MCD e mcm tra polinomi
f(x):=x^6+3x^4-x^2+1
g(x):=3x^3-x
MCD=1
mcm=3x^9+8x^7-6x^5+4x^3-x
Sono giusti?
L'mcm va in valore assoluto?
g(x):=3x^3-x
MCD=1
mcm=3x^9+8x^7-6x^5+4x^3-x
Sono giusti?
L'mcm va in valore assoluto?
Risposte
"thedarkhero":
Eh ma dividere per 3 a destra e a sinstra lo faccio solo se so che MCD=1 no?
Dividere a destra e a sinistra lo puoi fare sempre.
E poi dividendo per 3 non mi vengono coefficienti frazionari?
In $ZZ_5$ l'elemento $3$ è invertibile. Questo significa che il suo inverso è un elemento di $ZZ_5$.
Allora forse non ho capito:
$(x^4+1)=(x^3-1)(x)+(x+1)$
$(x^3-1)=(x+1)(x^2-x+1)+(3)$
Intanto perchè decido di dividere per 3?
E poi cosa diventa l'ultima riga se la divido per 3?
$(x^4+1)=(x^3-1)(x)+(x+1)$
$(x^3-1)=(x+1)(x^2-x+1)+(3)$
Intanto perchè decido di dividere per 3?
E poi cosa diventa l'ultima riga se la divido per 3?
Se hai applicato l'algoritmo di Euclide allora dovresti aver trovato due polinomi $P(x)$ e $Q(x)$ tali che:
$P(x)(x^4+1)+Q(x)(x^3-1) = -2 = 3$.
Li hai trovati? Se sì allora prendi la relazione qui sopra e moltiplica a destra e a sinistra per l'inverso di $3$. Trovi una combinazione che fornisce $1$, quindi hai dimostrato che il MCD è 1.
Se questo che ho detto non ti è chiaro io ti consiglio di studiare un po' meglio l'algoritmo di Euclide prima di porre nuove domande.
$P(x)(x^4+1)+Q(x)(x^3-1) = -2 = 3$.
Li hai trovati? Se sì allora prendi la relazione qui sopra e moltiplica a destra e a sinistra per l'inverso di $3$. Trovi una combinazione che fornisce $1$, quindi hai dimostrato che il MCD è 1.
Se questo che ho detto non ti è chiaro io ti consiglio di studiare un po' meglio l'algoritmo di Euclide prima di porre nuove domande.
Guarda che l'algoritmo di Euclide lo conosco.
Mi sembra però che tu ti stia riferendo all'identità di Bezout, o sbaglio?
Mi sembra però che tu ti stia riferendo all'identità di Bezout, o sbaglio?
"thedarkhero":
Guarda che l'algoritmo di Euclide lo conosco.
Mi sembra però che tu ti stia riferendo all'identità di Bezout, o sbaglio?
Sì mi riferisco a quella. Io per trovare l'identità di Bezout ho sempre applicato l'algoritmo di Euclide. O meglio, quando ho usato l'algoritmo di Euclide era per trovare l'identità di Bezout. Una volta che hai l'identità di Bezout hai automaticamente il MCD, tra le altre cose.
Se conosci l'algoritmo di Euclide allora non capisco qual è il punto in cui non riesci a proseguire.
Sei arrivato a $-2$. Se fai un'altra iterata il resto successivo risulta essere $0$, quindi il MCD è $-2$. Siccome il MCD è definito a meno di moltiplicare per invertibili (per esempio $MCD(6,-3)$ è $2$ o anche $-2$), il MCD è 1.
Modifico: o meglio: $-2$ è un MCD, e quindi $(-2)*(-2)^{-1}=1$ è un altro MCD.
"Martino":
Sei arrivato a $-2$. Se fai un'altra iterata il resto successivo risulta essere $0$, quindi il MCD è $-2$. Siccome il MCD è definito a meno di moltiplicare per invertibili (per esempio $MCD(6,-3)$ è $2$ o anche $-2$), il MCD è 1.
Quello che non riesco a fare è proprio l'ultima iterata.
Comunque MCD(6,-3) in Z5 non è uguale a MCD(1,2)=1?
"thedarkhero":
Quello che non riesco a fare è proprio l'ultima iterata.
Si tratta di fare la divisione con resto tra $x+1$ e $-2$.
Comunque MCD(6,-3) in Z5 non è uguale a MCD(1,2)=1?
Infatti, ma io consideravo MCD(6,-3) in $ZZ$. Scusami per la poca chiarezza.
Si infatti ma (x+1)/(3) (che dovrebbe essere la stessa cosa di (x+1)/(-2) giusto?) quanto fa in Z5?
"thedarkhero":
Si infatti ma (x+1)/(3) (che dovrebbe essere la stessa cosa di (x+1)/(-2) giusto?) quanto fa in Z5?
Giusto.
Basta fare l'operazione. $(x+1)/(3) = (x+1)*3^{-1}$. Quindi basta moltiplicare $x+1$ per l'inverso di $3$ in $ZZ_5$, che immagino saprai determinare.
L'inverso di 3 in Z5 dovrebbe essere 2...quindi (x+1)*2=2x+2?
Esatto.
Ah allora grazie mille! 
"thedarkhero":
Ah allora grazie mille!
Prego
Scusa la crudezza che ho avuto prima ma pensavo che non avessi capito l'algoritmo. Ciao
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