L'equazione con il fattoriale

[Gosia123]

Dimostra che se gli interi positivi x, y, z, t soddisfano l'equazione:

x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + t ^ 2 = 2018!

, ciascuno dei numeri x, y, z, t è maggiore di 10 ^ 250.

2018! è il fattoriale del 2018
2018! = 1 * 2 * 3 * 4 * ... * 2017 * 2018

Qualcuno ha qualche idea?

[anto_zoolander]

se tutti fossero minori di $10^250$ è chiaro che la somma sarebbe minore di $4*10^500<2018!$
se almeno uno fosse minore di $10^250$?

[Zero87]

Problemi di questo tipo li incontravo quando andavo alle provinciali delle olimpiadi della matematica e puntualmente non sapevo risolverli...

Comunque

"anto_zoolander":se tutti fossero minori di $ 10^250 $ è chiaro che la somma sarebbe minore di $ 4*10^500<2018! $

sarebbe molto interessante trovare un metodo per dimostrare quella cosa senza una calcolatrice... io un'idea ce l'avrei.

[anto_zoolander]

@zero

da $1000$ a $1999$ ci sono $1000$ numeri che apportano $10^3$ ogni volta, quindi

$4*10^(500)

penso possa essere sufficiente

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[Zero87]

La mia era molto più complessa @anto, meglio la tua...

Approssimando per (largo) difetto la formula di Stirling in modo da mostrare che quello è molto inferiore al fattoriale
$n! > n^n 4^(-n) = 10^(n log_(10) n) \cdot 10^(-n log_10 4)= 10^(n (log_10 n - log_10 4)) = 10^(n log_10 (n/4)) > 10^(2n) > 10^(4000)$
Mi è venuta come un'illuminazione, ma dopo una giornata lavorativa potrei aver mescolato farfalle con teoremi...

[anto_zoolander]

@Zero

la approssimazione di stirling è una cosa che ho sempre rifiutato di capire Bello alla larga ci sei andato

[Gosia123]

ancora non sono sicura come risolvere questo problema:<

[anto_zoolander]

Ma ci hai almeno provato?

[Gosia123]

È abastanza difficile a cominciare senza una buona idea all'inizio

Pesavo di fare una sostituzione y=x+a, e z=t+b, pero non ho ottenuto niente d'interessante

[axpgn]

Qual è il contesto? Non che io abbia idee ( ) ma capire da dove vengono questi problemi magari aiuta …

[Stickelberger]

Suggerimento:

nessun numero naturale della forma $4^k(7+8m)$ (per qualche intero $k,m\ge 0$) e' somma di tre quadrati.

[otta96]

Scusa ma non c'era un risultato di Lagrange che diceva che tutti i naturali si possono scrivere come somma di al più $4$ quadrati?

[Stickelberger]

Hai ragione! Grazie! Intendevo tre quadrati.
Adesso cerco di correggere