Nilpotenti di $ZZ_/n$$

[nick_10]

Buonasera...propongo questo problema che mi sta mettendo un po' in difficoltà.
Caratterizzare gli $n in NN$ tali che in $ZZ_/n$ ci siano nilpotenti.
Avevo pensato di discriminare i casi, ad esempio n primo o potenza di primi. E magari mi potrebbe aiutare il piccolo teorema di Fermat. Qualche aiutino?

[otta96]

Ragiona sui divisori dello 0, e per quali n esistono, a quel punto non dovrebbe essere difficile accorgersi quando esistono nilpotenti. [Suggerimento: concentrati sulla fattorizzazione di n.]

[dan952]

Sia $n=p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$ la scomposizione in primi di $n$. Dimostriamo che $ZZ//(n)$ contiene nilpotenti se e solo se esiste almeno un indice $i$ tale che $\alpha_i>1$.

Dim. (Proposta)

($\Rightarrow$) Supponiamo $\alpha_i=1$ per ogni $i$, allora se contenesse un nilpotente $0 a \geq p_1 \cdots p_k$ da cui $a=n$, quindi $ZZ//(n)$ non contiene nilpotenti.
($\Leftarrow$) Fai tu...

[nick_10]

Grazie per i consigli!