Numeri complessi: questione di notazioni?
Salve! Studiando le basi della costruzione del campo dei numeri complessi, mi sono ritrovato ad affrontare due modelli diversi per costruire tale insieme.
(1) in questo metodo, più intuitivo, si determinava in primo luogo un numero $i$ tale che $i^2=-1$ (nel tentativo di dare una soluzione all'equazione $x^2=-1$, insoluta in $\mathbb{R}$); così facendo si potrebbe affermare che $\mathbb{C} :={a+ib : a,b\in \mathbb{R}}$ in modo che il prodotto e la somma siano definiti nel modo che tutti conosciamo....
(2) in questo secondo metodo, si considerano invece le coppie ordinate di reali $(a,b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, considerando l'insieme dei numeri complessi come l'insieme $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ e definendo somma e prodotto nel modo che conosciamo....
Non specifico le definizioni di somma e prodotto poiché, al di là del fatto che si conoscono già, sono irrilevanti al fine della mia domanda.
Mettendo a confronto questi due metodi di costruzione, che rapporto si ha tra $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$?
Mi spiego, o meglio, vi dico cosa ne penso..
Studiando mi è parso di capire che usando il primo metodo si arriva a dire che $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}$, ovvero $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R}$ sono isomorfi, tuttavia usando il secondo metodo sembra che si arrivi a porre $\mathbb{C}:=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$
Sì, lo so.. Se non ho sbagliato nei ragionamenti e c'è sul serio questa differenza, allora è molto sottile.. Ma mi piacerebbe che qualcuno me la confermi.. Mi piacerebbe essere illuminato.. Sarebbe opportuna questa situazione o si avrebbe una contraddizione (seppur estremamente sottile)?
Vi ringrazio per la pazienza!! ^^
(1) in questo metodo, più intuitivo, si determinava in primo luogo un numero $i$ tale che $i^2=-1$ (nel tentativo di dare una soluzione all'equazione $x^2=-1$, insoluta in $\mathbb{R}$); così facendo si potrebbe affermare che $\mathbb{C} :={a+ib : a,b\in \mathbb{R}}$ in modo che il prodotto e la somma siano definiti nel modo che tutti conosciamo....
(2) in questo secondo metodo, si considerano invece le coppie ordinate di reali $(a,b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, considerando l'insieme dei numeri complessi come l'insieme $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ e definendo somma e prodotto nel modo che conosciamo....
Non specifico le definizioni di somma e prodotto poiché, al di là del fatto che si conoscono già, sono irrilevanti al fine della mia domanda.
Mettendo a confronto questi due metodi di costruzione, che rapporto si ha tra $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$?
Mi spiego, o meglio, vi dico cosa ne penso..
Studiando mi è parso di capire che usando il primo metodo si arriva a dire che $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}$, ovvero $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R}$ sono isomorfi, tuttavia usando il secondo metodo sembra che si arrivi a porre $\mathbb{C}:=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$
Sì, lo so.. Se non ho sbagliato nei ragionamenti e c'è sul serio questa differenza, allora è molto sottile.. Ma mi piacerebbe che qualcuno me la confermi.. Mi piacerebbe essere illuminato.. Sarebbe opportuna questa situazione o si avrebbe una contraddizione (seppur estremamente sottile)?
Vi ringrazio per la pazienza!! ^^
Risposte
Credo che la risposta alla tua domanda sia semplicemente la definizione di somma e prodotto nel campo complesso.
Somma:
$(a,b)+(c,d) =(a+c,b+d)$
Prodotto:
$(a,b)(c,d) = (ac - bd, ad + bc)$
$(a,b),(c,d) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}$
Un numero complesso è tale solo se ha la somma e il prodotto definiti così. Puoi trovare una corrispondenza biunivoca con $\mathbb{C}$ e le coppie $\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}$, ma questo non vuol dire che $(a,b) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ sia in generale un numero complesso. Lo è solo se valgono quelle due operazioni.
$i$ è soltanto una diversa notazione che permette di scrivere $(a,b)$ come $a+ib$.
Visto come è definito il prodotto per i numeri complessi $\exists (a,b),(c,d) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R} | (a,b)(c,d) = (k,0) $ con $ k \in \mathbb{R}^- $ (ad esempio $(0,1)(0,1)=(-1,0)$). Credo che la confusione sia nel fatto che $(k,0)$ si possa scrivere come $k+i0$ che qualcuno abbrevia in $k$, ma questo non vuol dire che $k+i0$ sia un numero reale. Tutt'altro è ancora un numero immaginario, con parte complessa $=0$. Il fatto è che mi sembra sia "brutto" abbreviare $k+i0$ perchè $k$ è la parte reale di un numero immaginario, quindi abbreviandolo diventa ambiguo : ci stiamo riferendo alla parte reale $k$ o al numero immaginario$(k,0)$?
Somma:
$(a,b)+(c,d) =(a+c,b+d)$
Prodotto:
$(a,b)(c,d) = (ac - bd, ad + bc)$
$(a,b),(c,d) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}$
Un numero complesso è tale solo se ha la somma e il prodotto definiti così. Puoi trovare una corrispondenza biunivoca con $\mathbb{C}$ e le coppie $\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}$, ma questo non vuol dire che $(a,b) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}$ sia in generale un numero complesso. Lo è solo se valgono quelle due operazioni.
$i$ è soltanto una diversa notazione che permette di scrivere $(a,b)$ come $a+ib$.
Visto come è definito il prodotto per i numeri complessi $\exists (a,b),(c,d) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R} | (a,b)(c,d) = (k,0) $ con $ k \in \mathbb{R}^- $ (ad esempio $(0,1)(0,1)=(-1,0)$). Credo che la confusione sia nel fatto che $(k,0)$ si possa scrivere come $k+i0$ che qualcuno abbrevia in $k$, ma questo non vuol dire che $k+i0$ sia un numero reale. Tutt'altro è ancora un numero immaginario, con parte complessa $=0$. Il fatto è che mi sembra sia "brutto" abbreviare $k+i0$ perchè $k$ è la parte reale di un numero immaginario, quindi abbreviandolo diventa ambiguo : ci stiamo riferendo alla parte reale $k$ o al numero immaginario$(k,0)$?
Ciao! Innanzitutto grazie per la risposta.. Volevo dire: ma in $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ non valgono canonicamente quelle operazioni? Studiando su un libro di geometria e algebra lineare la definizione di insieme dei numeri complessi che l'autore predilige è la seguente:
"Chiameremo insieme dei numeri complessi l'insieme $\mathbb{R} \times \mathbb{R} $ con le operazioni di somma e prodotto definite da... [come da te definte, Vitalluni]"... Quindi i complessi in tal caso non gli sta considerando come un insieme isomorfo allo spazio vettoriale standard di dimensione $2$ costruito sul campo $\mathbb{R}$, ma gli sta considerando proprio come tale spazio vettoriale.. "Numeri complessi" (da quanto sembra voler dire) è solo un altro modo di chiamare lo spazio vettoriale standard $\mathbb{R}^2$ ("...che d'ora in po chiameremo $\mathbb{C}$" specifica dopo...), dotato della somma tra vettori e del prodotto come da te introdotto.
Tra il dire che due insiemi sono isomorfi e il dire che sono uguali che differenza corre in questo caso? Quali possibili problemi potrebbero derivarne nell'usare una definizione piuttosto che un'altra (vista questa sottile differenza)?
"Chiameremo insieme dei numeri complessi l'insieme $\mathbb{R} \times \mathbb{R} $ con le operazioni di somma e prodotto definite da... [come da te definte, Vitalluni]"... Quindi i complessi in tal caso non gli sta considerando come un insieme isomorfo allo spazio vettoriale standard di dimensione $2$ costruito sul campo $\mathbb{R}$, ma gli sta considerando proprio come tale spazio vettoriale.. "Numeri complessi" (da quanto sembra voler dire) è solo un altro modo di chiamare lo spazio vettoriale standard $\mathbb{R}^2$ ("...che d'ora in po chiameremo $\mathbb{C}$" specifica dopo...), dotato della somma tra vettori e del prodotto come da te introdotto.
Tra il dire che due insiemi sono isomorfi e il dire che sono uguali che differenza corre in questo caso? Quali possibili problemi potrebbero derivarne nell'usare una definizione piuttosto che un'altra (vista questa sottile differenza)?
"Zuzzerello":e chi ti impedisce di definire quelle operazioni in modo diverso?
ma in $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ non valgono canonicamente quelle operazioni?
Due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi (in questo caso è vero hanno le stesse coppie di numeri reali ovvero tutte le coppie di $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ ).
Due strutture algebriche sono isomorfe se riesci a farle corrispondere biunivocamente con delle applicazioni usando le operazioni che sono già definite su di esse.
Se ad esempio definisci su $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ la somma come
$(a,b)+(c,d)=(a-b,c-d)$
Non riesci più a far corrispondere $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ con $ \mathbb{C}$.
Il fatto che 2 insiemi con certe operazioni siano isomorfi non vuol dire che siano uguali, e il fatto che siano uguali non vuol dire che definendo certe operazioni diventino isomorfi.
Ad esempio I numeri naturali sono isomorfi con i multipli di 2 ( con somma e prodotto definite come si fa usualmente), ma i due insiemi sono diversi perchè non hanno gli stessi elementi.
E quindi le due definizioni da me esposte, anche se passate per buone entrambe, portano a problemi? O.o
Come puoi dire che il primo metodo porta a concludere che $RR$ e $CC$ siano isomorfi se l'equazione $x^2+1=0$ in uno ha soluzione e nell'altro no?
Entrambi i metodi sono equivalenti, e sebbene il primo sia più informale e il secondo più formale, portano a costruire strutture isomorfe, quindi algebricamente indistinguibili.
Ma è bene ricordare che storicamente l'interpretazione geometrica dei complessi è sorta solo dopo l'introduzione ad hoc dell'unità immaginaria.
Poi, se non erro, è possibile anche formalizzare la prima costruzione definendo $CC$ come campo di spezzamento del polinomio $x^2+1=0$.
Occorre specificare che $NN$ e l'insieme dei multipli di due sono isomorfi come sistemi di Peano, ma non dal punto di vista algebrico. La moltiplicazione definita usualmente, sull'insieme dei multipli di 2, non ha elemento neutro. La somma invece si comporta in modo analogo.
Entrambi i metodi sono equivalenti, e sebbene il primo sia più informale e il secondo più formale, portano a costruire strutture isomorfe, quindi algebricamente indistinguibili.
Ma è bene ricordare che storicamente l'interpretazione geometrica dei complessi è sorta solo dopo l'introduzione ad hoc dell'unità immaginaria.
Poi, se non erro, è possibile anche formalizzare la prima costruzione definendo $CC$ come campo di spezzamento del polinomio $x^2+1=0$.
Occorre specificare che $NN$ e l'insieme dei multipli di due sono isomorfi come sistemi di Peano, ma non dal punto di vista algebrico. La moltiplicazione definita usualmente, sull'insieme dei multipli di 2, non ha elemento neutro. La somma invece si comporta in modo analogo.
"_fabricius_":
Come puoi dire che il primo metodo porta a concludere che $RR$ e $CC$ siano isomorfi se l'equazione $x^2+1=0$ in uno ha soluzione e nell'altro no?
Entrambi i metodi sono equivalenti, e sebbene il primo sia più informale e il secondo più formale, portano a costruire strutture isomorfe, quindi algebricamente indistinguibili.
Ma è bene ricordare che storicamente l'interpretazione geometrica dei complessi è sorta solo dopo l'introduzione ad hoc dell'unità immaginaria.
Poi, se non erro, è possibile anche formalizzare la prima costruzione definendo $CC$ come campo di spezzamento del polinomio $x^2+1=0$.
Occorre specificare che $NN$ e l'insieme dei multipli di due sono isomorfi come sistemi di Peano, ma non dal punto di vista algebrico. La moltiplicazione definita usualmente, sull'insieme dei multipli di 2, non ha elemento neutro. La somma invece si comporta in modo analogo.
Scusami, ma io ho detto che $CC$ è isomorfo a $RR \times RR$.. è ovvio che $RR$ e $CC$ non sono isomorfi! La mia questione era determinare il rapporto tra $CC$ e $RR \times RR$ partendo prima da una definizione e poi dalla seconda! Ciò mi porta a vedere che in uno dei casi $CC$ è isomorfo a $RR \times RR$ e nell'altro $CC$ è uguale per definizione a $RR \times RR$. Mi chiedevo come mai questa differenza tra i due metodi.. E soprattutto se questo avrebbe portato a problemi a mano a mano che si procedeva a costruire l'insieme dei complessi!
dipende "come" sono isomorfi. Sono isomorfi come insiemi,come gruppi e come spazi vettoriali su R; infatti la somma e la moltiplicazione per scalare coincide in entrambe le strutture. Ma come anelli non sono isomorfi,proprio a causa del prodotto definito in modo diverso. Infatti uno de due è un campo,l'altro no.
(E se ti interessa saperlo,anche R è isomorfo a RxR e a C come gruppo,ma non come anello)
(E se ti interessa saperlo,anche R è isomorfo a RxR e a C come gruppo,ma non come anello)
Mmmh... Intendo isomorfi come insiemi!! Nel metodo più inuitivo, facendo corrispondere ad ogni numero $a+ib$ il punto del piano cartesiano $(a,b)$, si ottiene che $CC$ è isomorfo a $RR \times RR$, mentre nella costruzione più formale si parte dal $RR \times RR$ stesso per costruire l'insieme dei complessi.. Per cui si giunge a porre $CC := RR \times RR$.... Ciò è normale?
"Zuzzerello":Potresti citare un riassunto di questa definizione dei complessi? Non l'ho mai vista:) Magari così sorge il dubbio anche a noi.
Ciò mi porta a vedere che in uno dei casi $CC$ è isomorfo a $RR \times RR$
"Vitalluni":Potresti citare un riassunto di questa definizione dei complessi? Non l'ho mai vista:) Magari così sorge il dubbio anche a noi.[/quote]
[quote="Zuzzerello"]Ciò mi porta a vedere che in uno dei casi $CC$ è isomorfo a $RR \times RR$
In realtà la definizione che mi chiedi è una delle due esposte nel primo post!! Quella che dice che $CC ={a+ib : a,b \in RR, i^2=-1}$. In tal caso si può far corrispondere ad ogni complesso $a+ib$ la coppia $(a,b) \in RR \times RR$, così facendo abbiamo un isomorfismo tra $RR \times RR$ e $CC$....
Tuttavia nel libro in cui ho studiato vi era scritto che l'insieme dei numeri complessi è l'insieme $RR \times RR$ dotato delle operazioni di somma e prodotto di complessi.... Per cui in tal caso $CC:=RR \times RR$.. Capito cosa intendo? Due definizioni portano a due casi un po' diversi....
Si sarà trattato di una svista, ma hai scritto:
e di qui la mia risposta.
Ad ogni modo, come ho già detto, le due strutture sono isomorfe come campi, e quindi, come campi, indistinguibili.
Consideriamo la costruzione che parte da $RRxxRR$ e prendiamo una coppia $(a,b)$.
Vale l'identità: $(a,b)=(a,0)+(0,1)(b,0)$.
Ora adottando la convenzione di scrivere un elemento del tipo $(x,0)$ semplicemente $x$, e indicare $(0,1)$ con $i$, abbiamo che $(a,b)=(a,0)+(0,1)(b,0)=a+ib$...
"Zuzzerello":
Studiando mi è parso di capire che usando il primo metodo si arriva a dire che $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}$, ovvero $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R}$ sono isomorfi, tuttavia usando il secondo metodo sembra che si arrivi a porre $\mathbb{C}:=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$
e di qui la mia risposta.
Ad ogni modo, come ho già detto, le due strutture sono isomorfe come campi, e quindi, come campi, indistinguibili.
Consideriamo la costruzione che parte da $RRxxRR$ e prendiamo una coppia $(a,b)$.
Vale l'identità: $(a,b)=(a,0)+(0,1)(b,0)$.
Ora adottando la convenzione di scrivere un elemento del tipo $(x,0)$ semplicemente $x$, e indicare $(0,1)$ con $i$, abbiamo che $(a,b)=(a,0)+(0,1)(b,0)=a+ib$...
Sì, infatti ho sbagliato a scrivere -.- mi spiace..
In ogni caso, nessuno si era già posto il quesito? O sono io che sto sbagliando qualche considerazione?
In ogni caso, nessuno si era già posto il quesito? O sono io che sto sbagliando qualche considerazione?
"Zuzzerello":
Studiando mi è parso di capire che usando il primo metodo si arriva a dire che $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}$, ovvero $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R}$ sono isomorfi
Se la mia risposta e' troppo ignorante ...ignorala
Ma... che vuol dire che con il primo metodo arrivi a dire che \( \mathbb{C} \) e \( \mathbb{R} \) sono isomorfi? Due insiemi non sono isomorfi quando riesci a costruire un isomorfismo fra i due?, --quindi lavorare su uno o lavorare sull'altro e' equivalente, tanto poi con l'isomorfismo zompi avanti e indietro quando vuoi e quante volte vuoi.
In tal caso, a quale isomorfismo stai pensando --da (a) \( \mathbb{R} \) a (da) \( \mathbb{C} \)-- ?...
Osservazione superficiale: nessuno ti vieta di avere un isomorfismo da $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ a $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ anche fosse che uno dei due è $\mathbb{C}:=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. Quindi perchè preoccuparsene?
"Vitalluni":
[...] nessuno ti vieta di avere un isomorfismo da $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ in $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ anche fosse che uno dei due è $\mathbb{C}:=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$
Se e' una risposta al mio messaggio, non vedo cosa c'entri ...
Zuzzerello sta dicendo che \( \mathbb{R} \) sia isomorfo a \( \mathbb{C} \); l'applicazione che proponi che c'entra?
"Vitalluni":
Quindi perchè preoccuparsene?
Di cosa?
Il fatto di costruire due cose diverse e poi rendersi conto che c'è l'isomorfismo e quindi puoi usarle indistintamente. A priori non sappiamo che proprietà emergono fissando "qualche idea"(ovvero fare una costruzione), ad esempio i numeri complessi costruiti nei due modi. Eppure risultano alla fine come dici tu "indistinguibili". E' un lato affascinante della matematica. E' come vedere che "due idee differenti" sono in realtà equivalenti, sarebbe interessante fissata qualche idea, usare gli isomorfismi per arrivare a "qualche altra idea". quindi anzichè preoccuparmi del fatto "perchè sia così" che mi pare più una domanda filosofica..mi chedo di cos'altro ci dovremmo preoccupare (trovo la questione sollevata da Zuzzurello interessantissima)?
"Vitalluni":
quindi anzichè preoccuparmi del fatto "perchè sia così" che mi pare più una domanda filosofica..mi chedo di cos'altro ci dovremmo preoccupare?
Del fatto che il campo complesso non e' isomorfo a quello reale.
EDIT: ad ogni modo avevo letto troppo frettolosamente il topic. La questione che ho sollevato era stata risolta ad inizio pagina
a $\mathbb{R}$ no, O_O chi è che ha detto questo?
io credevo parlassimo di $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ (con le opportune operazioni definite )
Edit: ho letto pure io male allora
io credevo parlassimo di $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ (con le opportune operazioni definite )
Edit: ho letto pure io male allora
Salve signori! La questione $RR$ isomorfo a $CC$ è stata risolta.. avevo sbagliato a scrivere.. intendevo, come nel primo post, $RR \times RR$ ismorfo $CC$.. Succede quando non si connette il cervello con quello che si sta facendo..
In ogni caso, Vitalluni, mi piacerebbe chiarire ulteriormente il tuo parere sulla questione.. Infatti mi chiedevo principalmente: considerando i due metodi di cotruzione enunciati nel primo post, si può comunque giungere, tramite il loro utilizzo, a due costruzioni perfettamente equivalenti dei complessi o potrebbero esserci delle sottili differenze? E nel caso in cui dovessero esserci (basti pensare alla questione di cui si è parlato precedentemente), potrebbero creare problemi procedendo nella costruzione (tipo differenze troppo sostanziali tra l'insieme dei complessi costruito con il primo metodo e l'insieme dei complessi costruito con il secondo)?
In ogni caso, Vitalluni, mi piacerebbe chiarire ulteriormente il tuo parere sulla questione.. Infatti mi chiedevo principalmente: considerando i due metodi di cotruzione enunciati nel primo post, si può comunque giungere, tramite il loro utilizzo, a due costruzioni perfettamente equivalenti dei complessi o potrebbero esserci delle sottili differenze? E nel caso in cui dovessero esserci (basti pensare alla questione di cui si è parlato precedentemente), potrebbero creare problemi procedendo nella costruzione (tipo differenze troppo sostanziali tra l'insieme dei complessi costruito con il primo metodo e l'insieme dei complessi costruito con il secondo)?
Secondo me no. O giungi a costruzioni perfettamente equivalenti e allora le puoi utilizzare indistintamente, oppure non giungi a costruzioni perfettamente equivalenti e in tal caso non è più la stessa cosa. La forza sta nel fatto che molte proprietà sono "emergenti", ovvero sono conseguenze della tua costruzione iniziale. Tu puoi ad esempio prendere gli assiomi di Peano e aggiungere un altro assioma oppure toglierne 1, sebbene sembri una cosa innocua escono fuori proprietà totalmente diverse. In altri casi potrebbe accadere che partendo da proprietà apparentemente diverse escano fuori invece le stesse proprietà emergenti. Problemi non credo ce ne siano. Una volta che hai l'isomorfismo le puoi usare indistintamente. Però potrebbero esserci dei vantaggi. Il fatto di riscrivere una cosa "diversamente" potrebbe rendere più evidenti al cervello certe cose che prima non lo erano. Ad esempio ho appena letto che le Trasformate di Fourier sono un isomorfismo lineare, e non è che siano inutili anzi sono utilissime!
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