Normalità e quozienti

[mistake89]

Volevo sottoporvi due semplici esercizi poichè mi piacerebbe sapere se effettivamente sono stati risolti correttamente:
Determinare l'unico gruppo normale $H$ non banale di $S_3$ e studiare $S_3/H$
Allora per prima cosa $H$ è un sottogruppo e per il teorema di Lagrange sappiamo che l'ordine di $H$ divide $6$ quindi esso o è $2$ o $3$.
Sappiamo inoltre che esso è normale se è unione di classi di coniugio. Quindi determino la cardinalità di ogni classe esse sono in numero $(-)=1$ $(-,-)=3$ e $(-.-.-)=2$.
Quindi l'unico sottogruppo $H$ è formato da ${id,(1,2,3),(1,3,2)}$
Studio il quoziente $G/H$ esso è formato dalle classi laterali quindi sarà formato da ${H,(1,2)H}$. E' quindi il gruppo ciclico di ordine $2$

Determinare tutti i sottogruppi normali di $S_4$. Stesso ragionamento di prima, il periodo di $H$ deve essere compreso tra i divisori di $24$. Analizzando la struttura ciclica, o equivalentemente le classi di coniugio, deduco che esistono solo due sottogruppi normali in $S_4$ non banali cioè $H_1$ formato dall'identità e dai $(2,2)$-cicli e $H_2$ formato dall'identità, dai $(2,2)$cicli e dai $3$-cicli

Ho preso un abbaglio, oppure i ragionamenti non sono corretti?
Grazie mille e scusate ancora per la banalità della domanda!

[mistake89]

Sì, ci avevo pensato. Classico è il caso delle matrici invertibile e del suo sottogruppo speciale.
In questo caso però non mi era venuto

Grazie!

[mistake89]

Nella dimostrazione che il centro di gruppo di ordine $p^3$ ha ordine $p$ ho trovato questo passaggio:

$G//Z(G)$ è ciclico allora $G$ è abeliano!

Credo che sia una cosa generale, cioè se il sottogruppo normale è diverso dal centro vero?
non sono riuscito a trovare ancora una dimostrazione rigorosa. Ma se ho che $gN$ è un generatore del quoziente allora in particolare le potenze di $g$ commuteranno tra loro. Basta questo per provare che $G$ è effettivamente abeliano?

Grazie

[Studente Anonimo]

"mistake89":Ma se ho che $gN$ è un generatore del quoziente allora in particolare le potenze di $g$ commuteranno tra loro. Basta questo per provare che $G$ è effettivamente abeliano?

Così non hai ancora concluso.

Il fatto che $gZ(G)$ genera $G//Z(G)$ significa che ogni elemento di $G$ si scrive come $g^nz$ con $z in Z(G)$, quindi dati due elementi $g^nz_1,g^mz_2$ di $G$, quello che devi dimostrare è che $(g^nz_1)(g^mz_2) = (g^mz_2)(g^nz_1)$.

[mistake89]

Allora, se io ho $(g^nz_1)(g^mz_2)=g^nz_1g^mz_2$, poichè $z_1inZ(G)$ commuterà con tutti gli elementi quindi si ha $g^ng^mz_1z_2$. Le potenze commutano quindi posso scrivere $g^mg^nz_1z_2$, poichè anche $z_2inZ(G)$ allora posso scrivere $g^mz_2g^nz_1$ e quindi ricomporre in $(g^mz_2)(g^nz_1)$

Può andare?
Grazie mille

[Studente Anonimo]

Certo.

[mistake89]

Allora, poichè mi pare che la nozione di centro sia fondamentale nella dimostrazione, non si può estendere ad un qualsiasi quoziente come avevo precedentemente detto.

[Studente Anonimo]

"mistake89":Allora, poichè mi pare che la nozione di centro sia fondamentale nella dimostrazione, non si può estendere ad un qualsiasi quoziente come avevo precedentemente detto.

Certo che no (scusa non avevo capito che stavi cercando di generalizzare). Per esempio il quoziente [tex]S_n/A_n[/tex] è ciclico (di ordine 2).