Morfismi su R.
Salve! Problema di Algebra: determinare tutti i morfismi di R in R.
Ringrazio tutti coloro che interverranno. Ciao!
Woody
Ringrazio tutti coloro che interverranno. Ciao!
Woody
Risposte
Con "morfismi" intendevo "omomorfismi di anelli". (Naturalmente R è l'anello dei numeri reali).
Woody
Woody
Dovrebbe essere solo l'dentita'. E' facile vedere che ogni omomorfismo di anelli da R in R e' l'identita' se ristretto a Q (prima lo fai vedere in Z, poi si estende subito a Q). Il problema oar e' dire che e' l'identita' a tutto R... potrebbe non essere continuo, poiche' se e' continuo e' banale, dal momento che Q e' denso in R. Non so, ci vorrebbe qualche risultato di rialzamento degli omomorfismi: tieni conto che Q e' il sottocampo minimo di R.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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Anche io sono giunto alle tue stesse conclusioni. Il problema della continuità si riduce al problema della conservazione della relazione d'ordine: se f è un morfismo tale che per ogni x>0 risulta f(x)>0 , allora f è continua e quindi è l'identità. Resta da stabilire se ogni omomorfismo conservi la relazione d'ordine...
Woody
Woody
Sappiamo che se f è un omomorfismo, allora f è un isomorfismo (R è un campo). Supponiamo che : per ogni x in R:
x>0 --> f(x)>0 . Allora vale anche:
x<0 --> -x>0 --> f(-x)>0 --> -f(x)>0 --> f(x)<0 . Segue:
f(|x|) = |f(x)| per ogni x in R.
Siano a,b reali. Se a b-a>0 --> f(b-a)>0 --> f(a)
|x-x0|
|f(x)-f(x0)| = |f(x-x0)| = f(|x-x0|) < f(d) = e .
Dunque f è continua.
Woody
x>0 --> f(x)>0 . Allora vale anche:
x<0 --> -x>0 --> f(-x)>0 --> -f(x)>0 --> f(x)<0 . Segue:
f(|x|) = |f(x)| per ogni x in R.
Siano a,b reali. Se a b-a>0 --> f(b-a)>0 --> f(a)
|x-x0|
|f(x)-f(x0)| = |f(x-x0)| = f(|x-x0|) < f(d) = e .
Dunque f è continua.
Woody
Si, quindi il punto fondamentale e' che se f e' isomorfismo crescente, allora deve essere continuo. Quindi va dimostrato che f cresce su tutto R...
Io conosco un Teorema che dice che se f(x+y)=f(x)+f(y) e f e' misurabile, allora f e' lineare. Nel nostro caso verrebbe che f e' dunque l'identita', essendo f(1)=1. Quindi il problema e': un isomorfismo da R in R come anelli, e' misurabile?
Luca Lussardi
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Io conosco un Teorema che dice che se f(x+y)=f(x)+f(y) e f e' misurabile, allora f e' lineare. Nel nostro caso verrebbe che f e' dunque l'identita', essendo f(1)=1. Quindi il problema e': un isomorfismo da R in R come anelli, e' misurabile?
Luca Lussardi
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Purtroppo non conosco la nozione di funzione misurabile... Se non è troppo difficile o lunga da scrivere, me la potresti spiegare? Grazie!
Woody
Woody
Ehm... e' troppo lunga, pero' non saprei come dimostrare che un omomorfismo di R in R come anelli e' misurabile. Dovresti conoscere la Misura di Lebesgue anzitutto... non l'hai fatta in Analisi 2?
Esiste un esempio di funzione f che verifica f(x+y)=f(x)+f(y), con f(1)=1, non misurabile, e che quindi non e' lineare. Ora mi chiedo se la condizione f(xy)=f(x)f(y) garantisce la misurabilita'...ci penso ma non ti garantisco nulla... lo vedo piu' come esercizio algebrico a questo punto.
Luca Lussardi
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Esiste un esempio di funzione f che verifica f(x+y)=f(x)+f(y), con f(1)=1, non misurabile, e che quindi non e' lineare. Ora mi chiedo se la condizione f(xy)=f(x)f(y) garantisce la misurabilita'...ci penso ma non ti garantisco nulla... lo vedo piu' come esercizio algebrico a questo punto.
Luca Lussardi
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No, mi spiace, io ho finito il 1° anno di Matematica, e non so nulla della misura di Lebesgue; ma cercherò di documentarmi sull'argomento. Comunque grazie di tutto! Ciao!
Woody
Woody
No aspetta, ma ti e' stato dato come esercizio di Algebra 1 allora?
Luca Lussardi
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Luca Lussardi
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Per la verità non mi è stato dato come esercizio... E' un problema che mi sono posto da solo, così, per interesse personale! Forse va al di là delle mie conoscenze...
Woody
Woody
Ah, ho capito. E' facile dire che l'identita' e' il solo omomorifismo di campo da R in R, ma di anelli non e' detto. Ci penso ancora anche io se c'e' una via algebrica...
Luca Lussardi
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Luca Lussardi
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Scusa, cosa intendi con "omomorfismo di campo"?
Woody
Woody
Se praticamente diventa omomorfismo di spazio vettoriale. Cioe' se vale anche
f(ax)=af(x), per ogni a nel campo degli scalari (che e' ancora R), e per ogni x in R.
Luca Lussardi
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f(ax)=af(x), per ogni a nel campo degli scalari (che e' ancora R), e per ogni x in R.
Luca Lussardi
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quote:
Originally posted by Woody
Salve! Problema di Algebra: determinare tutti i morfismi di R in R.
Ringrazio tutti coloro che interverranno. Ciao!
Woody
Ecco una proprieta utile, e non difficile da dimostrare (ha solo un po' passaggi di verifica).
P1)-inizio
In generale se K è un campo (e questo è il caso di R) ed f morfismo di K in una struttura algebrica K' dotata si due operazioni binarie, allora:
1) f(K) è un anello
2) Se f(K)<> {0K'} allora f(K) è un campo isomorfo a K.
P1)-fine
Quindi in base a P1 una qualsiasi struttura algebrica se è immagine di R tramite un omomorfismo f, escludendo il caso banale f(K)<> {0K'}, è un campo isomorfo ad R.
Se Q è l'insieme dei razionali, allora possiamo considerare la restrizione di f ad Q, che indico con f|Q. Basandosi sul fatto che
f(1)=1 Si può dimostrare la seguente:
P2) f|Q è la funzione identica di Q in se stesso.
Quindi in particolare Q è un sottoinsieme di f(R) (che è un sottoinsieme di R). Per arrivare a dire che f(R)=R, bisogna introdurre le relazioni d'ordine e il concetto di completezza. Infatti R è un campo ordinato archimedeo completo. Se si assume questo e si assume che f sia compatibile con la relazione d'ordine (cioè la preserva), allo f diventa l'identità di R in se stesso. Alternativamente è sufficiente assumere che f sia continua.
In particolare riferendosi alla continuità è facile capire perchè è nessaria la continuità di f per arrivare a dire che è identica. Prima di tutto ricordiamo che si assume che implicitamente che l'R dell'insieme di arrivo di f sia dotato della metrica ordinaria di R (valore assoluto). Fatta questa precisazione se consideriamo una qualsiasi successione di Cauchy di razionali nell'insieme di partenza di f, essa converge ad un elemento di R, quello che ci manca e di poter dire che la stessa successione converga allo stesso numero nell'insieme di arrivo. Questo è sicuramente vero se f continua con insieme di arrivo e di partenza dotati entrambi della metrica del valore assoluto.
Spero di non aver aumentato la confusione!
Saluti
Mistral
E' esattamente il punto in cui siamo arrivati anche noi; il problema e' che non e' detto che un omomorfismo di anelli da R in R sia continuo.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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quote:
Originally posted by Luca.Lussardi
E' esattamente il punto in cui siamo arrivati anche noi; il problema e' che non e' detto che un omomorfismo di anelli da R in R sia continuo.
Luca Lussardi
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Volevo solo puntualizzare in modo sintetico il contenuto teorico delle varie affermazioni.
Sarebbe comunque interessante costruire un morfismo f tale che f(R)<>R, ammesso che questo esista.
Ecco alcune divagazioni, che mi suggerisco che f(R) possa essere un insieme piuttosto interessante.
Se si suppone che esiste f tale che f(R)<>R.
(1)Sia x un elemento di R-f(R), posso considerare l'insieme
Mx={y in f(R):y=
(2)f(R) non può essere un insieme chiuso di R, altrimenti non conterrebbe tutti i suoi punti di accumulazione e dato che contiene Q coinciderebbe con R.
(3) f(R) non può essere connesso, basta ragionare sull'effetto che questo avrebbe su (1)
(4)R-f(R) non può essere finito, in quanto altrimenti basta considerare il minimo elemento e scomporlo come una somma a+b di elementi in f(R).
(5) R-f(R) non può essere numerabile. Se per assurdo fosse numerabile potremmo ordinare i suoi elementi in ordine crescente
R-f(R)={xk:k in Z}
e si può scomporre nella successione di elementi positivi, considerendo il minimo elemento positivo è la somma di due elementi in f(R) quindi è in f(R) da cui l'assurdo.
(6)Sia R che R-f(R) sono simmetrici. Siccome f(R) è un campo contiene 0, inoltre se f(R) non contiene x non può nemmeno contenere -x. Quindi se x non sta in f(R), allora sta in R-f(R) e lo stesso vale per-x.
(7)Siccome f(R) è un campo contiene 1, inoltre se f(R) non contiene x non può nemmeno contenere 1/x. Quindi se x non sta in f(R), allora sta in R-f(R) e lo stesso vale per 1/x.
Quindi sia R-f(R) che f(R) hanno la potenza del continuo, ogni elemento di R-f(R) è limite di una successione di elementi di
f(R). Entrambi gli insieme non sono chiusi ,....
a voi ulteriori divagazioni esiste l'insieme?...sospetto di no
Saluti
Mistral
Bella divagazione, Mistral! Però in ogni caso se f è un omomorfismo di anelli di R in sè allora è un isomorfismo, quindi è suriettivo e quindi f(R)=R .
Ecco a voi un altra divagazione. Forse il seguente risultato può essere utile per la risoluzione del problema.
Sia M l'insieme delle successioni convergenti a termini razionali.
Indichiamo con {a_n} la successione di termine generico a_n .
Definiamo:
{a_n} + {b_n} := {a_n + b_n} ;
{a_n}*{b_n} := {a_n*b_n} ;
per ogni {an} , {bn} app. a M .
E' facile verificare che (M, +, *) è un anello commutativo; in particolare:
0_M = (0, 0, 0 ...) ;
1_M = (1, 1, 1 ...) .
Sia ora f : M --> R definita da:
f({qn}) = lim q_n
n->inf
per ogni {q_n} app. a M.
Dalle proprietà di somma e prodotto fra limiti segue che f è un morfismo di anelli. Inoltre, poiché per ogni x in R esiste {qn} app. a M : qn -> x , segue che f è suriettivo. Infine: {qn} app. a ker(f) <--> q_n -> 0 . Se chiamiamo:
I := {{qn} app. a M | qn -> 0} , allora dal 1° teorema di isomorfismo segue che R è isomorfo a M/I .
Saluti e buon lavoro!
Woody
Ecco a voi un altra divagazione. Forse il seguente risultato può essere utile per la risoluzione del problema.
Sia M l'insieme delle successioni convergenti a termini razionali.
Indichiamo con {a_n} la successione di termine generico a_n .
Definiamo:
{a_n} + {b_n} := {a_n + b_n} ;
{a_n}*{b_n} := {a_n*b_n} ;
per ogni {an} , {bn} app. a M .
E' facile verificare che (M, +, *) è un anello commutativo; in particolare:
0_M = (0, 0, 0 ...) ;
1_M = (1, 1, 1 ...) .
Sia ora f : M --> R definita da:
f({qn}) = lim q_n
n->inf
per ogni {q_n} app. a M.
Dalle proprietà di somma e prodotto fra limiti segue che f è un morfismo di anelli. Inoltre, poiché per ogni x in R esiste {qn} app. a M : qn -> x , segue che f è suriettivo. Infine: {qn} app. a ker(f) <--> q_n -> 0 . Se chiamiamo:
I := {{qn} app. a M | qn -> 0} , allora dal 1° teorema di isomorfismo segue che R è isomorfo a M/I .
Saluti e buon lavoro!
Woody
quote:
Originally posted by Woody
Bella divagazione, Mistral! Però in ogni caso se f è un omomorfismo di anelli di R in sè allora è un isomorfismo, quindi è suriettivo e quindi f(R)=R .
Non ho capito spiega meglio.
Saluti
Mistral
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