Morfismi tra anelli di polinomi
ciao a tutti!
ho riscontrato una certa difficoltà nel trovare il ker di un morfismo quando è tra anelli di polinomi. MI spiego meglio, se ho una applicazione che manda una sommatoria (un polinomio) in un'altra sommatoria (sempre un polinomio) allora devo vedere quando l'immagine è uguale a zero ma trattandosi anch'essa di una sommatoria e non avendo alcun altro dato da sfuttare come faccio a dire quando questa risulta pari a zero? esistono altri casi, a parte quello banale con tutti i coefficienti uguali a zero, in cui una sommatori\polinomio è uguale a zero?? se avessi una soluzione non ci sarebbe problema ma in questi es non è possibile trovarne una perchè sono molto "astratti". quello di cui sono certa è che il ker non può essere banale perchè poi viene sempre richiesto se il ker è un ideale primo e\o massimale!
grazie dell'aiuto!!
ho riscontrato una certa difficoltà nel trovare il ker di un morfismo quando è tra anelli di polinomi. MI spiego meglio, se ho una applicazione che manda una sommatoria (un polinomio) in un'altra sommatoria (sempre un polinomio) allora devo vedere quando l'immagine è uguale a zero ma trattandosi anch'essa di una sommatoria e non avendo alcun altro dato da sfuttare come faccio a dire quando questa risulta pari a zero? esistono altri casi, a parte quello banale con tutti i coefficienti uguali a zero, in cui una sommatori\polinomio è uguale a zero?? se avessi una soluzione non ci sarebbe problema ma in questi es non è possibile trovarne una perchè sono molto "astratti". quello di cui sono certa è che il ker non può essere banale perchè poi viene sempre richiesto se il ker è un ideale primo e\o massimale!
grazie dell'aiuto!!
Risposte
Ciao e benvenuto/a.
Il morfismo di polinomi lo intendi come anelli, algebra o spazio vettoriale/modulo ?
In ogni caso un polinomio è $0$ solo se sono uguali a zero tutti i coefficienti dei vari $X^i$.
Il morfismo di polinomi lo intendi come anelli, algebra o spazio vettoriale/modulo ?
In ogni caso un polinomio è $0$ solo se sono uguali a zero tutti i coefficienti dei vari $X^i$.
sì come anelli! tipo in questo caso:
$ varphi :sum_(i = 0 \ldotsn) a_i x^i rarr(sum_(i =0 \ldots n)a_i x^(i2), sum_(i = 0\ldotsn) a_ix^(i3)) $
$ varphi : Q[x]rarr Q[x]xxQ[x] $
quant'è il ker?
$ varphi :sum_(i = 0 \ldotsn) a_i x^i rarr(sum_(i =0 \ldots n)a_i x^(i2), sum_(i = 0\ldotsn) a_ix^(i3)) $
$ varphi : Q[x]rarr Q[x]xxQ[x] $
quant'è il ker?
tu hai idee?
Senza dubbio nullo.
Anche secondo me è nullo però poi l'esercizio mi chiede se Q[x]/ker è un dominio e questo che è vero se e solo se il ker è un ideale primo ma se è il solo zero la domanda ha poco senso e questo tipo di es ricorre troppo spesso per essere così banale! Comunque nel caso fosse il ker nullo sarebbe primo? Secondo me sì....
Ora, nel caso di \(\displaystyle Q = \mathbb{Q} \) direi che non ho dubbi. Se tu prendi monomio qualsiasi allora questo è ovviamente non nullo in quanto se \(\displaystyle a_nx_n \neq 0 \) cioé \(\displaystyle a_n\neq 0 \) allora \(\displaystyle a_nx^{2n} \) è senz’altro non nullo perché è stato solo moltiplicato per un elemento non nullo. Stessa cosa per l'altra componente.
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