Lemma di Zorn e Assioma della scelta
Salve a tutti, qualcuno avrebbe la pazienza di spiegarmi con chiarezza il lemma di Zorn e l'assioma della scelta ?
la difficoltà principale che incontro è il definire gli elementi massimali di un dato insieme, da quanto ho compreso ( e non so appunto se abbia o meno frainteso ) gli elementi massimali di un insieme sono quegli elementi che non sono confrontabili ma sono tutti maggiori o uguali a qualche altro elemento dell'insieme considerato, potreste a priori farmi un esempio di un insieme che contenga elementi massimali ? chiedo innanzi tutto questo perché è strettamente legato alla questione del lemma di zorn e ovviamente se non capisco la base del problema non so nemmeno da dove partire.
Il mio testo parte con la definizione di insiemi parzialmente ordinati ( e fin qui credo di aver inteso il concetto ) i quali contengono a loro volta Catene ( che sarebbe se ho ben capito degli insiemi totalmente ordinati ) e queste Catene devono avere maggioranti ( qui c'è un altro concetto da chiarire con più precisione ) e quindi tutta questa roba viene chiamata insieme induttivo.
il lemma dice : ogni insieme induttivo ammette elementi massimali.....
so che questa dimostrazione è poco intuitiva e non costruttiva ma potreste fare un esempio di questi insiemi e denotare con esattezza l'insieme ordinato la catena e i maggioranti e i massimali ?
grazie mille
Ps
io uso il Dikran, e onestamente lo trovo poco chiaro, ho comprato anche il Franciosi/De Giovanni ma lo trovo a volte più chiaro a volte meno, dipende dall'argomento.
la difficoltà principale che incontro è il definire gli elementi massimali di un dato insieme, da quanto ho compreso ( e non so appunto se abbia o meno frainteso ) gli elementi massimali di un insieme sono quegli elementi che non sono confrontabili ma sono tutti maggiori o uguali a qualche altro elemento dell'insieme considerato, potreste a priori farmi un esempio di un insieme che contenga elementi massimali ? chiedo innanzi tutto questo perché è strettamente legato alla questione del lemma di zorn e ovviamente se non capisco la base del problema non so nemmeno da dove partire.
Il mio testo parte con la definizione di insiemi parzialmente ordinati ( e fin qui credo di aver inteso il concetto ) i quali contengono a loro volta Catene ( che sarebbe se ho ben capito degli insiemi totalmente ordinati ) e queste Catene devono avere maggioranti ( qui c'è un altro concetto da chiarire con più precisione ) e quindi tutta questa roba viene chiamata insieme induttivo.
il lemma dice : ogni insieme induttivo ammette elementi massimali.....
so che questa dimostrazione è poco intuitiva e non costruttiva ma potreste fare un esempio di questi insiemi e denotare con esattezza l'insieme ordinato la catena e i maggioranti e i massimali ?
grazie mille
Ps
io uso il Dikran, e onestamente lo trovo poco chiaro, ho comprato anche il Franciosi/De Giovanni ma lo trovo a volte più chiaro a volte meno, dipende dall'argomento.
Risposte
Ciao! Benvenuto nel forum.
Prendiamo un insieme parzialmente ordinato [tex](P,\leq)[/tex].
- Una catena in [tex]P[/tex] e' un sottoinsieme [tex]C \subseteq P[/tex] tale che l'insieme [tex]C[/tex] dotato dell'ordine [tex]\leq[/tex] (ovviamente ristretto a [tex]C[/tex]) e' totalmente ordinato.
- Un elemento massimale di [tex]P[/tex] e' un elemento [tex]m \in P[/tex] tale che per ogni altro elemento [tex]x \in P[/tex], se accade che [tex]m \leq x[/tex] allora [tex]x=m[/tex]. In altre parole l'unico elemento di [tex]P[/tex] di cui [tex]m[/tex] e' minore o uguale e' [tex]m[/tex] stesso.
Osserva che se l'ordine e' totale ed esiste un elemento massimale [tex]m[/tex] allora esso e' unico. Se infatti [tex]p[/tex] e' un elemento massimale allora dev'essere [tex]p \leq m[/tex] per la totalita' dell'ordine e la massimalita' di [tex]m[/tex], da cui [tex]p=m[/tex] per la massimalita' di [tex]p[/tex].
Per esempio dato un insieme finito di numeri naturali ordinato tramite l'ordine usuale [tex]\leq[/tex], il suo massimo (che esiste data la finitezza) e' un elemento massimale, e data la totalita' dell'ordine tale elemento massimale e' unico.
Un altro esempio: dato un insieme [tex]X[/tex], l'insieme [tex]P(X)[/tex] (l'insieme dei sottoinsiemi di [tex]X[/tex]) e' parzialmente ordinato tramite l'inclusione [tex]\subseteq[/tex], e [tex]X[/tex] e' un suo elemento massimale, in effetti l'unico. Pero' anche [tex]P(X)-\{X\}[/tex] e' parzialmente ordinato da [tex]\subseteq[/tex], e qui a priori ci possono essere piu' di un massimale. Per esempio l'insieme [tex]\{\emptyset,\{1\},\{2\}\}[/tex] con [tex]\subseteq[/tex] ammette due massimali, [tex]\{1\}[/tex] e [tex]\{2\}[/tex].
[tex](P,\leq)[/tex] si dice induttivo se per ogni catena [tex]C[/tex] di [tex]P[/tex] esiste [tex]p \in P[/tex] tale che [tex]c \leq p[/tex] per ogni [tex]c \in C[/tex]. Un tale [tex]p[/tex] si puo' chiamare "limite superiore" di [tex]C[/tex].
Lemma di Zorn (LZ). Ogni insieme non vuoto, parzialmente ordinato induttivo ammette massimali.
Ora dovrebbe risultarti chiaro il significato del lemma di Zorn. In pratica ti dice che per mostrare che un insieme ordinato ammette massimali ti basta mostrare che ogni sua catena ammette limiti superiori.
Assioma della scelta (AS). Sia [tex]H[/tex] una famiglia non vuota di insiemi non vuoti a due a due disgiunti. Allora esiste una funzione [tex]g:H \to \cup H[/tex] tale che [tex]g(A) \in A[/tex] per ogni [tex]A \in H[/tex].
Qui per [tex]\cup H[/tex] intendo l'unione degli elementi di [tex]H[/tex], cioe' [tex]\bigcup_{A \in H}A[/tex].
Ti ricordo che LZ e AS non sono dimostrabili. Sono due enunciati indipendenti dagli assiomi precedenti, e sono equivalenti, nel senso che si implicano a vicenda.
Ora ti dimostro che LZ implica AS. Sia [tex]H[/tex] una famiglia non vuota di insiemi non vuoti a due a due disgiunti. Dato [tex]K \subseteq H[/tex] chiamiamo "scelta parziale" una funzione [tex]f:K \to \cup H[/tex] tale che [tex]f(A) \in A[/tex] per ogni [tex]A \in K[/tex]. Per esempio dato [tex]A \in H[/tex] e dato [tex]a \in A[/tex], la funzione [tex]\{A\} \to \cup H[/tex] che manda [tex]A[/tex] in [tex]a[/tex] e' una scelta parziale. L'insieme delle scelte parziali e' ordinato tramite la seguente relazione: date due scelte parziali [tex]f:K \to \cup H[/tex] e [tex]g:L \to \cup H[/tex], diciamo che [tex]f \leq g[/tex] se [tex]K \subseteq L[/tex] e [tex]g|_K=f[/tex]. Chiamiamo [tex]F[/tex] l'insieme delle scelte parziali dotato di tale ordine (come osservato, tale insieme e' non vuoto). Usiamo ora il lemma di Zorn: per mostrare che esiste un elemento massimale in [tex]F[/tex] basta mostrare che ogni catena ammette un massimale. Sia [tex]C[/tex] una catena in [tex]F[/tex], e sia [tex]E[/tex] l'insieme dei domini delle funzioni in [tex]C[/tex]. Definiamo la funzione [tex]m: \cup E \to \cup H[/tex] mandando [tex]A[/tex] nell'immagine [tex]f(A)[/tex] dove [tex]f[/tex] e' un elemento di [tex]C[/tex] al cui dominio appartiene [tex]A[/tex]. Per costruzione la funzione [tex]m[/tex] e' ben definita ([tex]m(A)[/tex] non dipende dalla particolare [tex]f \in C[/tex] che si sceglie: se si sceglie [tex]h \neq f[/tex] allora [tex]f \leq h[/tex] oppure [tex]h \leq f[/tex] per la totalita', e in particolare [tex]f(A)=h(A)[/tex]). E' tautologico che una tale [tex]m[/tex] e' un elemento massimale di [tex]C[/tex]. Per il lemma di Zorn esiste quindi [tex]g \in F[/tex] massimale. Per concludere basta mostrare che il suo dominio [tex]D[/tex] e' [tex]H[/tex]. Se cosi' non fosse esisterebbe [tex]B[/tex] fuori da [tex]D[/tex], e preso [tex]b \in B[/tex] potremmo definire [tex]h:D \cup \{B\} \to \cup H[/tex] mandando [tex]A \in D[/tex] in [tex]f(A)[/tex] e [tex]B[/tex] in [tex]b[/tex]. Si avrebbe che [tex]g \leq h[/tex] e [tex]g \neq h[/tex], assurdo.
Prendiamo un insieme parzialmente ordinato [tex](P,\leq)[/tex].
- Una catena in [tex]P[/tex] e' un sottoinsieme [tex]C \subseteq P[/tex] tale che l'insieme [tex]C[/tex] dotato dell'ordine [tex]\leq[/tex] (ovviamente ristretto a [tex]C[/tex]) e' totalmente ordinato.
- Un elemento massimale di [tex]P[/tex] e' un elemento [tex]m \in P[/tex] tale che per ogni altro elemento [tex]x \in P[/tex], se accade che [tex]m \leq x[/tex] allora [tex]x=m[/tex]. In altre parole l'unico elemento di [tex]P[/tex] di cui [tex]m[/tex] e' minore o uguale e' [tex]m[/tex] stesso.
Osserva che se l'ordine e' totale ed esiste un elemento massimale [tex]m[/tex] allora esso e' unico. Se infatti [tex]p[/tex] e' un elemento massimale allora dev'essere [tex]p \leq m[/tex] per la totalita' dell'ordine e la massimalita' di [tex]m[/tex], da cui [tex]p=m[/tex] per la massimalita' di [tex]p[/tex].
Per esempio dato un insieme finito di numeri naturali ordinato tramite l'ordine usuale [tex]\leq[/tex], il suo massimo (che esiste data la finitezza) e' un elemento massimale, e data la totalita' dell'ordine tale elemento massimale e' unico.
Un altro esempio: dato un insieme [tex]X[/tex], l'insieme [tex]P(X)[/tex] (l'insieme dei sottoinsiemi di [tex]X[/tex]) e' parzialmente ordinato tramite l'inclusione [tex]\subseteq[/tex], e [tex]X[/tex] e' un suo elemento massimale, in effetti l'unico. Pero' anche [tex]P(X)-\{X\}[/tex] e' parzialmente ordinato da [tex]\subseteq[/tex], e qui a priori ci possono essere piu' di un massimale. Per esempio l'insieme [tex]\{\emptyset,\{1\},\{2\}\}[/tex] con [tex]\subseteq[/tex] ammette due massimali, [tex]\{1\}[/tex] e [tex]\{2\}[/tex].
[tex](P,\leq)[/tex] si dice induttivo se per ogni catena [tex]C[/tex] di [tex]P[/tex] esiste [tex]p \in P[/tex] tale che [tex]c \leq p[/tex] per ogni [tex]c \in C[/tex]. Un tale [tex]p[/tex] si puo' chiamare "limite superiore" di [tex]C[/tex].
Lemma di Zorn (LZ). Ogni insieme non vuoto, parzialmente ordinato induttivo ammette massimali.
Ora dovrebbe risultarti chiaro il significato del lemma di Zorn. In pratica ti dice che per mostrare che un insieme ordinato ammette massimali ti basta mostrare che ogni sua catena ammette limiti superiori.
Assioma della scelta (AS). Sia [tex]H[/tex] una famiglia non vuota di insiemi non vuoti a due a due disgiunti. Allora esiste una funzione [tex]g:H \to \cup H[/tex] tale che [tex]g(A) \in A[/tex] per ogni [tex]A \in H[/tex].
Qui per [tex]\cup H[/tex] intendo l'unione degli elementi di [tex]H[/tex], cioe' [tex]\bigcup_{A \in H}A[/tex].
Ti ricordo che LZ e AS non sono dimostrabili. Sono due enunciati indipendenti dagli assiomi precedenti, e sono equivalenti, nel senso che si implicano a vicenda.
Ora ti dimostro che LZ implica AS. Sia [tex]H[/tex] una famiglia non vuota di insiemi non vuoti a due a due disgiunti. Dato [tex]K \subseteq H[/tex] chiamiamo "scelta parziale" una funzione [tex]f:K \to \cup H[/tex] tale che [tex]f(A) \in A[/tex] per ogni [tex]A \in K[/tex]. Per esempio dato [tex]A \in H[/tex] e dato [tex]a \in A[/tex], la funzione [tex]\{A\} \to \cup H[/tex] che manda [tex]A[/tex] in [tex]a[/tex] e' una scelta parziale. L'insieme delle scelte parziali e' ordinato tramite la seguente relazione: date due scelte parziali [tex]f:K \to \cup H[/tex] e [tex]g:L \to \cup H[/tex], diciamo che [tex]f \leq g[/tex] se [tex]K \subseteq L[/tex] e [tex]g|_K=f[/tex]. Chiamiamo [tex]F[/tex] l'insieme delle scelte parziali dotato di tale ordine (come osservato, tale insieme e' non vuoto). Usiamo ora il lemma di Zorn: per mostrare che esiste un elemento massimale in [tex]F[/tex] basta mostrare che ogni catena ammette un massimale. Sia [tex]C[/tex] una catena in [tex]F[/tex], e sia [tex]E[/tex] l'insieme dei domini delle funzioni in [tex]C[/tex]. Definiamo la funzione [tex]m: \cup E \to \cup H[/tex] mandando [tex]A[/tex] nell'immagine [tex]f(A)[/tex] dove [tex]f[/tex] e' un elemento di [tex]C[/tex] al cui dominio appartiene [tex]A[/tex]. Per costruzione la funzione [tex]m[/tex] e' ben definita ([tex]m(A)[/tex] non dipende dalla particolare [tex]f \in C[/tex] che si sceglie: se si sceglie [tex]h \neq f[/tex] allora [tex]f \leq h[/tex] oppure [tex]h \leq f[/tex] per la totalita', e in particolare [tex]f(A)=h(A)[/tex]). E' tautologico che una tale [tex]m[/tex] e' un elemento massimale di [tex]C[/tex]. Per il lemma di Zorn esiste quindi [tex]g \in F[/tex] massimale. Per concludere basta mostrare che il suo dominio [tex]D[/tex] e' [tex]H[/tex]. Se cosi' non fosse esisterebbe [tex]B[/tex] fuori da [tex]D[/tex], e preso [tex]b \in B[/tex] potremmo definire [tex]h:D \cup \{B\} \to \cup H[/tex] mandando [tex]A \in D[/tex] in [tex]f(A)[/tex] e [tex]B[/tex] in [tex]b[/tex]. Si avrebbe che [tex]g \leq h[/tex] e [tex]g \neq h[/tex], assurdo.
devo analizzare bene tutto quello che hai scritto .... comunque sul lemma di Zorn si credo di aver inteso quale sia il problema, cioè devo poter dimostrare che esiste un elemento massimale per ogni catena contenuta nell'insieme parzialmente ordinato cosi facendo ogni elemento massimale ( che poi è unico ) di quella catena si può annoverare tra gli elementi massimali di quell'insieme quindi se prendessimo $n$ catene avremmo $n$ elementi massimali ... vero ?
per il resto cerco di verificare la tua dimostrazione
grazie mille per la disponibilità
per il resto cerco di verificare la tua dimostrazione
grazie mille per la disponibilità
"BenderBendingRodriguez":No! Il lemma di Zorn ti dice che se ogni catena in un insieme induttivo F esiste un elemento massimale allora F ha un elemento massimale. Ma non c'e' motivo per cui un massimale di una catena di F sia un massimale di F.
devo analizzare bene tutto quello che hai scritto .... comunque sul lemma di Zorn si credo di aver inteso quale sia il problema, cioè devo poter dimostrare che esiste un elemento massimale per ogni catena contenuta nell'insieme parzialmente ordinato cosi facendo ogni elemento massimale ( che poi è unico ) di quella catena si può annoverare tra gli elementi massimali di quell'insieme quindi se prendessimo $n$ catene avremmo $n$ elementi massimali ... vero ?
non riesco a capire la differenza 
se ogni catena ha un elemento massimale ( e fin qui siamo d'accordo che se c'è è unico, o no ? ) e queste catene sono contenute in un insieme parzialmente ordinato F automaticamente quei massimali non sono degli elementi appartenenti ad F stesso ? forse è questo che confondo ....
per come dici te allora il fatto che un elemento sia massimale per una catena di F non implica che lo sia pure per F ..... potresti se ti va fare un esempio con un insieme specifico ? perché a me non è chiara questa cosa.
( una cosa che anche mi crea fastidi è il concetto di maggiorante, potresti fare un esempio che contenga tutte queste definizioni ? ma un esempio su uno specifico insieme passo per passo cosi che possa individuare una volta per tutte maggioranti minoranti massimali e minimali per poi poter astrarre la cosa anche senza un riferimento esemplificativo )
Stragrazie ancora !
se ogni catena ha un elemento massimale ( e fin qui siamo d'accordo che se c'è è unico, o no ? ) e queste catene sono contenute in un insieme parzialmente ordinato F automaticamente quei massimali non sono degli elementi appartenenti ad F stesso ? forse è questo che confondo ....
per come dici te allora il fatto che un elemento sia massimale per una catena di F non implica che lo sia pure per F ..... potresti se ti va fare un esempio con un insieme specifico ? perché a me non è chiara questa cosa.
( una cosa che anche mi crea fastidi è il concetto di maggiorante, potresti fare un esempio che contenga tutte queste definizioni ? ma un esempio su uno specifico insieme passo per passo cosi che possa individuare una volta per tutte maggioranti minoranti massimali e minimali per poi poter astrarre la cosa anche senza un riferimento esemplificativo )
Stragrazie ancora !
"BenderBendingRodriguez":Beh, prendi [tex]F=\{1,2\}[/tex] con l'ordine usuale. Chiaro che [tex]\{1\}[/tex] e' una catena di [tex]F[/tex], e [tex]1[/tex] e' il suo elemento massimale. Ma [tex]1[/tex] non e' un elemento massimale di [tex]F[/tex], dato che [tex]1<2[/tex].
per come dici te allora il fatto che un elemento sia massimale per una catena di F non implica che lo sia pure per F ..... potresti se ti va fare un esempio con un insieme specifico ? perché a me non è chiara questa cosa.
( una cosa che anche mi crea fastidi è il concetto di maggiorante, potresti fare un esempio che contenga tutte queste definizioni ? ma un esempio su uno specifico insieme passo per passo cosi che possa individuare una volta per tutte maggioranti minoranti massimali e minimali per poi poter astrarre la cosa anche senza un riferimento esemplificativo )Puoi prendere [tex]X=\{1,2,3\}[/tex] e [tex]F=P(X)-\{X\}[/tex] ordinato dall'inclusione. Hai che
[tex]F=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\}[/tex].
Prendi per esempio [tex]T=\{\{1\},\{2\}\} \subset F[/tex]. [tex]T[/tex] ha un unico maggiorante in [tex]F[/tex], [tex]\{1,2\}[/tex]. Poi per esempio [tex]C=\{\emptyset,\{2\}\}[/tex] e' una catena in [tex]F[/tex] e [tex]\{2\}[/tex] e' il suo elemento massimale. Ma [tex]\{2\}[/tex] non e' massimale in [tex]F[/tex] dato che [tex]\{2\} \subset \{1,2\}[/tex]. Gli elementi massimali di [tex]F[/tex] sono tre: [tex]\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}[/tex].
e il minimale è l'insieme vuoto ? cioè per tutti è l'insieme vuoto ? e poi dovrebbe corrispondere con il minimo dell'insieme in questo caso ?
[tex]\{1,2\}[/tex] ha un unico minimale, [tex]1[/tex]. [tex]F=P(\{1,2,3\})-\{\{1,2,3\}\}[/tex] e [tex]C=\{\emptyset,\{2\}\}[/tex] di cui sopra hanno un unico minimale, [tex]\emptyset[/tex]. Invece i minimali di [tex]T=\{\{1\},\{2\}\}[/tex] sono [tex]\{1\}[/tex] e [tex]\{2\}[/tex], e sono anche i massimali.
ok allora devo ogni volta tener presente l'insieme sul quale mi propongo di cercare un dato elemento cioè non esiste in questo caso un massimale ( o minimale ) che sia lo stesso per tutti ma devo sempre tener presente l'insieme e il sottoinsieme.
se invece volessimo considerare l'insieme delle parti interamente, cioè senza omettere l'insieme $X$ ?
in questo caso $X$ sarebbe un elemento massimale di questo insieme delle parti ?
Grazie per l'abnorme pazienza, in rete ci sono esercizi con esempi simili a quelli fatti da te ? giusto per fare il callo con insiemi diversi e ovviamente che diano una soluzione per poterla verificare altrimenti mi tocca ogni volta postare qui un esercizio sicuramente semplice per tutti e creare solo post inutili intasando il sito inutilmente.
ps
a breve dovrò assillarvi con un altra domanda riguardante le funzioni .... ( non riesco a capacitarmi di questa cosa io ho ritenuto che fosse un errore del testo ma ovviamente non avendo le competenze non vorrei dire castronerie )
se invece volessimo considerare l'insieme delle parti interamente, cioè senza omettere l'insieme $X$ ?
in questo caso $X$ sarebbe un elemento massimale di questo insieme delle parti ?
Grazie per l'abnorme pazienza, in rete ci sono esercizi con esempi simili a quelli fatti da te ? giusto per fare il callo con insiemi diversi e ovviamente che diano una soluzione per poterla verificare altrimenti mi tocca ogni volta postare qui un esercizio sicuramente semplice per tutti e creare solo post inutili intasando il sito inutilmente.
ps
a breve dovrò assillarvi con un altra domanda riguardante le funzioni .... ( non riesco a capacitarmi di questa cosa io ho ritenuto che fosse un errore del testo ma ovviamente non avendo le competenze non vorrei dire castronerie )
"BenderBendingRodriguez":Si' certo. Io ho tolto X per farti vedere che di massimali in generale ce ne sono piu' di uno.
se invece volessimo considerare l'insieme delle parti interamente, cioè senza omettere l'insieme $X$ ?
in questo caso $X$ sarebbe un elemento massimale di questo insieme delle parti ?
si avevo immaginato fosse per quel motivo altrimenti l'esempio sarebbe stato " debole " .
rileggendo la tua prima risposta avevi già fatto l'esempio che ti ho posto poco fa .... scusa la distrazione
Considera il cerchio con circonferenza (un disco chiuso) [tex]$D$[/tex] di centro [tex]$O$[/tex], i suoi punti siano ordinati rispetto alla loro distanza dal centro.
I) Prova che tale ordine è parziale ma non totale!
II) Prova che i punti della circonferenza sono gli elementi massimali di tali ordinamento su [tex]$D$[/tex]!
III) I raggi sono catene; sai presentarmi un esempio di catena diverso dalle precedenti?
EDIT: Corretta una fondamentale svista!
EDIT2: Non c'era nessuna svista, l'esercizio è tornato nella forma originale!
I) Prova che tale ordine è parziale ma non totale!
II) Prova che i punti della circonferenza sono gli elementi massimali di tali ordinamento su [tex]$D$[/tex]!
III) I raggi sono catene; sai presentarmi un esempio di catena diverso dalle precedenti?
EDIT: Corretta una fondamentale svista!
EDIT2: Non c'era nessuna svista, l'esercizio è tornato nella forma originale!
senti io non so se ho ben capito ma se ho capito è una figata pazzesca questo esempio 
correggetemi ogniqualvolta dico una fesseria per favore :
I) il fatto che sia un ordine parziale significa appunto che ci sono elementi che non possono essere confrontati vero?
quindi io penso ad esempio che ogni raggio è a se stante . è sbagliato vederla cosi ?
II) i punti della circonferenza sono massimali dici..... allora io immagino questi punti come i più grandi elementi per ogni raggio che considero e automaticamente il raggio lo considero come una catena perché è ordinato totalmente visto che ha una sua origine e prosegue verso il bordo ( passatemi i termini poco tecnici ) e ogni raggio è un insieme, diciamo di punti, a se stante.
III) adesso provo a spararne una grossa
visto che parlo per immagini la cosa più vicina ad una catena per me è l'insieme degli elementi massimali ( cioè il perimetro ) partendo da un dato punto ..... ma immagino che questa mia affermazione possa risultare eretica.
adesso puoi ridere e dirmi se le miei interpretazioni sono corrette ( e se non lo sono spiegami tutto a puntino
grazie mille )
correggetemi ogniqualvolta dico una fesseria per favore :
I) il fatto che sia un ordine parziale significa appunto che ci sono elementi che non possono essere confrontati vero?
quindi io penso ad esempio che ogni raggio è a se stante . è sbagliato vederla cosi ?
II) i punti della circonferenza sono massimali dici..... allora io immagino questi punti come i più grandi elementi per ogni raggio che considero e automaticamente il raggio lo considero come una catena perché è ordinato totalmente visto che ha una sua origine e prosegue verso il bordo ( passatemi i termini poco tecnici ) e ogni raggio è un insieme, diciamo di punti, a se stante.
III) adesso provo a spararne una grossa
visto che parlo per immagini la cosa più vicina ad una catena per me è l'insieme degli elementi massimali ( cioè il perimetro ) partendo da un dato punto ..... ma immagino che questa mia affermazione possa risultare eretica. adesso puoi ridere e dirmi se le miei interpretazioni sono corrette ( e se non lo sono spiegami tutto a puntino
grazie mille )
@j18eos:
Perchè non sarebbe totale?
Se prendo [tex]$x,y\in D$[/tex] allora, per il principio di tricotomia, è [tex]$|x|<|y|$[/tex] oppure [tex]$|y|<|x|$[/tex] ovvero [tex]$|x|=|y|$[/tex]; quindi non mi pare che ci siano coppie di elementi non confrontabili in [tex]$D$[/tex].
Probabilmente volevi definire la relazione richiedendo che i due punti fossero anche allineati (sullo stesso raggio), cioè:
[tex]$x\preceq y \ \Leftrightarrow \ \text{$x,y$ sono sullo stesso raggio ed $|x|\leq |y|$}$[/tex]?
"j18eos":
Considera il cerchio con circonferenza (un disco chiuso) $D$ di centro $O$, i suoi punti siano ordinati rispetto alla loro distanza dal centro.
I) Prova che tale ordine è parziale ma non totale!
Perchè non sarebbe totale?
Se prendo [tex]$x,y\in D$[/tex] allora, per il principio di tricotomia, è [tex]$|x|<|y|$[/tex] oppure [tex]$|y|<|x|$[/tex] ovvero [tex]$|x|=|y|$[/tex]; quindi non mi pare che ci siano coppie di elementi non confrontabili in [tex]$D$[/tex].
Probabilmente volevi definire la relazione richiedendo che i due punti fossero anche allineati (sullo stesso raggio), cioè:
[tex]$x\preceq y \ \Leftrightarrow \ \text{$x,y$ sono sullo stesso raggio ed $|x|\leq |y|$}$[/tex]?
non riesco a vedere dove centri il principio di triconomia, quindi forse sto per dire una vaccata, ma $D$ non è totalmente ordinato.
infatti se prendiamo ad esempio $x$ e $y$ due punti distinti con la stessa distanza dal centro, non possiamo dire nè $x
è come se mettessimo sui numeri complessi l'ordinamento $w
spero di non aver detto vaccate
immagini bene; se una catena è un sottoinsieme totalmente ordinato, come fa il sottoinsieme degli elementi massimali(e quindi inconfrontabili) ad essere una catena??
infatti se prendiamo ad esempio $x$ e $y$ due punti distinti con la stessa distanza dal centro, non possiamo dire nè $x
è come se mettessimo sui numeri complessi l'ordinamento $w
spero di non aver detto vaccate
"BenderBendingRodriguez":
III) adesso provo a spararne una grossa
immagini bene; se una catena è un sottoinsieme totalmente ordinato, come fa il sottoinsieme degli elementi massimali(e quindi inconfrontabili) ad essere una catena??
@gugo: credo che j18eos intendesse dire che due punti sono confrontabili solo se sono allineati col centro. Anche perché la relazione [tex]x \leq y \Leftrightarrow |x| \leq |y|[/tex] non è un ordine (non è antisimmetrica).
@Martino:
E pure hai ragione... Non me n'ero accorto.
"Martino":
@gugo: credo che j18eos intendesse dire che due punti sono confrontabili solo se sono allineati col centro. Anche perché la relazione [tex]x \leq y \Leftrightarrow |x| \leq |y|[/tex] non è un ordine (non è antisimmetrica).
E pure hai ragione... Non me n'ero accorto.
Mi voglio comunque scusa per la svista, con tutti! Non mi sembrava un particolare fondamentale, e ne sono convinto... non mi dite nulla ma stasera non ce la faccio. 
Domani ci ragionerò a mente fresca per convincermi!
@BenderBendindRodiguez Sono impossibilitato a risponderti direttamente, spero che qualche altr* utente lo voglia fare al posto mio!
Domani ci ragionerò a mente fresca per convincermi!
@BenderBendindRodiguez Sono impossibilitato a risponderti direttamente, spero che qualche altr* utente lo voglia fare al posto mio!
ok, grazie a tutti comunque, più cose leggo meglio è ...
riguardo a questa osservazione :
immagini bene; se una catena è un sottoinsieme totalmente ordinato, come fa il sottoinsieme degli elementi massimali(e quindi inconfrontabili) ad essere una catena??
si dopo aver scritto questa roba ci ho pensato e in effetti mi pareva una mezza se non totale cavolata, ma io appunto immaginavo la cosa come un disegno, mentalmente davo un punto ( per esempio a 0 gradi ) proseguivo in senso antiorario e creavo il perimetro e pensavo che tutti questi punti sono tra loro in relazione e che quelli più lontani dallo 0 erano sempre più grandi ( quindi creavo la catena secondo la mia fesseria ) ma capisco che non ha attinenza in quanto tutti questi massimali non possono essere relazionati tra loro.
per chi volesse rispondere poi al quesito di j18eos si faccia avanti cosi aiuta meglio anche me a comprendere.
riguardo a questa osservazione :
immagini bene; se una catena è un sottoinsieme totalmente ordinato, come fa il sottoinsieme degli elementi massimali(e quindi inconfrontabili) ad essere una catena??
si dopo aver scritto questa roba ci ho pensato e in effetti mi pareva una mezza se non totale cavolata, ma io appunto immaginavo la cosa come un disegno, mentalmente davo un punto ( per esempio a 0 gradi ) proseguivo in senso antiorario e creavo il perimetro e pensavo che tutti questi punti sono tra loro in relazione e che quelli più lontani dallo 0 erano sempre più grandi ( quindi creavo la catena secondo la mia fesseria ) ma capisco che non ha attinenza in quanto tutti questi massimali non possono essere relazionati tra loro.
per chi volesse rispondere poi al quesito di j18eos si faccia avanti cosi aiuta meglio anche me a comprendere.
senza creare ulteriori topic vi riporto un teorema che precede ( nel mio testo che è il Dikran ) il Lemma di Zorn e che onestamente non riesco a capacitarmene, il Dikran prima parte con l'Assioma della scelta e dopo ci mette questo Teorema con il suo bel Corollario ( ed è proprio il Corollario che non mi scende )
il teorema dice :
un applicazione f : X --> Y è suriettiva se e solo se esiste un'applicazione g : Y --> X tale che f o g = idy.
Ogni applicazione g con questa proprietà è necessariamente iniettiva.
mi pare sensato fin qui ( la dimostrazione riesco a capirla e ometto tutti i passaggi )
adesso subito dopo ci piazza il Corollario il quale enuncia :
Siano X,Y insiemi non vuoti.
Allora esiste un applicazione suriettiva f : X --> Y
se e solo se esiste un'applicazione iniettiva g : X --> Y
poi continua e dice che la seguente importante proprietà è nota come Lemma di Zorn e dopo alcuni cenni sulle applicazioni di questo lemma parte con le definizioni di insieme induttivo e cosi via ...
io non riesco a capire il corollario.
il teorema dice :
un applicazione f : X --> Y è suriettiva se e solo se esiste un'applicazione g : Y --> X tale che f o g = idy.
Ogni applicazione g con questa proprietà è necessariamente iniettiva.
mi pare sensato fin qui ( la dimostrazione riesco a capirla e ometto tutti i passaggi )
adesso subito dopo ci piazza il Corollario il quale enuncia :
Siano X,Y insiemi non vuoti.
Allora esiste un applicazione suriettiva f : X --> Y
se e solo se esiste un'applicazione iniettiva g : X --> Y
poi continua e dice che la seguente importante proprietà è nota come Lemma di Zorn e dopo alcuni cenni sulle applicazioni di questo lemma parte con le definizioni di insieme induttivo e cosi via ...
io non riesco a capire il corollario.
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