Morfismi su R.
Salve! Problema di Algebra: determinare tutti i morfismi di R in R.
Ringrazio tutti coloro che interverranno. Ciao!
Woody
Ringrazio tutti coloro che interverranno. Ciao!
Woody
Risposte
Supponiamo che f: R -> R sia un omomorfismo di anelli. ker(f) è un ideale di R; poichè R è un campo, esso ha solo ideali banali, quindi ker(f)=(0) --> f è iniettivo. Per il 1° teorema di omomorfismo:
Im(f) è isomorfo a R/(0); poichè R/(0) è ovviamente isomorfo a R, segue che Im(f) è isomorfo a R; ma Im(f) è un sottoanello di R, quindi Im(f)=R --> f è suriettivo.
Saluti
Woody
Im(f) è isomorfo a R/(0); poichè R/(0) è ovviamente isomorfo a R, segue che Im(f) è isomorfo a R; ma Im(f) è un sottoanello di R, quindi Im(f)=R --> f è suriettivo.
Saluti
Woody
quote:
Originally posted by Woody
Supponiamo che f: R -> R sia un omomorfismo di anelli. ker(f) è un ideale di R; poichè R è un campo, esso ha solo ideali banali, quindi ker(f)=(0) --> f è iniettivo. Per il 1° teorema di omomorfismo:
Im(f) è isomorfo a R/(0); poichè R/(0) è ovviamente isomorfo a R, segue che Im(f) è isomorfo a R; ma Im(f) è un sottoanello di R, quindi Im(f)=R --> f è suriettivo.
Saluti
Woody
Essere isomorfo ad R è differente dal dire che coincide con R...ad esempio 2Z è un sottoanello di Z isomorfo a Z ma non coincide con Z...
Saluti
Mistral
2Z non è un sottoanello di Z, perchè non contiene l'1 di Z. 2Z è semmai un ideale di Z. Quindi non può essere neanche isomorfo a Z.
Saluti
Woody
Saluti
Woody
Mi è venuto il sospetto che esistano omomorfismi di R in sè diversi dall'identità. Consideriamo:
Q[sqrt(2)] := (a + b*sqrt(2) | a, b app. a Q) .
Q[sqrt(2)] è un campo, ed è un sottoanello di R. Osservo che:
f: Q[sqrt(2)] --> Q[sqrt(2)] definita da:
f(a + b*sqrt(2)) = a - b*sqrt(2) per ogni a,b in Q ,
è un isomorfismo di anelli diverso dall'identità. Se si potesse in qualche modo estendere questo isomorfismo a R, allora avremmo risolto il problema.
Saluti,
Woody
Q[sqrt(2)] := (a + b*sqrt(2) | a, b app. a Q) .
Q[sqrt(2)] è un campo, ed è un sottoanello di R. Osservo che:
f: Q[sqrt(2)] --> Q[sqrt(2)] definita da:
f(a + b*sqrt(2)) = a - b*sqrt(2) per ogni a,b in Q ,
è un isomorfismo di anelli diverso dall'identità. Se si potesse in qualche modo estendere questo isomorfismo a R, allora avremmo risolto il problema.
Saluti,
Woody
quote:
Originally posted by Woody
2Z non è un sottoanello di Z, perchè non contiene l'1 di Z. 2Z è semmai un ideale di Z. Quindi non può essere neanche isomorfo a Z.
Saluti
Woody
La definizione di anello contempla il fatto che possa non contenere l'elemento neutro. Infatti nel caso di anelli con elemento neutro si parla anche di anelli unitari o dotati di unità.
In caso avessi dei dubbi ecco un link http://www.dm.unibo.it/matematica/Algeb ... anello.htm
Comunque tanto per non andare fuori tema credo che la tua affermazione:
quote:
segue che Im(f) è isomorfo a R; ma Im(f) è un sottoanello di R, quindi Im(f)=R
Non sia vera, e il mio esempio era solo per chiarire che isomorfi non vuol dire coincidenti.
Saluti
Mistral
In effetti si può anche dare la definizione di anello senza che questo contenga l'elemento neutro, comunque io ho sempre inteso di lavorare con anelli con unità, e così continuerò a fare. Avrei dovuto dirvelo, domando scusa! Per quanto riguarda la seconda affermazione, forse hai ragione: finora l'ho dato per scontato, ma non riesco a trovare la dimostrazione di questo fatto. Potresti trovarmi un controesempio, cioè due anelli con unità A e B tali che: A è un sottoanello di B, A è isomorfo a B e A diverso da B? Grazie.
PS: intendo dire che l'unità di B deve essere l'unità di A.
Saluti,
Woody
PS: intendo dire che l'unità di B deve essere l'unità di A.
Saluti,
Woody
quote:
Originally posted by Woody
In effetti si può anche dare la definizione di anello senza che questo contenga l'elemento neutro, comunque io ho sempre inteso di lavorare con anelli con unità, e così continuerò a fare. Avrei dovuto dirvelo, domando scusa! Per quanto riguarda la seconda affermazione, forse hai ragione: finora l'ho dato per scontato, ma non riesco a trovare la dimostrazione di questo fatto. Potresti trovarmi un controesempio, cioè due anelli con unità A e B tali che: A è un sottoanello di B, A è isomorfo a B e A diverso da B? Grazie.
PS: intendo dire che l'unità di B deve essere l'unità di A.
Saluti,
Woody
Considera il seguente:
Anello:Z={a+ib:a,b in Z}
Sottoanello:H={a+2bi:a,b in Z}
Isomorfismo:f:Z->H, definito come f(a+ib)=a+2bi
Mi sembra funzioni.
Comunque per la precizione esistono anche testi illustri di Algebra (ad esempio il Bourbakì) in cui l'anello senza unità non è chiamato anello ma pseudoanello.
Saluti
Mistral
Grazie 1000 Mistral! Bell'esempio, mi ha chiarito le idee.
Riguardo all'argomento del mio topic, hai qualche altra idea? Io ci ho pensato e ripensato, ma non sono ancora riuscito ad approdare ad un risultato; ho solo buttato giù qualche idea in proposito. Le illustro sinteticamente di seguito.
1)Ogni omomorfismo dell'anello R in sè è iniettivo.
2)Sappiamo che R è uno spazio vettoriale su Q di dimensione infinita; per la precisione, ogni base di R è equipotente ad R. Un omomorfismo dell'anello R in sè è una funzione di R in R lineare su Q. Un teorema dell'algebra lineare assicura che, fissata una base B di R e una permutazione h: B -> B, esiste una funzione f: R -> R lineare su Q tale che: f(x)=h(x) per ogni x in B.
3)R+ (l'insieme dei reali strettamente positivi) è chiuso rispetto al prodotto e: se x appartiene a R+ e q è razionale, allora x^q appartiene a R+. Chiameremo la struttura agebrica (R+,*,^) spazio esponenziale di R+ su Q.
Si può dimostrare che: se esiste un base B del Q-spazio vettoriale R, allora esiste un sottoinsieme C di R+ tale che:
per ogni x in R+, esistono unici w_1..w_n app. a C e q_1..q_n razionali tali che:
x = prodotto((w_i)^(q_i),i=1..n) . Chiameremo base esponenziale tale sottoinsieme C di R+.
Sia g: R+ -> R+ una funzione tale che:
g(v*w)=g(v)*g(w);
g(v^q)=(g(v))^q;
per ogni v, w in R+ e q razionale; allora definiamo g una funzione Q-esponenziale.
Si può dimostrare che: data una base esponenziale C di R+ e una permutazione h: C -> C , esiste un'applicazione g: R+ -> R+ esponenziale tale che: g(x)=h(x) per ogni x in C.
C'è dunque una notevole analogia formale fra la struttura di R come Q-spazio vettoriale e quella di R+ come Q-spazio esponenziale. Stabilire se esista un omomorfismo dell'anello R in sè equivale a stabilire la "compatibilità" fra le strutture sopra descritte.
... Spero di non aver vaneggiato troppo!...
PS:Sono disponibile per qualunque chiarimento.
Saluti,
Woody
Riguardo all'argomento del mio topic, hai qualche altra idea? Io ci ho pensato e ripensato, ma non sono ancora riuscito ad approdare ad un risultato; ho solo buttato giù qualche idea in proposito. Le illustro sinteticamente di seguito.
1)Ogni omomorfismo dell'anello R in sè è iniettivo.
2)Sappiamo che R è uno spazio vettoriale su Q di dimensione infinita; per la precisione, ogni base di R è equipotente ad R. Un omomorfismo dell'anello R in sè è una funzione di R in R lineare su Q. Un teorema dell'algebra lineare assicura che, fissata una base B di R e una permutazione h: B -> B, esiste una funzione f: R -> R lineare su Q tale che: f(x)=h(x) per ogni x in B.
3)R+ (l'insieme dei reali strettamente positivi) è chiuso rispetto al prodotto e: se x appartiene a R+ e q è razionale, allora x^q appartiene a R+. Chiameremo la struttura agebrica (R+,*,^) spazio esponenziale di R+ su Q.
Si può dimostrare che: se esiste un base B del Q-spazio vettoriale R, allora esiste un sottoinsieme C di R+ tale che:
per ogni x in R+, esistono unici w_1..w_n app. a C e q_1..q_n razionali tali che:
x = prodotto((w_i)^(q_i),i=1..n) . Chiameremo base esponenziale tale sottoinsieme C di R+.
Sia g: R+ -> R+ una funzione tale che:
g(v*w)=g(v)*g(w);
g(v^q)=(g(v))^q;
per ogni v, w in R+ e q razionale; allora definiamo g una funzione Q-esponenziale.
Si può dimostrare che: data una base esponenziale C di R+ e una permutazione h: C -> C , esiste un'applicazione g: R+ -> R+ esponenziale tale che: g(x)=h(x) per ogni x in C.
C'è dunque una notevole analogia formale fra la struttura di R come Q-spazio vettoriale e quella di R+ come Q-spazio esponenziale. Stabilire se esista un omomorfismo dell'anello R in sè equivale a stabilire la "compatibilità" fra le strutture sopra descritte.
... Spero di non aver vaneggiato troppo!...
PS:Sono disponibile per qualunque chiarimento.
Saluti,
Woody
Mi sono posto lo stesso problema riguardo ai numeri complessi. Supponiamo che f: C -> C sia un omomorfismo di anelli. Definisco:
g: C* -> C* tale che: g(y)=log(f(e^y)) per ogni y in C*. Si verifica che:
g(a+b)=g(a)+g(b) per ogni a,b in C*. (1)
Inoltre segue che:
f(e^y)=e^(g(y)) ; sia y=log(x) --> f(x)=e^(g(log(x))). Poichè f è un omomorfismo risulta che:
e^(g(log(a+b))) = e^(g(log(a))) + e^(g(log(b))) per ogni a,b in C*. (2)
Le relazioni (1) e (2) fanno pensare che non siano molte le applicazioni g tali da soddisfarle entrambe; suppongo che siano solo l'identità e il coniugio. Quindi gli unici omomorfismi di anelli di C in C sarebbero solo l'identità e il coniugio.
Saluti,
Woody
g: C* -> C* tale che: g(y)=log(f(e^y)) per ogni y in C*. Si verifica che:
g(a+b)=g(a)+g(b) per ogni a,b in C*. (1)
Inoltre segue che:
f(e^y)=e^(g(y)) ; sia y=log(x) --> f(x)=e^(g(log(x))). Poichè f è un omomorfismo risulta che:
e^(g(log(a+b))) = e^(g(log(a))) + e^(g(log(b))) per ogni a,b in C*. (2)
Le relazioni (1) e (2) fanno pensare che non siano molte le applicazioni g tali da soddisfarle entrambe; suppongo che siano solo l'identità e il coniugio. Quindi gli unici omomorfismi di anelli di C in C sarebbero solo l'identità e il coniugio.
Saluti,
Woody
Credo di essere vicino alla soluzione!
R è un'estensione di Q, quindi esiste T sottoinsieme di R tale che:
R = Q[T] . Ogni elemento x di R si scrive perciò come:
x = a_1*v_1 + ... + a_n*v_n dove a_1...a_n sono razionali e v_1...v_n sono reali t.c.:
1) v_1...v_n sono linearmente indipendenti in Q;
2) v_i = ((t(i)_1)^b(i)_1)*...*((t(i)_m)^(b(i)_m)) per qualche t(i)_1...t(i)_m in T, b(i)_1...b(i)_m naturali, per ogni i=1...n.
Tale scrittura non è unica; supponiamo quindi che esista S sottoinsieme di R tale che ogni numero reale x si scrive in modo unico come:
x = a_1*v_1 + ... + a_n*v_n con la medesima notazione di prima.
Allora, data g: S -> S biiezione, esiste un unico omomorfismo di anelli f: R -> R tale che: f(s) = g(s) per ogni s in S; basta infatti definire:
f(sum(a_i*prod((t(i)_j)^(b(i)_j),j=1..m),i=1..n) = sum(a_i*prod((f(t(i)_j))^(b(i)_j),j=1..m),i=1..n) .
Dunque, sotto l'ipotesi precedente, l'insieme degli omomorfismi dell'anello R in sè avrebbe cardinalità infinita e non numerabile (perchè ogni T sottoinsieme di R t.c. Q[T] = R deve essere non numerabile).
Saluti,
Woody
R è un'estensione di Q, quindi esiste T sottoinsieme di R tale che:
R = Q[T] . Ogni elemento x di R si scrive perciò come:
x = a_1*v_1 + ... + a_n*v_n dove a_1...a_n sono razionali e v_1...v_n sono reali t.c.:
1) v_1...v_n sono linearmente indipendenti in Q;
2) v_i = ((t(i)_1)^b(i)_1)*...*((t(i)_m)^(b(i)_m)) per qualche t(i)_1...t(i)_m in T, b(i)_1...b(i)_m naturali, per ogni i=1...n.
Tale scrittura non è unica; supponiamo quindi che esista S sottoinsieme di R tale che ogni numero reale x si scrive in modo unico come:
x = a_1*v_1 + ... + a_n*v_n con la medesima notazione di prima.
Allora, data g: S -> S biiezione, esiste un unico omomorfismo di anelli f: R -> R tale che: f(s) = g(s) per ogni s in S; basta infatti definire:
f(sum(a_i*prod((t(i)_j)^(b(i)_j),j=1..m),i=1..n) = sum(a_i*prod((f(t(i)_j))^(b(i)_j),j=1..m),i=1..n) .
Dunque, sotto l'ipotesi precedente, l'insieme degli omomorfismi dell'anello R in sè avrebbe cardinalità infinita e non numerabile (perchè ogni T sottoinsieme di R t.c. Q[T] = R deve essere non numerabile).
Saluti,
Woody
Rettifico: il problema non l'ho risolto. Sembra che sia un pò troppo difficile per le mie conoscenze attuali... Ma comunque è stato interessante discuterne! Ringrazio tutti voi che siete intervenuti! Saluti,
Woody
Woody
Un momento, Mistral! Ripensando al tuo controesempio, cioè all'applicazione di Z in H={a+2bi:a,b in Z} definita da:
f(a+ib)=a+2bi , mi sono accorto che non può essere un morfismo di anelli. Se supponiamo f morfismo si ha:
-1 = f(-1) = f(i^2) = (f(i))^2 = (2*i)^2 = -4 --> assurdo!
Quindi potresti darmi un altro controesempio? Grazie per la collaborazione. Ciao,
Woody
f(a+ib)=a+2bi , mi sono accorto che non può essere un morfismo di anelli. Se supponiamo f morfismo si ha:
-1 = f(-1) = f(i^2) = (f(i))^2 = (2*i)^2 = -4 --> assurdo!
Quindi potresti darmi un altro controesempio? Grazie per la collaborazione. Ciao,
Woody
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