Negazione logica
Ciao a tutti, non sono un matematico o logico e mi sono incuriosito leggendo la pagine wikipedia dei quantificatori:
Avrei un dubbio che non riesco a risolvere bene ed è questo:
∀gatto ∃ un occhio
se volessi negarla avrei non (per gni gatto esiste un occhio), quindi:
esiste un gatto t.c. non esiste un occhio
ma ora se compio l'ultima negazione sul quantificatore esiste mi esce una schiefezza:
esiste un gatto tale che per ogni non occhio?
Il riferimento sarebbe: https://it.wikipedia.org/wiki/Quantific ... ivi_logici
E che cavolo vorrebbe dire
è evidente che sbaglio qualcosa ma non capisco bene che cosa.
Avrei un dubbio che non riesco a risolvere bene ed è questo:
∀gatto ∃ un occhio
se volessi negarla avrei non (per gni gatto esiste un occhio), quindi:
esiste un gatto t.c. non esiste un occhio
ma ora se compio l'ultima negazione sul quantificatore esiste mi esce una schiefezza:
esiste un gatto tale che per ogni non occhio?
Il riferimento sarebbe: https://it.wikipedia.org/wiki/Quantific ... ivi_logici
E che cavolo vorrebbe dire
è evidente che sbaglio qualcosa ma non capisco bene che cosa.
Risposte
Ok ragionandoci sono forse riuscito a rendere piu formale
∀x, (G(x)=>∃y O(y)) con G(x) x è gatto e O(y) y è occhio.
Qui negando viene ∃x,(G(x) e per ogni y O(y)), quindi esiste x nell'universo che è un gatto tale che ogni elemento del gatto non è un occhio. Sembra andare ma c'è un ma
∀x, (G(x)=>∃y O(y)) si pò scrivere brevemente come ∀G(x),∃O(y) in modo compresso e dovrebbe andare bene a intuito: (per) ogni gatto ha (esiste) un occhio, ma qui se nego viene il pasticcio che dicevo esiste un gatto tale che per ogni non occhio. Ma se le due scritture sono equivalenti dovrebbe funzionare la negazione anche su quest'ultima credo.
∀x, (G(x)=>∃y O(y)) con G(x) x è gatto e O(y) y è occhio.
Qui negando viene ∃x,(G(x) e per ogni y O(y)), quindi esiste x nell'universo che è un gatto tale che ogni elemento del gatto non è un occhio. Sembra andare ma c'è un ma
∀x, (G(x)=>∃y O(y)) si pò scrivere brevemente come ∀G(x),∃O(y) in modo compresso e dovrebbe andare bene a intuito: (per) ogni gatto ha (esiste) un occhio, ma qui se nego viene il pasticcio che dicevo esiste un gatto tale che per ogni non occhio. Ma se le due scritture sono equivalenti dovrebbe funzionare la negazione anche su quest'ultima credo.
"Per ogni gatto esiste un occhio" è vero perché esiste almeno un occhio e quindi "esiste un occhio" è vero indipendentemente da cosa ci quantifichi prima. Per capirci meglio, se io dico "per ogni numero, esiste 1" è vero perché 1 esiste a prescindere. Sarebbe diverso se dicessi "per ogni gatto $x$ esiste un figlio di $x$", questo è falso perché ci sono gatti senza figli.
Se quello che viene dopo la quantificazione non dipende dall'entità quantificata (come per esempio l'occhio, che non dipende dal gatto), è un po' come se non avessi quantificato affatto.
Forse intendevi dire che ogni gatto ha almeno un occhio? Potrebbe essere falso (potrebbero esserci gatti senza occhi).
Se quello che viene dopo la quantificazione non dipende dall'entità quantificata (come per esempio l'occhio, che non dipende dal gatto), è un po' come se non avessi quantificato affatto.
Forse intendevi dire che ogni gatto ha almeno un occhio? Potrebbe essere falso (potrebbero esserci gatti senza occhi).
Grazie, allora vediamo se riesco a trasformarlo in formule, il tuo discorso, perché mi pare che il linguaggio parlato mi crei molti dubbi mentre con le forule mi torna già di più e comprendo meglio.
Osservazione aggiuntiva, in questo caso ovviamente il senso della frase non cambierebbe se inverto esiste con per ogni: (∃y,O(y)),(∀x,G(x)) e il senso è esatamente quello di prima.
Per ora mi sembra tutto sensato, o almeno ci spero.
L'idea mi sa che era proprio la frase che scrivi, volevo rendere che ogni gatto ha un occhio con per ogni gatto esiste un occhio (sottointendevo di quel gatto, in modo errato).
Quindi la scriverei come: ∀x,(G(x)=>∃y O(y)) se poi la negassi avrei ∃x,(G(x) e ∀y O(y)), quindi esiste x nell'universo che è un gatto tale che ogni elemento del gatto non è un occhio. Mi sembra giusto perché ho solo seguito le regole di negazione applicate a quantificatori e implicazione.
Da qui rimarrebbero due domande.
L'unico dubbio è che avendo messo in ∀x, (G(x)=>∃y O(y)) un O(y), sembra che l'occhio non dipenda dal gatto, non so se dovrei metterci un O(x,y) per dare il senso di dipendenza anche da x gatto? Però mi sembra che la dipendenza sia già esplicita per via della parentesi che dice che per ogni si applica a (G(x)=>∃y O(y))
L'altra domanda invece che mi rimaneva è questa:
ammesso che ∀x, (G(x)=>∃y O(y)) voglia dire 'ogni gatto ha almeno un occhio', essa dovrebbe potersi scrivere brevemente come (∀G(x),∃O(y)) o comunque (∀G(x),∃O(x,y)) in modo compresso e dovrebbe andare bene a intuito dato che la parentesi si gioca su enrambi, quindi: (per) ogni gatto ha (ossia esiste per quel gatto) almeno un occhio, ma qui se nego viene il pasticcio che dicevo: 'esiste un non gatto tale che per ogni non occhio'. Non mi sembra più funzionare ma se le due scritture, compressa e non, sono equivalenti dovrebbe funzionare la negazione anche su quest'ultima credo e di fatto io ho solo negato,
not(∀G(x),∃O(x,y)) --> (∃ notG(x),∀ notO(x,y))
"Per ogni gatto esiste un occhio" è vero perché esiste almeno un occhio e quindi "esiste un occhio" è vero indipendentemente da cosa ci quantifichi prima. Per capirci meglio, se io dico "per ogni numero, esiste 1" è vero perché 1 esiste a prescinderese ho ben capito qui mi stai spiegando che sempre con il senso di G gatto e O occhio: con 'per ogni gatto esiste un occhio' starei affermando (∀x,G(x)),(∃y,O(y)) cioè per farla più breve (∀G),(∃O) e quindi la quantidicazione è limitata al gatto e non rendeva bene quello che voleva dire.
Osservazione aggiuntiva, in questo caso ovviamente il senso della frase non cambierebbe se inverto esiste con per ogni: (∃y,O(y)),(∀x,G(x)) e il senso è esatamente quello di prima.
Per ora mi sembra tutto sensato, o almeno ci spero.
Forse intendevi dire che ogni gatto ha almeno un occhio? Potrebbe essere falso (potrebbero esserci gatti senza occhi).esatto, certo può essere falsa ma al di là del falso o meno volevo renderlo in formule.
L'idea mi sa che era proprio la frase che scrivi, volevo rendere che ogni gatto ha un occhio con per ogni gatto esiste un occhio (sottointendevo di quel gatto, in modo errato).
Quindi la scriverei come: ∀x,(G(x)=>∃y O(y)) se poi la negassi avrei ∃x,(G(x) e ∀y O(y)), quindi esiste x nell'universo che è un gatto tale che ogni elemento del gatto non è un occhio. Mi sembra giusto perché ho solo seguito le regole di negazione applicate a quantificatori e implicazione.
Da qui rimarrebbero due domande.
L'unico dubbio è che avendo messo in ∀x, (G(x)=>∃y O(y)) un O(y), sembra che l'occhio non dipenda dal gatto, non so se dovrei metterci un O(x,y) per dare il senso di dipendenza anche da x gatto? Però mi sembra che la dipendenza sia già esplicita per via della parentesi che dice che per ogni si applica a (G(x)=>∃y O(y))
L'altra domanda invece che mi rimaneva è questa:
ammesso che ∀x, (G(x)=>∃y O(y)) voglia dire 'ogni gatto ha almeno un occhio', essa dovrebbe potersi scrivere brevemente come (∀G(x),∃O(y)) o comunque (∀G(x),∃O(x,y)) in modo compresso e dovrebbe andare bene a intuito dato che la parentesi si gioca su enrambi, quindi: (per) ogni gatto ha (ossia esiste per quel gatto) almeno un occhio, ma qui se nego viene il pasticcio che dicevo: 'esiste un non gatto tale che per ogni non occhio'. Non mi sembra più funzionare ma se le due scritture, compressa e non, sono equivalenti dovrebbe funzionare la negazione anche su quest'ultima credo e di fatto io ho solo negato,
not(∀G(x),∃O(x,y)) --> (∃ notG(x),∀ notO(x,y))
Faccio molta fatica a capire di cosa parli perché il linguaggio che usi non è formale (anche se lo può sembrare) e mi limito a dire un paio di cose.
Consideriamo la proposizione "ogni gatto ha almeno un occhio", che potrebbe essere vera o anche no, non importa. La sua negazione è "esiste un gatto senza occhi" (perché non avere almeno un occhio significa non avere occhi). Fine.
Scrivere G(x) e O(y) non ha senso (se vuoi dargli un senso li devi definire rigorosamente). Parlare di "elementi del gatto" non ha senso.
Comunque sposto nella sezione giusta.
"menegazzi":Qui stai scrivendo parole in libertà che non hanno un significato reale. Cosa vuol dire G(x)? Gatto di x? Cosa vuol dire O(y)? Occhio di y? Cos'è un "elemento del gatto"? Sono tutte sovrastrutture che hai creato dal nulla (e che hanno il solo effetto di intralciare il tuo discorso e la tua comprensione).
Quindi la scriverei come: ∀x,(G(x)=>∃y O(y)) se poi la negassi avrei ∃x,(G(x) e ∀y O(y)), quindi esiste x nell'universo che è un gatto tale che ogni elemento del gatto non è un occhio. Mi sembra giusto perché ho solo seguito le regole di negazione applicate a quantificatori e implicazione.
Consideriamo la proposizione "ogni gatto ha almeno un occhio", che potrebbe essere vera o anche no, non importa. La sua negazione è "esiste un gatto senza occhi" (perché non avere almeno un occhio significa non avere occhi). Fine.
Scrivere G(x) e O(y) non ha senso (se vuoi dargli un senso li devi definire rigorosamente). Parlare di "elementi del gatto" non ha senso.
Comunque sposto nella sezione giusta.
Ti ringrazio per lo spostamento. Io avevo visto la sezione ma dato che non sono un universitario e non studio matematica o logica mi sembrava la mia domanda più generale e poco interessante per la sezione vera di logica. Da qui l'ho messo in generale.
Però ho capito la tua spiegazione, e la frase mi è chiara. Però mi piacerebbe tanto capire come riuscire a renderla in formule, perché sono convinto mi aiuterebbe anche in situazioni future dato che lasciano meno spazio a errori. Però mi dicevi che ho sbagliato a farlo, e vorrei chiederti se potessi aiutarmi a scriverle in modo rigoroso.
"ogni gatto ha almeno un occhio" e "esiste un gatto senza occhi" come si mettono qundi in formule?
Forse dopo la tua risposta la scriverei come ∀x in A,(G(x)=>∃y in B O(x,y)) dove x è un elemento dell'insieme animali e G(x) è l'anmale x è un gatto e O(x,y ) l'elemento y dell'animale x è un occhio, con y elemento di B cioè l'insieme delle parti che compongono un gatto.
A questo punto avendo precisato gli insiemi di definizione direi che la negazione è ∃x,(G(x) e ∀y O(x,y))?
Forse così risponderebbe alla prima domanda del mio messaggio di prima, però lasciando l'interpretazione di x,y G O come qui detto, mi sembra comunque lecita la seconda domanda:
∀x in A,(G(x)=>∃y in B O(x,y)) posso sineizzarla con ∀G,∃O cioè ogni gatto ha almeno un occhio e negando: ¬(∀G,∃O) diventa ∃¬G,∀¬O (che diventa una frase insensata), ma forse qua il problema è che so mischiando due modi di procedere, e compattare così la formula ed eseguire la negazione con le regole sui quantificatori non funziona più.
Però ho capito la tua spiegazione, e la frase mi è chiara. Però mi piacerebbe tanto capire come riuscire a renderla in formule, perché sono convinto mi aiuterebbe anche in situazioni future dato che lasciano meno spazio a errori. Però mi dicevi che ho sbagliato a farlo, e vorrei chiederti se potessi aiutarmi a scriverle in modo rigoroso.
"ogni gatto ha almeno un occhio" e "esiste un gatto senza occhi" come si mettono qundi in formule?
Forse dopo la tua risposta la scriverei come ∀x in A,(G(x)=>∃y in B O(x,y)) dove x è un elemento dell'insieme animali e G(x) è l'anmale x è un gatto e O(x,y ) l'elemento y dell'animale x è un occhio, con y elemento di B cioè l'insieme delle parti che compongono un gatto.
A questo punto avendo precisato gli insiemi di definizione direi che la negazione è ∃x,(G(x) e ∀y O(x,y))?
Forse così risponderebbe alla prima domanda del mio messaggio di prima, però lasciando l'interpretazione di x,y G O come qui detto, mi sembra comunque lecita la seconda domanda:
∀x in A,(G(x)=>∃y in B O(x,y)) posso sineizzarla con ∀G,∃O cioè ogni gatto ha almeno un occhio e negando: ¬(∀G,∃O) diventa ∃¬G,∀¬O (che diventa una frase insensata), ma forse qua il problema è che so mischiando due modi di procedere, e compattare così la formula ed eseguire la negazione con le regole sui quantificatori non funziona più.
Di solito in logica e in matematica si fa come segue. Sia $G$ l'insieme dei gatti. Ogni gatto lo consideriamo uguale all'insieme delle sue parti, cioè 4 zampe, 2 orecchie ecc. (Ovviamente se il gatto in questione ha perso una zampa allora nell'insieme corrispondente ci saranno solo 3 zampe ecc.).
In altre parole ogni $x in G$ (ogni $x$ appartenente a $G$) è a sua volta un insieme. Cioè per gli scopi di quanto stiamo dicendo consideriamo i gatti come insiemi (ogni gatto è l'insieme delle sue parti).
Questo non eravamo obbligati a farlo, ma è un modo di formalizzare meglio cosa intendiamo per "gatto" (la parola gatto non significa niente dal punto di vista logico finché non le diamo un significato).
"$x in G$" si legge "$x$ appartiene a $G$" oppure "$x$ è un elemento di $G$".
Ora sia $O$ l'insieme degli occhi. Qui voglio dire tutti gli occhi che esistono nel mondo (e non solo di esseri umani, anche degli altri animali). Quindi $O$ è un insieme finito ma molto grande.
"Ogni gatto ha almeno un occhio" si può ora scrivere così:
$AA x in G$
$EE y in O$
$y in x$
Da leggersi "per ogni elemento $x$ di $G$ esiste un elemento $y$ di $O$ tale che $y$ appartiene a $x$".
La sua negazione ("esiste un gatto senza occhi") è
$EE x in G$
$AA y in O$
$y notin x$
Da leggersi "esiste un elemento $x$ di $G$ tale che per ogni elemento $y$ di $O$, $y$ non appartiene a $x$".
In altre parole ogni $x in G$ (ogni $x$ appartenente a $G$) è a sua volta un insieme. Cioè per gli scopi di quanto stiamo dicendo consideriamo i gatti come insiemi (ogni gatto è l'insieme delle sue parti).
Questo non eravamo obbligati a farlo, ma è un modo di formalizzare meglio cosa intendiamo per "gatto" (la parola gatto non significa niente dal punto di vista logico finché non le diamo un significato).
"$x in G$" si legge "$x$ appartiene a $G$" oppure "$x$ è un elemento di $G$".
Ora sia $O$ l'insieme degli occhi. Qui voglio dire tutti gli occhi che esistono nel mondo (e non solo di esseri umani, anche degli altri animali). Quindi $O$ è un insieme finito ma molto grande.
"Ogni gatto ha almeno un occhio" si può ora scrivere così:
$AA x in G$
$EE y in O$
$y in x$
Da leggersi "per ogni elemento $x$ di $G$ esiste un elemento $y$ di $O$ tale che $y$ appartiene a $x$".
La sua negazione ("esiste un gatto senza occhi") è
$EE x in G$
$AA y in O$
$y notin x$
Da leggersi "esiste un elemento $x$ di $G$ tale che per ogni elemento $y$ di $O$, $y$ non appartiene a $x$".
Grazie per la spiegazione, mi è chiara ed è geniale l'idea di considerare il gatto come insieme e comprendo così $y in x$.
Però, dato che non capisco dove sbaglio io vorrei provare a renderti la vita più facile riscrivendo così magari sai correggermi l'errore, perché vorrei capire dove risiede e ci sto impazzendo a non capirlo.
Definisco:
- $x$ come elemento di un insieme $A$ che è quello degli animali
- $y$ è un elemento di $B$ insieme delle parti che compongono i gatti[nota]O se vogliamo essere più generali ancora B è l'insieme delle parti che compongono gli animali (mettiamo per semplificarci la vita che intendiamo con animali esseri viventi che tutti abbiano zampe coda occhi ecc)[/nota] (quindi occhi, zame coda ecc.)
- $G(x)$ la proposizione "$x$ è un gatto"
- $O(x,y)$ la proposizione "$y$ è elemento dell'animale $x$"
Fatto ciò scrivo: $∀x in A,(G(x)=>∃y in B$ tale che $O(x,y))$ che mi sembra potersi leggere "per ogni animale x in A se x è un gatto allora esiste y (elemento delle parti che compongono un gatto) tale che y è un occhio (de gatto x)"
Ok è un po' arzigogolata però alla fin fine mi sembra essere che "ogni gatto ha almeno un occhio"
La negazione diventa in modo ovvio: $∃x in A$ tale che$(G(x) e ∀y ¬O(x,y))$ di nuovo strano modo per dire "esiste un animale tale che è un gatto e ogni sua parte non è un occhio (cioè non ha occhi)", che mi sembra essere esiste un gatto senza alcun occhio.
Sono disperato perché non vedo l'errore
Aggiunta dopo:
Forse ci arrivo tardi ma in effetti è uguale:
$AA x in G$
$EE y in O$
$y in x$
Scriviamola così: $AA x in G,EE y in O$ t.c.$y in x$ ed espandendola non è altri se non
$AA x, (x in G => EE y in O$ t.c.$y in x)$ e quindi:
- $x in G$ è la mia $G(x)$ ed
- $y in O$ t.c.$y in x$ è la "mia" $∃y in B$ tale che $O(x,y)$.
Forse è così
Infine
questa è una stupidata perché la scrittura ∀G,∃O non è logicamente corretta e poi se vado a negare una cosa scritta male èovvio che mi trovo ∃¬G,∀¬O "esiste un non gatto per ogni non occhio", perché parto da una frase logica già mal posta direi?
Però, dato che non capisco dove sbaglio io vorrei provare a renderti la vita più facile riscrivendo così magari sai correggermi l'errore, perché vorrei capire dove risiede e ci sto impazzendo a non capirlo.
Definisco:
- $x$ come elemento di un insieme $A$ che è quello degli animali
- $y$ è un elemento di $B$ insieme delle parti che compongono i gatti[nota]O se vogliamo essere più generali ancora B è l'insieme delle parti che compongono gli animali (mettiamo per semplificarci la vita che intendiamo con animali esseri viventi che tutti abbiano zampe coda occhi ecc)[/nota] (quindi occhi, zame coda ecc.)
- $G(x)$ la proposizione "$x$ è un gatto"
- $O(x,y)$ la proposizione "$y$ è elemento dell'animale $x$"
Fatto ciò scrivo: $∀x in A,(G(x)=>∃y in B$ tale che $O(x,y))$ che mi sembra potersi leggere "per ogni animale x in A se x è un gatto allora esiste y (elemento delle parti che compongono un gatto) tale che y è un occhio (de gatto x)"
Ok è un po' arzigogolata però alla fin fine mi sembra essere che "ogni gatto ha almeno un occhio"
La negazione diventa in modo ovvio: $∃x in A$ tale che$(G(x) e ∀y ¬O(x,y))$ di nuovo strano modo per dire "esiste un animale tale che è un gatto e ogni sua parte non è un occhio (cioè non ha occhi)", che mi sembra essere esiste un gatto senza alcun occhio.
Sono disperato perché non vedo l'errore
Aggiunta dopo:
Forse ci arrivo tardi ma in effetti è uguale:
$AA x in G$
$EE y in O$
$y in x$
Scriviamola così: $AA x in G,EE y in O$ t.c.$y in x$ ed espandendola non è altri se non
$AA x, (x in G => EE y in O$ t.c.$y in x)$ e quindi:
- $x in G$ è la mia $G(x)$ ed
- $y in O$ t.c.$y in x$ è la "mia" $∃y in B$ tale che $O(x,y)$.
Forse è così
Infine
∀x in A,(G(x)=>∃y in B O(x,y)) posso sineizzarla con ∀G,∃O cioè ogni gatto ha almeno un occhio e negando: ¬(∀G,∃O) diventa ∃¬G,∀¬O
questa è una stupidata perché la scrittura ∀G,∃O non è logicamente corretta e poi se vado a negare una cosa scritta male èovvio che mi trovo ∃¬G,∀¬O "esiste un non gatto per ogni non occhio", perché parto da una frase logica già mal posta direi?
"menegazzi":Sei sicuro? Non è questo che intendi con $O(x,y)$, ci dovrebbero essere gli occhi di mezzo.
$O(x,y)$ la proposizione "$y$ è elemento dell'animale $x$"
Comunque quello che hai detto in seguito è sostanzialmente giusto, a meno di alcuni errori di forma.
La negazione diventa in modo ovvio: $∃x in A$ tale che$(G(x) e ∀y ¬O(x,y))$ di nuovo strano modo per dire "esiste un animale tale che è un gatto e ogni sua parte non è un occhio (cioè non ha occhi)", che mi sembra essere esiste un gatto senza alcun occhio.Non ci sono errori sostanziali, ma devi chiarire cosa intendi con $O(x,y)$ perché non si è capito.
Sono disperato perché non vedo l'errore
Infine
[quote]∀x in A,(G(x)=>∃y in B O(x,y)) posso sineizzarla con ∀G,∃O cioè ogni gatto ha almeno un occhio e negando: ¬(∀G,∃O) diventa ∃¬G,∀¬O
questa è una stupidata perché la scrittura ∀G,∃O non è logicamente corretta e poi se vado a negare una cosa scritta male èovvio che mi trovo ∃¬G,∀¬O "esiste un non gatto per ogni non occhio", perché parto da una frase logica già mal posta direi?[/quote]
No, la negazione di "per ogni gatto esiste un occhio" non è "esiste un non gatto per ogni non occhio", non ti sembra? La negazione di "per ogni gatto esiste un occhio" è "esiste un gatto tale che non esiste nessun occhio" (poi è una frase di pochissimo senso, ma su questo trasvoliamo).
ops non so cosa sia successo ma stavo correggendo una cosa nella forma e non tanto nella sostanza di questo messaggio e non so perché inviando nuovamente mi si è sdoppiato.
Cancello qui e lascio nella pagina dopo perché alla fine è una copia di questo
Cancello qui e lascio nella pagina dopo perché alla fine è una copia di questo
Verissimo! Grazie per avermelo fatto notare era una svista.
Correggerei con:
se abbiamo detto che $B$ è l'insieme delle parti che compongono un gatto, allora $O(x,y)$ è la proposizione che dice "l'elemento y del gatto è occhio dell'animale x" o pù comodamente: "y è occhio dell'animale x".
La cosa curiosa è che nel parlato se dico "ogni gatto ha almeno un occhio" posso renderla quindi in due modi:
nel tuo: $∀x,(x∈G⇒∃y∈O t.c. y∈x)$
oppure il mio: $∀x,(x in G⇒∃y∈B t.c. O(x,y))$
sicuramente la tua è meglio, però anche la seconda esprime più o meno lo stesso senso, pescando però gli elementi y non tra tutti gli occhi possibili ma essendo y appartenente all'isieme delle "componenti" del gatto (o comunque di un animale, cioè zampe, occhi, orecchie...). E mi pare che questa duplice sfumatura da dove pesco gli occhi, nel parlato non ci sia.
per quanto riguarda invece il resto
se io considero la frase "per ogni gatto esiste un occhio" cioè quella che scrivevo con ∀G,∃O nell'ultimo messaggio devo intenderla come (∀G),(∃O)? Cioè che l'ochio esiste a prescindere da quel dato gatto, in sostanza? non c'è correlazione tra le due cose.
E soprattutto la sua negazione "esiste un gatto tale che non esiste nessun occhio", non vuol dire tanto che esiste un gatto tale che (per quel gatto) non esiste nessun occhio, come inizialmente interpretavo. Se capito sarebbe: esiste un gatto tale che non esiste nessun occhio (anche se questo tale che mi confonde non poco, perché sembra che dica che l'occhio si riferisce a quel gatto)
Quella frase ha quindi significato che esiste un gatto e non esiste nessun occhio al mondo.
Poi quando invece negavo $∀G,∃O$ la intendevo come $∀(G,∃O)$ e ottenenvo $∃¬(G,∃O)$ da cui negando la parentesi $∃(¬G,¬∃O)$ infine: $∃(¬G,∀¬O)$ questo era il mio processo mentale.
in sostanza cercavo di applicarvi una regola che mi sembrava simile a $¬(∀xP(x)) <=> ∃x¬P(x)$ e all'altra: $¬(∃xP(x)) <=> ∀x¬P(x)$, che però è insensato per il discorso fatto sopra ∀xG(x) vorrebbe dire (ad esempio) ogni animale è un gatto ed è corretto che la negazione sia: esiste un animale che non è un gatto.
mentre se scrivo ∀G la negazione non è esiste un non gatto ma non esiste un gatto. E qui avevo fatto l'errore, per intenderci.
Grazie per aver aiutato un giurista a capire finalmente come funzionano le cose in modo corretto
.
Correggerei con:
se abbiamo detto che $B$ è l'insieme delle parti che compongono un gatto, allora $O(x,y)$ è la proposizione che dice "l'elemento y del gatto è occhio dell'animale x" o pù comodamente: "y è occhio dell'animale x".
La cosa curiosa è che nel parlato se dico "ogni gatto ha almeno un occhio" posso renderla quindi in due modi:
nel tuo: $∀x,(x∈G⇒∃y∈O t.c. y∈x)$
oppure il mio: $∀x,(x in G⇒∃y∈B t.c. O(x,y))$
sicuramente la tua è meglio, però anche la seconda esprime più o meno lo stesso senso, pescando però gli elementi y non tra tutti gli occhi possibili ma essendo y appartenente all'isieme delle "componenti" del gatto (o comunque di un animale, cioè zampe, occhi, orecchie...). E mi pare che questa duplice sfumatura da dove pesco gli occhi, nel parlato non ci sia.
per quanto riguarda invece il resto
No, la negazione di "per ogni gatto esiste un occhio" non è "esiste un non gatto per ogni non occhio", non ti sembra? La negazione di "per ogni gatto esiste un occhio" è "esiste un gatto tale che non esiste nessun occhio" (poi è una frase di pochissimo senso, ma su questo trasvoliamo).questa è l'unica parte che non ho ancora ben interiorizzato.
se io considero la frase "per ogni gatto esiste un occhio" cioè quella che scrivevo con ∀G,∃O nell'ultimo messaggio devo intenderla come (∀G),(∃O)? Cioè che l'ochio esiste a prescindere da quel dato gatto, in sostanza? non c'è correlazione tra le due cose.
E soprattutto la sua negazione "esiste un gatto tale che non esiste nessun occhio", non vuol dire tanto che esiste un gatto tale che (per quel gatto) non esiste nessun occhio, come inizialmente interpretavo. Se capito sarebbe: esiste un gatto tale che non esiste nessun occhio (anche se questo tale che mi confonde non poco, perché sembra che dica che l'occhio si riferisce a quel gatto)
Quella frase ha quindi significato che esiste un gatto e non esiste nessun occhio al mondo.
Poi quando invece negavo $∀G,∃O$ la intendevo come $∀(G,∃O)$ e ottenenvo $∃¬(G,∃O)$ da cui negando la parentesi $∃(¬G,¬∃O)$ infine: $∃(¬G,∀¬O)$ questo era il mio processo mentale.
in sostanza cercavo di applicarvi una regola che mi sembrava simile a $¬(∀xP(x)) <=> ∃x¬P(x)$ e all'altra: $¬(∃xP(x)) <=> ∀x¬P(x)$, che però è insensato per il discorso fatto sopra ∀xG(x) vorrebbe dire (ad esempio) ogni animale è un gatto ed è corretto che la negazione sia: esiste un animale che non è un gatto.
mentre se scrivo ∀G la negazione non è esiste un non gatto ma non esiste un gatto. E qui avevo fatto l'errore, per intenderci.
Grazie per aver aiutato un giurista a capire finalmente come funzionano le cose in modo corretto
.
"menegazzi":Esatto.
Quella frase ha quindi significato che esiste un gatto e non esiste nessun occhio al mondo.
Poi quando si scrive $AA G EE O$ si intende sempre $(AA G) (EE O)$. E se lo scrivi così il gatto e l'occhio non hanno nessun collegamento tra loro.
Grazie per aver aiutato un giurista a capire finalmente come funzionano le cose in modo correttoPrego!
E solo un'ultima curiosità
Perché magari è una mera stupidaggine o magari quacosa di interessante.
"menegazzi":secondo te questa considerazione ha qualche cosa di utile o più profondo o meno?
La cosa curiosa è che nel parlato se dico "ogni gatto ha almeno un occhio" posso renderla quindi in due modi:
nel tuo: $∀x,(x∈G⇒∃y∈O t.c. y∈x)$
oppure il mio: $∀x,(x in G⇒∃y∈B t.c. O(x,y))$
sicuramente la tua è meglio, però anche la seconda esprime più o meno lo stesso senso, pescando però gli elementi y non tra tutti gli occhi possibili ma essendo y appartenente all'isieme delle "componenti" del gatto (o comunque di un animale, cioè zampe, occhi, orecchie...). E mi pare che questa duplice sfumatura da dove pesco gli occhi, nel parlato non ci sia.
Perché magari è una mera stupidaggine o magari quacosa di interessante.
È una riformulazione equivalente. Non la vedrei come una formulazione sostanzialmente diversa, in fondo stai dicendo la stessa cosa.
Cioè io dico "esiste un elemento nell'insieme degli occhi che appartiene al gatto fuffi", tu dici "esiste un elemento nell'insieme delle parti dei gatti che è un occhio e appartiene al gatto fuffi".
Ho scritto fuffi per far capire che si tratta di un gatto specifico.
Come vedi sono due formulazioni del tutto equivalenti, puoi usare quella che preferisci, non importa.
Cioè io dico "esiste un elemento nell'insieme degli occhi che appartiene al gatto fuffi", tu dici "esiste un elemento nell'insieme delle parti dei gatti che è un occhio e appartiene al gatto fuffi".
Ho scritto fuffi per far capire che si tratta di un gatto specifico.
Come vedi sono due formulazioni del tutto equivalenti, puoi usare quella che preferisci, non importa.
Ho capito, in effetti davo forse troppa importanza a quelli che erano gli insiemi di appartenenza dell'oggetto y; cioè gli insiemi "occhio" e "parte dell'animale".
Da qui:
- intendendo y come elemento dell'insieme occhi vedevo che intrinsecamente e automaticamente definivo cosa era un occhio solo dicendo $y in O$.
- Mentre dicendo y è parte dell'insieme "componenti del gatto", dovevo poi definire in $O(x,y)$ che "y è un occhio (oltre ad appartenere a fuffi)".
Probabilmene la mia poca dimestichezza con questi elementi formali mi faceva apparire ciò una cosa importante, quando di fatto non lo era. Quindi grazie ancora per l'aiuto.
Buona cotinuazione.
Da qui:
- intendendo y come elemento dell'insieme occhi vedevo che intrinsecamente e automaticamente definivo cosa era un occhio solo dicendo $y in O$.
- Mentre dicendo y è parte dell'insieme "componenti del gatto", dovevo poi definire in $O(x,y)$ che "y è un occhio (oltre ad appartenere a fuffi)".
Probabilmene la mia poca dimestichezza con questi elementi formali mi faceva apparire ciò una cosa importante, quando di fatto non lo era. Quindi grazie ancora per l'aiuto.
Buona cotinuazione.
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