'notte forum

[Stellinelm]

"Martino":Questo l'ho trovato interessante:

The Riemann hypothesis is equivalent to the statement that an integer has an equal probability of having an odd number or an even number of distinct prime factors.

[Borwein, Choi, Rooney, Weirathmueller, "The Riemann Hypothesis: A Resource for the Aficionado and Virtuoso Alike"]

@Martino : me lo puoi spiegare nel modi più semplice possibile :

La traduzione esatta in italiano è questa :
"L'ipotesi di Riemann è equiva ad dire che un intero ha la stessa probabilità di avere un numero dispari o un numero pari di fattori primi distinti " ?

[Martino]

Sì certo.

[Stellinelm]

"Martino":Sì certo.

grz

[Stellinelm]

se si dimostra che un intero ha la stessa probabilità di avere un numero dispari o un numero pari di fattori primi distinti la RH è dimostrata , Mmmm interessante .

Esistino altre formulazioni equivalenti di facile comprensione ?

[Zero87]

"Stellinelm":Esistino altre formulazioni equivalenti di facile comprensione ?

La comprensione diventa facile se si hanno i mezzi per comprenderla: se hai conoscenze di analisi complessa o di teoria dei numeri potresti trovare qualche formulazione più "masticabile" dell'ipotesi in sé.

Ci sono molte letture interessanti: non mi stancherò mai di consigliare il Derbishire che comunque parte da conoscenze di liceo, il libro di Ribenboim (the new book of prime number records) che parla di tutte le problematiche possibili e immaginabili - a livello descrittivo e aggiungerei anche comprensibile - dei problemi sui numeri primi.
Purtroppo sono in english, ma mi pare di aver capito che oramai la lingua della matematica è l'inglese...

Se le conoscenze sono avanzate di testi (inglesi) ce ne sono uno sproposito: Titchmarsh e Edwards per la zeta, e Hardy-Wright, Apostol per la teoria dei numeri.

Se le conoscenze sono intermedie (ma tra di esse c'è comunque l'analisi, meglio ancora se l'analisi complessa) segnalo
http://www.math.unipd.it/~frank/Seminar ... n-text.pdf
(in esso ci sono molte molte conseguenze e formulazioni alternative... anche se accennate)
poi
http://digilander.libero.it/MarcelloSer ... azione.pdf
https://www.matematicamente.it/approfond ... 303078022/
[ot]Per l'ultimo, non che amo fare pubblicità a Zero87, ma il suo obiettivo era quello di creare un testo intermedio alla portata degli studenti universitari di livello della triennale...
viewtopic.php?p=746684#p746684[/ot]

[Stellinelm]

@zero :

Per la formulazione equivalente segnalata da Martino , ci sono esempi numeri ?

preferisco la lingua italiana ,
visto chè è già tanto se "una cosa matematica" la comprendo se espressa in italiano

[Martino]

Un'altra formulazione equivalente dell'ipotesi di Riemann è la seguente (cf. qui, teorema di Robin):

Detta [tex]\sigma(n)[/tex] la somma dei divisori (positivi) di [tex]n[/tex], si ha [tex]\sigma(n) \leq e^{\gamma} n \log \log n[/tex] per ogni [tex]n \geq 5041[/tex], dove [tex]\gamma[/tex] è la costante di Eulero-Mascheroni.

@Stellinelm, credo che a cercare cose scritte in italiano non si trovi quasi niente. Ti suggerisco di provare ad abituarti all'inglese, non è così difficile ed è estremamente utile.

[gio73]

"Martino":

@Stellinelm,Ti suggerisco di provare ad abituarti all'inglese, non è così difficile ed è estremamente utile.

Credo che stellinelm conosca l'inglese: è già intervenuta in lingua nell'English corner.

[Martino]

"Stellinelm":Per la formulazione equivalente segnalata da Martino , ci sono esempi numeri ?

L'ho messa su mathematica, la probabilità che [tex]k \in \{1,...,n\}[/tex] abbia un numero dispari di divisori primi sembra non discostarsi troppo da [tex]1/2[/tex]. Chiamata [tex]f(n)[/tex] questa probabilità, ecco alcuni valori (approssimati all'ultima cifra decimale):

[tex]f(300) = 0.456667[/tex]
[tex]f(1000) = 0.469[/tex]
[tex]f(10000) = 0.5009[/tex]
[tex]f(40000) = 0.503775[/tex]
[tex]f(150000) = 0.503073[/tex]
[tex]f(200000) = 0.502725[/tex]
[tex]f(600000) = 0.501725[/tex]