Matematica discreta:si provi proprietà associativa Unione e intersezione

[lucaspaccini]

Salve sono nuovo, da poco mi sono cimentato nel mondo della matematica discreta. Vorrei sapere come svolgere questi due esercizi che intuitivamente so svolgere ma non so la vera correttezza dello svolgimento.
Primo es. (A$uu$B)$uu$C=A$uu$(B$uu$C)
Secondo es. (A$nn$B)$nn$C=A$nn$(B$nn$C)

[G.D.5]

Usando le definizioni di unione e di intersezione e le proprietà dei connettivi logici \( \land \) e \( \lor \) devi provare, per ciascuna uguaglianza insiemistica, che il LHS è un sottoinsieme del RHS e che il RHS è un sottoinsieme del LHS.

[lucaspaccini]

Quindi come la scriveresti la prova di queste uguaglianze?

[G.D.5]

\[
\begin{split}
&x \in [ ( A \cup B ) \cup C ] \iff x \in A \cup B \lor x \in C \iff ( x \in A \lor B ) \lor x \in C \iff \\
&\iff x \in A \lor ( x \in B \lor x \in C ) \iff x \in A \lor x \in B \cup C \iff x \in [A \cup ( B \cup C ) ]
\end{split}
\]
I passaggi \( \Rightarrow \) provano che \( ( A \cup B ) \cup C \subseteq A \cup ( B \cup C ) \) e i passaggi \( \Leftarrow \) provano che \( A \cup ( B \cup C ) \subseteq ( A \cup B ) \cup C \). Quindi l'uguaglianza.