Numeri complessi: questione di notazioni?
Salve! Studiando le basi della costruzione del campo dei numeri complessi, mi sono ritrovato ad affrontare due modelli diversi per costruire tale insieme.
(1) in questo metodo, più intuitivo, si determinava in primo luogo un numero $i$ tale che $i^2=-1$ (nel tentativo di dare una soluzione all'equazione $x^2=-1$, insoluta in $\mathbb{R}$); così facendo si potrebbe affermare che $\mathbb{C} :={a+ib : a,b\in \mathbb{R}}$ in modo che il prodotto e la somma siano definiti nel modo che tutti conosciamo....
(2) in questo secondo metodo, si considerano invece le coppie ordinate di reali $(a,b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, considerando l'insieme dei numeri complessi come l'insieme $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ e definendo somma e prodotto nel modo che conosciamo....
Non specifico le definizioni di somma e prodotto poiché, al di là del fatto che si conoscono già, sono irrilevanti al fine della mia domanda.
Mettendo a confronto questi due metodi di costruzione, che rapporto si ha tra $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$?
Mi spiego, o meglio, vi dico cosa ne penso..
Studiando mi è parso di capire che usando il primo metodo si arriva a dire che $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}$, ovvero $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R}$ sono isomorfi, tuttavia usando il secondo metodo sembra che si arrivi a porre $\mathbb{C}:=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$
Sì, lo so.. Se non ho sbagliato nei ragionamenti e c'è sul serio questa differenza, allora è molto sottile.. Ma mi piacerebbe che qualcuno me la confermi.. Mi piacerebbe essere illuminato.. Sarebbe opportuna questa situazione o si avrebbe una contraddizione (seppur estremamente sottile)?
Vi ringrazio per la pazienza!! ^^
(1) in questo metodo, più intuitivo, si determinava in primo luogo un numero $i$ tale che $i^2=-1$ (nel tentativo di dare una soluzione all'equazione $x^2=-1$, insoluta in $\mathbb{R}$); così facendo si potrebbe affermare che $\mathbb{C} :={a+ib : a,b\in \mathbb{R}}$ in modo che il prodotto e la somma siano definiti nel modo che tutti conosciamo....
(2) in questo secondo metodo, si considerano invece le coppie ordinate di reali $(a,b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, considerando l'insieme dei numeri complessi come l'insieme $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ e definendo somma e prodotto nel modo che conosciamo....
Non specifico le definizioni di somma e prodotto poiché, al di là del fatto che si conoscono già, sono irrilevanti al fine della mia domanda.
Mettendo a confronto questi due metodi di costruzione, che rapporto si ha tra $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$?
Mi spiego, o meglio, vi dico cosa ne penso..
Studiando mi è parso di capire che usando il primo metodo si arriva a dire che $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}$, ovvero $\mathbb{C}$ e $\mathbb{R}$ sono isomorfi, tuttavia usando il secondo metodo sembra che si arrivi a porre $\mathbb{C}:=\mathbb{R} \times \mathbb{R}$
Sì, lo so.. Se non ho sbagliato nei ragionamenti e c'è sul serio questa differenza, allora è molto sottile.. Ma mi piacerebbe che qualcuno me la confermi.. Mi piacerebbe essere illuminato.. Sarebbe opportuna questa situazione o si avrebbe una contraddizione (seppur estremamente sottile)?
Vi ringrazio per la pazienza!! ^^
Risposte
Quindi la differenza (seppur presente) non porta a problemi... In effetti si tratterebbe di una cosa molto sottile.. Sorta solo dal fatto di vedere i numeri complessi come uno spazio vettoriale sul campo $RR$ (e questa è una cosa di grandissima utilità)..
$CC ={a+ib : a,b \in RR, i^2=-1}$.
Questa notazione è ambigua: non ti permette di distinguere $i$ da $-i$.
Questa notazione è ambigua: non ti permette di distinguere $i$ da $-i$.
"magda1789":
$CC ={a+ib : a,b \in RR, i^2=-1}$.
Questa notazione è ambigua: non ti permette di distinguere $i$ da $-i$.
Sul serio? A me non sembra!
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