MCD e mcm tra polinomi
f(x):=x^6+3x^4-x^2+1
g(x):=3x^3-x
MCD=1
mcm=3x^9+8x^7-6x^5+4x^3-x
Sono giusti?
L'mcm va in valore assoluto?
g(x):=3x^3-x
MCD=1
mcm=3x^9+8x^7-6x^5+4x^3-x
Sono giusti?
L'mcm va in valore assoluto?
Risposte
"thedarkhero":
f(x):=$x^6+3x^4-x^2+1$
g(x):=$3x^3-x$
MCD=$1$
mcm=$3x^9+8x^7-6x^5+4x^3-x$
Sono giusti?
L'mcm va in valore assoluto?
mi sono limitata a porre il simbolo di dollaro all'inizio e alla fine delle espressioni scritte da te.
hai provato a scomporre? hai verificato che non hanno fattori in comune? se è così, è giusto, anche se di solito non si esegue la moltiplicazione ma si lascia indicato il prodotto di termini di grado il più basso possibile. per quanto riguarda il segno, è indifferente, anche se qualche volta si "cambiano tutti segni" nel caso che il prodotto dei vari fattori abbia una prevalenza di segni "meno" compreso il coefficiente del termine di grado più alto... che cosa intendi per "valore assoluto dell'm.c.m."?
ciao.
Quando si calcola mcm(a,b) con a,b interi si ottiene $|a*b|/MCD(a,b)$
Quando si calcola mcm(f,g) con f,g polinomi si ottiene semplicemente $f*g/MCD(f,g)$ oppure il numeratore va ancora in valore assoluto?
Quando si calcola mcm(f,g) con f,g polinomi si ottiene semplicemente $f*g/MCD(f,g)$ oppure il numeratore va ancora in valore assoluto?
"adaBTTLS":
[quote="thedarkhero"]f(x):=$x^6+3x^4-x^2+1$
g(x):=$3x^3-x$
MCD=$1$
mcm=$3x^9+8x^7-6x^5+4x^3-x$
Sono giusti?
L'mcm va in valore assoluto?
mi sono limitata a porre il simbolo di dollaro all'inizio e alla fine delle espressioni scritte da te.
hai provato a scomporre? hai verificato che non hanno fattori in comune? se è così, è giusto, anche se di solito non si esegue la moltiplicazione ma si lascia indicato il prodotto di termini di grado il più basso possibile. per quanto riguarda il segno, è indifferente, anche se qualche volta si "cambiano tutti segni" nel caso che il prodotto dei vari fattori abbia una prevalenza di segni "meno" compreso il coefficiente del termine di grado più alto... che cosa intendi per "valore assoluto dell'm.c.m."?
ciao.[/quote]
L'MCD tra polinomi si trova, come per i naturali, con l'algoritmo di Euclide.
E' il metodo migliore..
il valore assoluto di una funzione presuppone lo studio del segno della funzione stessa. quando facciamo il valore assoluto di un polinomio dovremmo dire che in alcuni intervalli vale il polinomio con "tali" segni, in altri intervalli vale con i segni opposti: non si applica al mcm di polinomi; ripeto che è indifferente prendere i vari fattori con determinati segni o con i segni opposti, ma non si usa il valore assoluto.
ti faccio un esempio semplice: se hai un prodotto dei seguenti fattori $x(x-1)(x+1)$ puoi scrivere indifferentemente $x^3-x$ o $-x^3+x$, ma non $|x^3-x|$ che invece significa tutt'altra cosa: $|x^3-x|={[x^3-x " if " -1<=x<=0vvx>=1],[-x^3+x " if "x<-1vv0
spero di aver chiarito.
ritornando al problema principale, hai verificato che i due polinomi non hanno fattori in comune?
ciao.
ti faccio un esempio semplice: se hai un prodotto dei seguenti fattori $x(x-1)(x+1)$ puoi scrivere indifferentemente $x^3-x$ o $-x^3+x$, ma non $|x^3-x|$ che invece significa tutt'altra cosa: $|x^3-x|={[x^3-x " if " -1<=x<=0vvx>=1],[-x^3+x " if "x<-1vv0
spero di aver chiarito.
ritornando al problema principale, hai verificato che i due polinomi non hanno fattori in comune?
ciao.
si, con l'algoritmo di euclide ho trovato MCD=1
se anzichè in R[x] fossimo in Z5[x]?
se anzichè in R[x] fossimo in Z5[x]?
Come si fa a calcolare l'MCD in Z5?
"thedarkhero":
Come si fa a calcolare l'MCD in Z5?
_
Nello stesso che se fossi in $ZZ$ o $RR$, ma tenendo presente che i coefficienti del polinomio sono in $ZZ_5$
Calcolare in $Z5$ MCD(f(x),g(x))
f(x):=$x^6-1$
g(x):=$x+1$
In $Z5$ $(x^6-1)=(x-1)$ quindi f(x):=$x-1$
Come calcolo $f(x)/g(x)$ in $Z5$?
f(x):=$x^6-1$
g(x):=$x+1$
In $Z5$ $(x^6-1)=(x-1)$ quindi f(x):=$x-1$
Come calcolo $f(x)/g(x)$ in $Z5$?
"thedarkhero":
In $Z5$ $(x^6-1)=(x-1)$
E perché mai?
Casomai siccome hai $a^5=a$ per ogni $a in ZZ_5$, potresti aver voglia di dire che $x^6-1=x^2-1$ su $ZZ_5$, ma sarebbe comunque falso: un polinomio prescinde (in generale) dalla struttura del campo dei suoi coefficienti (non è altro che una somma formale di simboli, se vuoi). Per lo stesso motivo in $ZZ_2$ il polinomio $x^2+x$ non è il polinomio nullo, anche se sostituendo tutti gli elementi di $ZZ_2$ ottieni zero.
Per contro per i campi infiniti è vero: un polinomio $P(x)$ su un campo infinito $k$ tale che $P(a)=0$ per ogni $a in k$ dev'essere identicamente nullo.
In Z5 $a^5=1$ no?
E se invece devo calcolare MCD(x-1,x+1) in Z?
E se invece devo calcolare MCD(x-1,x+1) in Z?
"thedarkhero":
In Z5 $a^5=1$ no?
No. Per esempio $2^5=2$.
E comunque anche se fosse vero non ti autorizzerebbe a sostituire $1$ a $x^5$ in un polinomio.
Ma scusa, in Z5 si ha che 5 è congruo a 0 no?
"thedarkhero":
Ma scusa, in Z5 si ha che 5 è congruo a 0 no?
Sì ma non c'entra: se $a equiv b$ non puoi dedurre che $n^a equiv n^b$. Prova a farti degli esempi.
Si certo, avevo fatto confusione prima ma poi ho capito 
Quello che non ho capito è come faccio ad applicare l'algoritmo euclideo a:
$f(x):=x^4+1$
$g(x):=x^3-1$
Se il campo è $Z5$
Quello che non ho capito è come faccio ad applicare l'algoritmo euclideo a:
$f(x):=x^4+1$
$g(x):=x^3-1$
Se il campo è $Z5$
Esattamente come fai per $ZZ$. Ogni volta trovi quoziente e resto e poi li riduci modulo 5.
Applicando l'algoritmo euclideo:
$(x^4+1)=(x^3-1)(x)+(x+1)$
$(x^3-1)=(x+1)(x^2-x+1)+(-2)$
Poi come si procede?
$(x^4+1)=(x^3-1)(x)+(x+1)$
$(x^3-1)=(x+1)(x^2-x+1)+(-2)$
Poi come si procede?
Modifico: così hai terminato no?
Ma per calcolare l'MCD non dovrei trovare un resto nullo?
"thedarkhero":
Ma per calcolare l'MCD non dovrei trovare un resto nullo?
Sì volendo puoi fare un'altra iterata, ma non ti serve: tu sei arrivato a dire che
$(x^4+1)(-x^2+x-1)+(x^3-1)(x^3-x^2+x+1) = -2 = 3$
giusto? Ora $3$ in quanto diverso da $0$ è invertibile in $ZZ_5$, quindi moltiplicando a destra e a sinistra per l'inverso di $3$ ottieni una combinazione dei due polinomi $x^4+1$ e $x^3-1$ che fornisce $1$, che quindi è l'MCD. Come vedi non si è fatto niente di nuovo, a parte ridurre modulo 5.
Eh ma dividere per 3 a destra e a sinstra lo faccio solo se so che MCD=1 no?
E poi dividendo per 3 non mi vengono coefficienti frazionari?
E poi dividendo per 3 non mi vengono coefficienti frazionari?
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