Normalità e quozienti
Volevo sottoporvi due semplici esercizi poichè mi piacerebbe sapere se effettivamente sono stati risolti correttamente:
Determinare l'unico gruppo normale $H$ non banale di $S_3$ e studiare $S_3/H$
Allora per prima cosa $H$ è un sottogruppo e per il teorema di Lagrange sappiamo che l'ordine di $H$ divide $6$ quindi esso o è $2$ o $3$.
Sappiamo inoltre che esso è normale se è unione di classi di coniugio. Quindi determino la cardinalità di ogni classe esse sono in numero $(-)=1$ $(-,-)=3$ e $(-.-.-)=2$.
Quindi l'unico sottogruppo $H$ è formato da ${id,(1,2,3),(1,3,2)}$
Studio il quoziente $G/H$ esso è formato dalle classi laterali quindi sarà formato da ${H,(1,2)H}$. E' quindi il gruppo ciclico di ordine $2$
Determinare tutti i sottogruppi normali di $S_4$. Stesso ragionamento di prima, il periodo di $H$ deve essere compreso tra i divisori di $24$. Analizzando la struttura ciclica, o equivalentemente le classi di coniugio, deduco che esistono solo due sottogruppi normali in $S_4$ non banali cioè $H_1$ formato dall'identità e dai $(2,2)$-cicli e $H_2$ formato dall'identità, dai $(2,2)$cicli e dai $3$-cicli
Ho preso un abbaglio, oppure i ragionamenti non sono corretti?
Grazie mille e scusate ancora per la banalità della domanda!
Determinare l'unico gruppo normale $H$ non banale di $S_3$ e studiare $S_3/H$
Allora per prima cosa $H$ è un sottogruppo e per il teorema di Lagrange sappiamo che l'ordine di $H$ divide $6$ quindi esso o è $2$ o $3$.
Sappiamo inoltre che esso è normale se è unione di classi di coniugio. Quindi determino la cardinalità di ogni classe esse sono in numero $(-)=1$ $(-,-)=3$ e $(-.-.-)=2$.
Quindi l'unico sottogruppo $H$ è formato da ${id,(1,2,3),(1,3,2)}$
Studio il quoziente $G/H$ esso è formato dalle classi laterali quindi sarà formato da ${H,(1,2)H}$. E' quindi il gruppo ciclico di ordine $2$
Determinare tutti i sottogruppi normali di $S_4$. Stesso ragionamento di prima, il periodo di $H$ deve essere compreso tra i divisori di $24$. Analizzando la struttura ciclica, o equivalentemente le classi di coniugio, deduco che esistono solo due sottogruppi normali in $S_4$ non banali cioè $H_1$ formato dall'identità e dai $(2,2)$-cicli e $H_2$ formato dall'identità, dai $(2,2)$cicli e dai $3$-cicli
Ho preso un abbaglio, oppure i ragionamenti non sono corretti?
Grazie mille e scusate ancora per la banalità della domanda!
Risposte
Proprio nessuno riesce a confermare o smentire?
Ciao!
Quello che dici è corretto, ma non è chiaro se il ragionamento che fai per arrivarci sia corretto. Ricorda che un'unione di classi di coniugio non è automaticamente un sottogruppo. In particolare nel caso di $S_4$, mi piacerebbe che tu facessi una vera dimostrazione con un po' di dettagli. Se vuoi naturalmente.
Quello che dici è corretto, ma non è chiaro se il ragionamento che fai per arrivarci sia corretto. Ricorda che un'unione di classi di coniugio non è automaticamente un sottogruppo. In particolare nel caso di $S_4$, mi piacerebbe che tu facessi una vera dimostrazione con un po' di dettagli. Se vuoi naturalmente.
Sì, è vero che l'unione arbitraria di classi di coniugio non è automaticamente un sottogruppo, ma se esse son complete e l'ordine divide l'ordine di $G$ allora lo è, giusto?
Se io ho $S_4$ so che i sottogruppi possono avere periodo $2,3,4,6,8,12$.
Con la formula $1/r(n!)/(n-r)!$ calcolo la cardinalità di ogni classe di coniugio. Affinche il mio sottoinsieme $H$ sia un sottogruppo deve contenere l'identità ed in più l'unione delle classi (complete) di coniugio deve soddisfare l'ordine precendemente indicato. Quindi gli unici casi possibili sono quelli espressi nel primo post?
Applicativamente ho considerato i vari periodi e sommandoli (includendo sempre l'identità) ho verificato che $o(H)$ dividesse $o(S_4)$
Bastano queste osservazioni, oppure devo calcolarli esplicitamente e verificare di ognuno degli insiemi che trovo che siano sottogruppi?
Grazie
Se io ho $S_4$ so che i sottogruppi possono avere periodo $2,3,4,6,8,12$.
Con la formula $1/r(n!)/(n-r)!$ calcolo la cardinalità di ogni classe di coniugio. Affinche il mio sottoinsieme $H$ sia un sottogruppo deve contenere l'identità ed in più l'unione delle classi (complete) di coniugio deve soddisfare l'ordine precendemente indicato. Quindi gli unici casi possibili sono quelli espressi nel primo post?
Applicativamente ho considerato i vari periodi e sommandoli (includendo sempre l'identità) ho verificato che $o(H)$ dividesse $o(S_4)$
Bastano queste osservazioni, oppure devo calcolarli esplicitamente e verificare di ognuno degli insiemi che trovo che siano sottogruppi?
Grazie
"mistake89":No. Supponi per esempio che $G$ sia abeliano. In questo caso le classi di coniugio hanno un solo elemento, quindi ogni sottoinsieme di $G$ è unione di classi di coniugio. D'altra parte non basta che un sottoinsieme di $G$ abbia come cardinalità un divisore di $|G|$ perché esso sia un sottogruppo.
Sì, è vero che l'unione arbitraria di classi di coniugio non è automaticamente un sottogruppo, ma se esse son complete e l'ordine divide l'ordine di $G$ allora lo è, giusto?
Quindi non basta trovare le "candidate" unioni di classi di coniugio, bisogna anche mostrare che sono sottogruppi. Oppure, meglio, vedere quei due candidati sottogruppi normali che hai trovato in un modo che renda chiaro il fatto che sono sottogruppi: il primo è l'intersezione dei 2-Sylow, il secondo è il gruppo alterno (quello che consiste delle permutazioni pari). Se non conosci la teoria di Sylow non c'è problema: verificare che quel sottoinsieme di 4 elementi è un sottogruppo si può fare anche a mano. Ma il gruppo alterno è meglio che tu lo conosca, è una nozione abbastanza basilare.
Grazie Martino.
Il gruppo alterno lo conosco, so che è normale in $S_n$, volevo però arrivarvi in maniera generale, mentre la teoria di Sylow ancora non la conosco.
Quindi dopo la prima "scrematura" che è quella che ho fatto io, devo verificare che l'insieme trovato è effettivamente un gruppo (oppure ricondurmi a qualche gruppo noto). L'ho fatto sul mio $H_1$ ed effettivamente è un sottogruppo.
Ma, scusa la domanda franca, nel caso io abbia $S_8$, e dovessi trovare i sottogruppi normali, devo di ogni candidata andarmi a trovare la tavola di composizione e controllare che esistano gli inversi? Diventa effettivamente un lavoro dispendioso (se come me non si conosce ancora molto altro!)
Il gruppo alterno lo conosco, so che è normale in $S_n$, volevo però arrivarvi in maniera generale, mentre la teoria di Sylow ancora non la conosco.
Quindi dopo la prima "scrematura" che è quella che ho fatto io, devo verificare che l'insieme trovato è effettivamente un gruppo (oppure ricondurmi a qualche gruppo noto). L'ho fatto sul mio $H_1$ ed effettivamente è un sottogruppo.
Ma, scusa la domanda franca, nel caso io abbia $S_8$, e dovessi trovare i sottogruppi normali, devo di ogni candidata andarmi a trovare la tavola di composizione e controllare che esistano gli inversi? Diventa effettivamente un lavoro dispendioso (se come me non si conosce ancora molto altro!)
"mistake89":Esatto. Infatti non te lo daranno mai da fare come esercizio.
nel caso io abbia $S_8$, e dovessi trovare i sottogruppi normali, devo di ogni candidata andarmi a trovare la tavola di composizione e controllare che esistano gli inversi? Diventa effettivamente un lavoro dispendioso (se come me non si conosce ancora molto altro!)
O meglio, non prima di averti detto che il gruppo alterno $A_n$ è semplice per ogni $n ge 5$. Ora che lo sai non dovrebbe risultarti difficile dimostrare che se $n ge 5$ il solo sottogruppo normale non banale di $S_n$ è $A_n$. Si tratta di prendere $N$ normale in $S_n$ e intersecarlo con $A_n$. Siccome $N nn A_n$ è normale in $A_n$, se $N ne A_n$ allora $N nn A_n = {1}$. E non ci sono molti sottogruppi di $S_n$ in cui l'unico elemento pari è l'identità...
Ho capito! Ti ringrazio moltissimo per le delucidazioni, mi hai dato una grossa mano.
Ricordo che tempo addietro ci fu un bellissimo post sui sottogruppi normali, devo cercarlo meglio, perchè ora mi potrebbe aiutare molto risolvere gli esercizi che proponesti, per prendere un pò la mano!
Grazie ancora Martino.
Ricordo che tempo addietro ci fu un bellissimo post sui sottogruppi normali, devo cercarlo meglio, perchè ora mi potrebbe aiutare molto risolvere gli esercizi che proponesti, per prendere un pò la mano!
Grazie ancora Martino.
"mistake89":Prego!
Ho capito! Ti ringrazio moltissimo per le delucidazioni, mi hai dato una grossa mano.
Ricordo che tempo addietro ci fu un bellissimo post sui sottogruppi normali, devo cercarlo meglio, perchè ora mi potrebbe aiutare molto risolvere gli esercizi che proponesti, per prendere un pò la mano!Dovrebbe essere questo oppure questo.
Ricordavo molto bene il primo.
Stavo provando tra l'altro a fare l'esercizio circa la normalità del gruppo $SL(n,K)$ (le matrici con determinante uguale a $1$) in $GL(n,K)$. Ho visto la risoluzione che dà Paolo, molto elegante, ma io i teoremi di omomorfismo non li ho ancora studiati (anche se in geometria li ho sommariamente studiati), e non riuscivo a dimostrarlo per altre vie! Esiste un altro modo? Forse dimostrando che $SL(n,K)$ è normale in $GL(n,K)$$hArrASL(n,K)A^(-1)subSL(n,K)$ con $AinGL(n,K)$? O sono fuori strada?
Grazie mille Martino!
Stavo provando tra l'altro a fare l'esercizio circa la normalità del gruppo $SL(n,K)$ (le matrici con determinante uguale a $1$) in $GL(n,K)$. Ho visto la risoluzione che dà Paolo, molto elegante, ma io i teoremi di omomorfismo non li ho ancora studiati (anche se in geometria li ho sommariamente studiati), e non riuscivo a dimostrarlo per altre vie! Esiste un altro modo? Forse dimostrando che $SL(n,K)$ è normale in $GL(n,K)$$hArrASL(n,K)A^(-1)subSL(n,K)$ con $AinGL(n,K)$? O sono fuori strada?
Grazie mille Martino!
"mistake89":Certo, questo va bene. La cosa che devi poi usare è il fatto che se hai due matrici quadrate $A$ e $B$ dello stesso ordine si ha $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ e $\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$ quando $A$ è invertibile. In altre parole la funzione $\det:GL(n,K) to K-{0}$ è un omomorfismo di gruppi.
Forse dimostrando che $SL(n,K)$ è normale in $GL(n,K)$$hArrASL(n,K)A^(-1)subSL(n,K)$ con $AinGL(n,K)$
Ciao Martino, grazie ancora.
Stamattina a lezione l'ho risolto, effettivamente era semplice ma la stanchezza mi ha deviato!
Grazie ancora, proverò a fare gli altri esercizi che proponesti, nel caso incontrassi qualche difficoltà proverò ad esporle.
Stamattina a lezione l'ho risolto, effettivamente era semplice ma la stanchezza mi ha deviato!
Grazie ancora, proverò a fare gli altri esercizi che proponesti, nel caso incontrassi qualche difficoltà proverò ad esporle.
Volevo proporvi questo esercizi che abbiamo svolto in aula ma nel rivederlo mi sono sorti dei dubbi (derivanti forse dal fatto che l'argomento è stato trattato con nozioni che ancora non abbiamo fatto!)
L'esercizio era: determinare tutti i sottogruppi normali di $D_4$ (il gruppo diedrale)!
Allora il professore ci ha detto che possiamo sempre immergere il gruppo diedrale $D_n$ in $S_n$ (nel caso di $S_3$ e di $D_3$ sussiste proprio l'isomorfismo), identificando le rotazioni ed i ribaltamenti come le permutazioni dei vertici!
Allora abbiamo considerato $D_4$ come generato dal seguente sottogruppo di $S_4$ $<(1,2,3,4)(2,4)>={id,(1,2,3,4),(1,4,3,2),(1,3)(2,4),(1,2)(3,4),(1,4)(2,3),(2,4),(1,3)}$
consideriamo allora gli insiemi formati dai cicli che hanno la stessa struttura ciclica. Ognuno di loro è unione di classi di coniugio, ma dal teorema dell'orbita dello stabilizzatore (che però non abbiamo fatto, visto che riguarda le azioni) sappiamo che la cardinalità delle classi coniugate divide l'ordine del gruppo.
Quindi le nostre classi possono avere cardinalità $1,2,4,8$ avendo $D_4=2*4$ elementi. Ora però ho una domanda: ma non bastava che due elementi avessero lo stessa struttura ciclica per dire che essi son coniugati? Ho come l'impressione che è il fatto di identificare $D_4$ con $S_4$ a creare tutti questi problemi.
Ora quindi devo capire quali sono le classi di coniugio in $D_4$, ma come fare? Devo prendere ogni elemento e coniugarlo con tutti gli altri?
Una volta identificata poi la cardinalità delle classi diventa semplice costruirmi i gruppi normali.
Grazie mille!
L'esercizio era: determinare tutti i sottogruppi normali di $D_4$ (il gruppo diedrale)!
Allora il professore ci ha detto che possiamo sempre immergere il gruppo diedrale $D_n$ in $S_n$ (nel caso di $S_3$ e di $D_3$ sussiste proprio l'isomorfismo), identificando le rotazioni ed i ribaltamenti come le permutazioni dei vertici!
Allora abbiamo considerato $D_4$ come generato dal seguente sottogruppo di $S_4$ $<(1,2,3,4)(2,4)>={id,(1,2,3,4),(1,4,3,2),(1,3)(2,4),(1,2)(3,4),(1,4)(2,3),(2,4),(1,3)}$
consideriamo allora gli insiemi formati dai cicli che hanno la stessa struttura ciclica. Ognuno di loro è unione di classi di coniugio, ma dal teorema dell'orbita dello stabilizzatore (che però non abbiamo fatto, visto che riguarda le azioni) sappiamo che la cardinalità delle classi coniugate divide l'ordine del gruppo.
Quindi le nostre classi possono avere cardinalità $1,2,4,8$ avendo $D_4=2*4$ elementi. Ora però ho una domanda: ma non bastava che due elementi avessero lo stessa struttura ciclica per dire che essi son coniugati? Ho come l'impressione che è il fatto di identificare $D_4$ con $S_4$ a creare tutti questi problemi.
Ora quindi devo capire quali sono le classi di coniugio in $D_4$, ma come fare? Devo prendere ogni elemento e coniugarlo con tutti gli altri?
Una volta identificata poi la cardinalità delle classi diventa semplice costruirmi i gruppi normali.
Grazie mille!
"mistake89":In $S_4$ sì, ma tu li vuoi coniugati in $D_4$, che è diverso. Cioè vuoi che l'elemento che coniuga appartenga a $D_4$.
ma non bastava che due elementi avessero lo stessa struttura ciclica per dire che essi son coniugati?
Un'idea per trovare i sottogruppi normali di $D_4$: osserva che un sottogruppo non banale ha indice 2 oppure 4, e se ha indice 4 ed è normale allora è centrale, e se ha indice 2 è automaticamente normale. Sei quindi ridotto a trovare il centro di $D_4$ e i sottogruppi di ordine 4.
Una volta identificata poi la cardinalità delle classi diventa semplice costruirmi i gruppi normali.Attento però al solito discorso: un'unione di classi di coniugio di cardinalità un divisore dell'ordine del gruppo non è automaticamente un sottogruppo.
Quindi era come immaginavo era $D_4$ a dar fastidio!
E per trovare allora le classi di coniugio in $D_4$ partendo da quelli di $S_4$ devo prendere e coniugare?
Il centro di un sottogruppo è dato dagli elementi che commutano nel gruppo vero? Perchè se un gruppo ha indice $4$ ed è normale allora è centrale (cioè coincide con il centro?).
Scusami se ti tempesto di domande, purtroppo gli strumenti che ho a disposizione sono ancora molto pochi!
Proprio ora mi è venuta un'idea circa il fatto che se $H$ è normale in $G$, ed ha indice $4$ allora è centrale.
Se l'indice è $4$ vuol dire che $|H|=2$ cioè $H={id,h}$. Inoltre dire che $H$ è normale in $G$ vuol dire che $AAginG$ $gH=Hg$, ma essendo $H={id,h}$ si ha $gh=hg$ cioè gli elementi commutano e quindi $H=Z(G)$. Ho preso un granchio?
forse questa cosa vale solo per il gruppo diedrale e quindi andava preso $H=$ oppure vale in generale?
Grazie
PS ho letto ora il tuo edit: sisi questo l'ho capito
E per trovare allora le classi di coniugio in $D_4$ partendo da quelli di $S_4$ devo prendere e coniugare?
Il centro di un sottogruppo è dato dagli elementi che commutano nel gruppo vero? Perchè se un gruppo ha indice $4$ ed è normale allora è centrale (cioè coincide con il centro?).
Scusami se ti tempesto di domande, purtroppo gli strumenti che ho a disposizione sono ancora molto pochi!
Proprio ora mi è venuta un'idea circa il fatto che se $H$ è normale in $G$, ed ha indice $4$ allora è centrale.
Se l'indice è $4$ vuol dire che $|H|=2$ cioè $H={id,h}$. Inoltre dire che $H$ è normale in $G$ vuol dire che $AAginG$ $gH=Hg$, ma essendo $H={id,h}$ si ha $gh=hg$ cioè gli elementi commutano e quindi $H=Z(G)$. Ho preso un granchio?
forse questa cosa vale solo per il gruppo diedrale e quindi andava preso $H=
Grazie
PS ho letto ora il tuo edit: sisi questo l'ho capito
"mistake89":Il punto è che non ti serve conoscere le classi di coniugio per fare l'esercizio.
E per trovare allora le classi di coniugio in $D_4$ partendo da quelli di $S_4$ devo prendere e coniugare?
Il centro di un sottogruppo è dato dagli elementi che commutano nel gruppo vero? Perchè se un gruppo ha indice $4$ ed è normale allora è centrale (cioè coincide con il centro?).Un sottogruppo si dice centrale se è contenuto nel centro.
Proprio ora mi è venuta un'idea circa il fatto che se $H$ è normale in $G$, ed ha indice $4$ allora è centrale.No hai detto bene. Conveniva forse osservare che se $g^{-1}hg in {1,h}$ allora $g^{-1}hg=h$ perché dev'essere $g^{-1}hg ne 1$.
Se l'indice è $4$ vuol dire che $|H|=2$ cioè $H={id,h}$. Inoltre dire che $H$ è normale in $G$ vuol dire che $AAginG$ $gH=Hg$, ma essendo $H={id,h}$ si ha $gh=hg$ cioè gli elementi commutano e quindi $H=Z(G)$. Ho preso un granchio?
forse questa cosa vale solo per il gruppo diedrale e quindi andava preso $H=Vale in generale che se un sottogruppo ha ordine 2 ed è normale allora è centrale. Il fatto è che l'unico elemento non identico dev'essere coniugato in se stesso (non può essere coniugato a 1).$ oppure vale in generale?
Ma attenzione: in generale non ogni sottogruppo normale ciclico è centrale, nemmeno se ha ordine primo.
Inizio a capire...!
Grazie mille Martino, mi sei di grande aiuto!
Grazie mille Martino, mi sei di grande aiuto!
Dimenticavo:
Prego!
"mistake89":Non puoi dedurre che $H=Z(G)$, ma puoi dedurre che $H sube Z(G)$.
essendo $H={id,h}$ si ha $gh=hg$ cioè gli elementi commutano e quindi $H=Z(G)$.
Prego!
Vi propongo un esercizio che sta facendo emergere un mio dubbio.
L'esercizio mi sembra semplice, calcolare il centro di $A_4$ e verificare che esso è banale.
Io ho pensato: $Z(A_4)$ sarebbero i cicli che in $A_4$ commutano tra loro, quindi $ginZ(A_4)hArrgxg^(-1)=x$ $AAxinA_4$, quindi se la classe di coniugio di un elemento è ridotta al solo elemento. Quindi il centro sarà formato dall'unione degli elementi autoconiugati.
Mi scrivo $A_n$ e cerco le classi di coniugazione. Osservo anzitutto che per il teorema dello stabilizzatore (non lo conosco a fondo però), le classi possono avere ordine $1,2,3,4,6,12$. Quindi sicuramente la classe dei $3$ cicli si deve spezzare, avendo ordine $8$, e dovrei verificare anche la classe dei $2-2$ cicli.
Ora però mi domando due cose, saranno stupide immagino: Le classi di coniugio, così come i laterali partizionano $G$? Cioè più accadere che un elemento sia coniugato con più elementi?
Seconda, più pratica: nel problema cui sopra, come devo procedere per trovare le classi? La definizione non è molto operativa, e non credo che prendere un elemento e coniugarlo con tutti gli altri sia la soluzione migliore.
Grazie ancora per la pazienza.
L'esercizio mi sembra semplice, calcolare il centro di $A_4$ e verificare che esso è banale.
Io ho pensato: $Z(A_4)$ sarebbero i cicli che in $A_4$ commutano tra loro, quindi $ginZ(A_4)hArrgxg^(-1)=x$ $AAxinA_4$, quindi se la classe di coniugio di un elemento è ridotta al solo elemento. Quindi il centro sarà formato dall'unione degli elementi autoconiugati.
Mi scrivo $A_n$ e cerco le classi di coniugazione. Osservo anzitutto che per il teorema dello stabilizzatore (non lo conosco a fondo però), le classi possono avere ordine $1,2,3,4,6,12$. Quindi sicuramente la classe dei $3$ cicli si deve spezzare, avendo ordine $8$, e dovrei verificare anche la classe dei $2-2$ cicli.
Ora però mi domando due cose, saranno stupide immagino: Le classi di coniugio, così come i laterali partizionano $G$? Cioè più accadere che un elemento sia coniugato con più elementi?
Seconda, più pratica: nel problema cui sopra, come devo procedere per trovare le classi? La definizione non è molto operativa, e non credo che prendere un elemento e coniugarlo con tutti gli altri sia la soluzione migliore.
Grazie ancora per la pazienza.
Un elemento $g$ di $A_4$ sta nel centro di $A_4$ se e solo se $g sigma = sigma g$ per ogni $sigma in A_4$.
Prendiamo $g$ nel centro di $A_4$, e definiamo $sigma_i$ come uno (qualsiasi) dei due 3-cicli di $A_4$ che fissano $i$. Se $i in {1,2,3,4}$ si deve avere $g(i) = g(sigma_i(i)) = sigma_i(g(i))$...
Prendiamo $g$ nel centro di $A_4$, e definiamo $sigma_i$ come uno (qualsiasi) dei due 3-cicli di $A_4$ che fissano $i$. Se $i in {1,2,3,4}$ si deve avere $g(i) = g(sigma_i(i)) = sigma_i(g(i))$...
"mistake89":Esatto.
Le classi di coniugio, così come i laterali partizionano $G$?
"mistake89":Spesso cercare le classi di coniugio di un gruppo è abbastanza difficile. C'è un teorema che dice come sono fatte le classi di coniugio di $A_n$, ma non è banalissimo.
come devo procedere per trovare le classi?
Grazie Martino. Ho provato a cercare questo teorema sul mio libro ma non l'ho trovato riferito ad $A_n$.
Quanto al tuo suggerimento, devo mostrare alla fine che $g(i)=i$? Cioè che una permutazione che sta nel centro fissa $i$, e quindi, data l'arbitrarietà di $i$ posso concludere che essa è l'identità.
Ci penso ancora un pò!
Quanto al tuo suggerimento, devo mostrare alla fine che $g(i)=i$? Cioè che una permutazione che sta nel centro fissa $i$, e quindi, data l'arbitrarietà di $i$ posso concludere che essa è l'identità.
Ci penso ancora un pò!
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