Lemma di Zorn e Assioma della scelta
Salve a tutti, qualcuno avrebbe la pazienza di spiegarmi con chiarezza il lemma di Zorn e l'assioma della scelta ?
la difficoltà principale che incontro è il definire gli elementi massimali di un dato insieme, da quanto ho compreso ( e non so appunto se abbia o meno frainteso ) gli elementi massimali di un insieme sono quegli elementi che non sono confrontabili ma sono tutti maggiori o uguali a qualche altro elemento dell'insieme considerato, potreste a priori farmi un esempio di un insieme che contenga elementi massimali ? chiedo innanzi tutto questo perché è strettamente legato alla questione del lemma di zorn e ovviamente se non capisco la base del problema non so nemmeno da dove partire.
Il mio testo parte con la definizione di insiemi parzialmente ordinati ( e fin qui credo di aver inteso il concetto ) i quali contengono a loro volta Catene ( che sarebbe se ho ben capito degli insiemi totalmente ordinati ) e queste Catene devono avere maggioranti ( qui c'è un altro concetto da chiarire con più precisione ) e quindi tutta questa roba viene chiamata insieme induttivo.
il lemma dice : ogni insieme induttivo ammette elementi massimali.....
so che questa dimostrazione è poco intuitiva e non costruttiva ma potreste fare un esempio di questi insiemi e denotare con esattezza l'insieme ordinato la catena e i maggioranti e i massimali ?
grazie mille
Ps
io uso il Dikran, e onestamente lo trovo poco chiaro, ho comprato anche il Franciosi/De Giovanni ma lo trovo a volte più chiaro a volte meno, dipende dall'argomento.
la difficoltà principale che incontro è il definire gli elementi massimali di un dato insieme, da quanto ho compreso ( e non so appunto se abbia o meno frainteso ) gli elementi massimali di un insieme sono quegli elementi che non sono confrontabili ma sono tutti maggiori o uguali a qualche altro elemento dell'insieme considerato, potreste a priori farmi un esempio di un insieme che contenga elementi massimali ? chiedo innanzi tutto questo perché è strettamente legato alla questione del lemma di zorn e ovviamente se non capisco la base del problema non so nemmeno da dove partire.
Il mio testo parte con la definizione di insiemi parzialmente ordinati ( e fin qui credo di aver inteso il concetto ) i quali contengono a loro volta Catene ( che sarebbe se ho ben capito degli insiemi totalmente ordinati ) e queste Catene devono avere maggioranti ( qui c'è un altro concetto da chiarire con più precisione ) e quindi tutta questa roba viene chiamata insieme induttivo.
il lemma dice : ogni insieme induttivo ammette elementi massimali.....
so che questa dimostrazione è poco intuitiva e non costruttiva ma potreste fare un esempio di questi insiemi e denotare con esattezza l'insieme ordinato la catena e i maggioranti e i massimali ?
grazie mille
Ps
io uso il Dikran, e onestamente lo trovo poco chiaro, ho comprato anche il Franciosi/De Giovanni ma lo trovo a volte più chiaro a volte meno, dipende dall'argomento.
Risposte
ci deve essere un errore di testo(o tuo di battitura)
esiste f: X --> Y suriettiva se e solo se esiste g:Y --> X iniettiva.
(ho solo scambiato dominio e codominio di g)
se come l'hai scritta tu fosse corretto, avremmo che,presi due X e Y quasiasi, essi hanno la stessa cardinalità XD
esiste f: X --> Y suriettiva se e solo se esiste g:Y --> X iniettiva.
(ho solo scambiato dominio e codominio di g)
se come l'hai scritta tu fosse corretto, avremmo che,presi due X e Y quasiasi, essi hanno la stessa cardinalità XD
Di battitura sicuramente no, ho riportato esattamente quello che è scritto sul Dikran ( aritmetica e algebra pag. 29 corollario 1.64.) perché io ho pensato fosse appunto un assurdità e non riuscivo a capire dove sbagliassi e spesso ho imprecato..... ho pensavo fosse un refuso ma non volevo sopravvalutare il mio giudizio rispetto ad un testo consolidato ergo ....
se ne sei certo mi hai tolto un groppo enorme. grazie mille
se ne sei certo mi hai tolto un groppo enorme. grazie mille
se vale l'assioma della scelta si,ne sono sicuro. in generale l'esistenza di una funzione suriettiva e di una iniettiva da X in Y implica l'esistenza di una biunivoca.
se non si assume l'assioma della scelta "credo" che questo continui a valere,anche se in generale queste cose diventano molto piu complicate damaneggiare.
se non si assume l'assioma della scelta "credo" che questo continui a valere,anche se in generale queste cose diventano molto piu complicate damaneggiare.
perfetto. si ovviamente ci si avvale dell'assioma della scelta, in quanto questo teorema lo porta proprio come esempio dell'utilizzo dell'assioma ( sta proprio subito dopo aver definito l'assioma della scelta ).
La cosa a me pareva davvero incomprensibile, mentre se è come hai scritto te mi pare un'ovvia conseguenza logica e quindi posso fare pace con me stesso.
La cosa a me pareva davvero incomprensibile, mentre se è come hai scritto te mi pare un'ovvia conseguenza logica e quindi posso fare pace con me stesso.
che voi sappiate, esistono programmi che riescano a riformulare una definizione in un digramma di Eulero-Venn ?
cioè inserire un teorema o una definizione qualsiasi e poterla visionare con i diagrammi in maniera univoca senza poter sbagliare interpretazione ?
cioè inserire un teorema o una definizione qualsiasi e poterla visionare con i diagrammi in maniera univoca senza poter sbagliare interpretazione ?
Nessuno prova a fare un esempio del quesito che ho proposto? @Bender su, un pò di fantasia! 
@gugo Mi sono ri-convinto che non c'è il bisogno di specificare quando 2 punti di un disco chiuso siano confrontabili, secondo l'ordine proposto!
@gugo Mi sono ri-convinto che non c'è il bisogno di specificare quando 2 punti di un disco chiuso siano confrontabili, secondo l'ordine proposto!
io vorrei poter mettere tutta la fantasia di questo mondo solo temo di dire le cazzate più gargantuesche mai partorite da cervello umano ma poi quella roba assurda che ho postato prima perché dici di essere impossibilitato ?
cioè tu hai solo proposto il quesito senza saperlo svolgere ? oppure vuoi aiutarmi mettendo alla prova il mio intelletto ? insomma chi SA si esprima con tutto il vigore possibile anche causticamente e ruttando se volete .. ma parlate perché la conoscenza non la defechiamo aahahah
Ieri sera stavo fuso! X-) Ma non s'è capito?
Spara pure, così è meglio!
Spara pure, così è meglio!
I) il fatto che sia un ordine parziale significa appunto che ci sono elementi che non possono essere confrontati vero?
quindi io penso ad esempio che ogni raggio è a se stante . è sbagliato vederla cosi ?
II) i punti della circonferenza sono massimali dici..... allora io immagino questi punti come i più grandi elementi per ogni raggio che considero e automaticamente il raggio lo considero come una catena perché è ordinato totalmente visto che ha una sua origine e prosegue verso il bordo ( passatemi i termini poco tecnici ) e ogni raggio è un insieme, diciamo di punti, a se stante.
queste congetture hanno un minimo di fondamento ? o sono solo parole vuote paragonabili alle isteriche urla di un nevrotico ?
il terzo punto non lo riporto perché mi han fatto notare l'assurdità della mia proposta ( e io stesso poco dopo averla vergata ho colto la stronzata detta )
non riesco a dare una soluzione analitica perché ho poca dimestichezza ancora e quindi cerco di arrivarci prima per immagini e intuizioni.
quindi io penso ad esempio che ogni raggio è a se stante . è sbagliato vederla cosi ?
II) i punti della circonferenza sono massimali dici..... allora io immagino questi punti come i più grandi elementi per ogni raggio che considero e automaticamente il raggio lo considero come una catena perché è ordinato totalmente visto che ha una sua origine e prosegue verso il bordo ( passatemi i termini poco tecnici ) e ogni raggio è un insieme, diciamo di punti, a se stante.
queste congetture hanno un minimo di fondamento ? o sono solo parole vuote paragonabili alle isteriche urla di un nevrotico ?
il terzo punto non lo riporto perché mi han fatto notare l'assurdità della mia proposta ( e io stesso poco dopo averla vergata ho colto la stronzata detta )
non riesco a dare una soluzione analitica perché ho poca dimestichezza ancora e quindi cerco di arrivarci prima per immagini e intuizioni.
Ciao a tutti, mi unisco alla discussione anche se non ho mai lavorato con queste cose in dettaglio.
Non mi è chiaro come è definito l'ordine sul cerchio chiuso.. cioè leggo che due elementi sono confrontabili in base alla distanza dal centro se sono sullo stesso diametro. Se è così non ho capito come si confrontano due punti simmetrici rispetto al centro.
Non mi è chiaro come è definito l'ordine sul cerchio chiuso.. cioè leggo che due elementi sono confrontabili in base alla distanza dal centro se sono sullo stesso diametro. Se è così non ho capito come si confrontano due punti simmetrici rispetto al centro.
"claudiamatica":Hai ragione, direi che con "allineati col centro" e' meglio intendere che stanno sullo stesso raggio.
Non mi è chiaro come è definito l'ordine sul cerchio chiuso.. cioè leggo che due elementi sono confrontabili in base alla distanza dal centro se sono sullo stesso diametro. Se è così non ho capito come si confrontano due punti simmetrici rispetto al centro.
@claudiamatica La mia idea è questa: più un punto di [tex]$D$[/tex] è distante da [tex]$O$[/tex] più esso è grande! Se due punti distinti sono alla medesima distanza da [tex]$O$[/tex]; ovvero sono equidistanti, non sono confrontabili.
Non c'è bisogno di essere sullo stesso raggio o diametro per essere confrontabili, di queste cose la distanza non ne tiene conto; infatti, l'esercizio da me proposto non diceva nulla del genere, e l'ho reimpostato nella forma originale!
Riprendendo il tuo esempio: 2 punti diametralmente opposti a distanze diverse sono confrontabili, a distanze eguali non sono confrontabili. Concordi?
@Bender I) La risposta alla prima domanda è sì! Poi, un raggio puoi vederlo come un insieme ordinato, anzi, totalmente ordinato (II) per cui è una catena!
Aiuto per il punto (III): Non ti serve che i raggi abbiano minimo o massimo, restano sempre catene!
Non c'è bisogno di essere sullo stesso raggio o diametro per essere confrontabili, di queste cose la distanza non ne tiene conto; infatti, l'esercizio da me proposto non diceva nulla del genere, e l'ho reimpostato nella forma originale!
Riprendendo il tuo esempio: 2 punti diametralmente opposti a distanze diverse sono confrontabili, a distanze eguali non sono confrontabili. Concordi?
@Bender I) La risposta alla prima domanda è sì! Poi, un raggio puoi vederlo come un insieme ordinato, anzi, totalmente ordinato (II) per cui è una catena!
Aiuto per il punto (III): Non ti serve che i raggi abbiano minimo o massimo, restano sempre catene!
ok adesso so di non aver ragionato malamente. mi applicherò a risolvere il terzo punto.
ps
2 punti diametralmente opposti a distanze diverse sono confrontabili, a distanze eguali non sono confrontabili. Concordi?
anche se non rivolta a me vorrei dare un contributo, questo significa allora che 2 punti se sono diametralmente opposti a distanze diverse ovviamente sono confrontabili perché uno dei due punti in questione sarà più o meno vicino all'origine rispetto all'altro.
nel caso invece che le distanze fossero identiche ma opposte ( ma non per forza opposte cioè potremmo considerare anche raggi perpendicolari per esempio ) allora in questo caso non si può avere un confronto tra questi proprio perché la loro distanza dall'origine è identica e uno vale l'altro
( sempre se ho inteso bene )
ps
2 punti diametralmente opposti a distanze diverse sono confrontabili, a distanze eguali non sono confrontabili. Concordi?
anche se non rivolta a me vorrei dare un contributo, questo significa allora che 2 punti se sono diametralmente opposti a distanze diverse ovviamente sono confrontabili perché uno dei due punti in questione sarà più o meno vicino all'origine rispetto all'altro.
nel caso invece che le distanze fossero identiche ma opposte ( ma non per forza opposte cioè potremmo considerare anche raggi perpendicolari per esempio ) allora in questo caso non si può avere un confronto tra questi proprio perché la loro distanza dall'origine è identica e uno vale l'altro
( sempre se ho inteso bene )
Devo dire che la prima volta che ho letto il tuo post io l'avevo interpretata così
Tanto che come esempio di catena mi era venuta tipo una spirale. Poi è stato sottolineato il fatto che così come l'avevi data la relazione non era antisimmetrica.
Sono confusa
(Ma la spirale mi piaceva)
Tanto che come esempio di catena mi era venuta tipo una spirale. Poi è stato sottolineato il fatto che così come l'avevi data la relazione non era antisimmetrica.
Sono confusa
(Ma la spirale mi piaceva)
j18eos, certo che un po' di formalismo aiuterebbe
Sia [tex]B[/tex] la palla chiusa di centro l'origine e raggio 1. La relazione che definisci in [tex]B[/tex] è forse la seguente?
(A) [tex]x \leq y[/tex] se e solo se "[tex]|x| \leq |y|[/tex]".
Come ho detto qualche intervento fa, questa non è una relazione d'ordine dato che non è antisimmetrica.
La relazione che definisci in [tex]B[/tex] è forse la seguente?
(B) [tex]x \leq y[/tex] se e solo se "[tex]|x| \leq |y|[/tex] e [tex]x,y[/tex] sono allineati col centro".
Come fa notare claudiamatica questa non è una relazione d'ordine dato che non è antisimmetrica (prendi due punti diametralmente opposti).
Forse tu intendi definire quest'altra relazione:
(C) [tex]x \leq y[/tex] se e solo se "[tex]x=y[/tex] oppure [tex]|x| < |y|[/tex]".
Questa è una relazione d'ordine. Confermi che è (C) la relazione che hai in mente?
Sia [tex]B[/tex] la palla chiusa di centro l'origine e raggio 1. La relazione che definisci in [tex]B[/tex] è forse la seguente?
(A) [tex]x \leq y[/tex] se e solo se "[tex]|x| \leq |y|[/tex]".
Come ho detto qualche intervento fa, questa non è una relazione d'ordine dato che non è antisimmetrica.
La relazione che definisci in [tex]B[/tex] è forse la seguente?
(B) [tex]x \leq y[/tex] se e solo se "[tex]|x| \leq |y|[/tex] e [tex]x,y[/tex] sono allineati col centro".
Come fa notare claudiamatica questa non è una relazione d'ordine dato che non è antisimmetrica (prendi due punti diametralmente opposti).
Forse tu intendi definire quest'altra relazione:
(C) [tex]x \leq y[/tex] se e solo se "[tex]x=y[/tex] oppure [tex]|x| < |y|[/tex]".
Questa è una relazione d'ordine. Confermi che è (C) la relazione che hai in mente?
@Martino Guarda, ci avevo pensato e mi hai preceduto: ti confermo la (C)!
Ecco la mia idea: ho un disco chiuso [tex]$\overline B$[/tex] di centro [tex]$O$[/tex] e raggio [tex]$r$[/tex], quindi stiamo in un piano euclideo [tex]$\mathcal{E}_2$[/tex] con tanto di metrica o distanza euclidea [tex]$d$[/tex].
Sappiamo allora che [tex]$\forall P\in\overline B,\,d(O;P)\in[0;r]$[/tex], quindi mi si accende la lampadina, come si può vedere dalla emoticon
, di ordinare i punti sfruttando la distanza; ovviamente (per la riflessività delle relazioni d'ordine su un insieme) devo richiedere che [tex]$\forall P\in\overline B,\,P=P$[/tex] quindi siano [tex]$P;Q\in\overline B\mid d(O;P)=d(O;Q)\Rightarrow P=Q\,\text{oppure "P e Q non sono confrontabili"}$[/tex], quindi resta il caso che siano [tex]$P;Q\in\overline B\mid d(O;P)>d(O;Q)$[/tex] e trovo naturale (se non addirittura ovvio) porre per conseguenza [tex]$P>Q$[/tex].
Tutte queste "ovvietà" discendono dal voler ordinare i punti con la distanza dal centro.
Poi scusate (con tutta la mia napoletanità) se lo scrivo: non volendo essere complicato come mio solito, vi ho voluti trattare come bimbi delle elementari ed ho avuto un effetto peggiore di un eccessivo formalismo! E che...
@Bender Mi sà che sei l'unico che ha capito al primo colpo!
@claudiamatica L'avevo pensata anch'io la spirale!
Ecco la mia idea: ho un disco chiuso [tex]$\overline B$[/tex] di centro [tex]$O$[/tex] e raggio [tex]$r$[/tex], quindi stiamo in un piano euclideo [tex]$\mathcal{E}_2$[/tex] con tanto di metrica o distanza euclidea [tex]$d$[/tex].
Sappiamo allora che [tex]$\forall P\in\overline B,\,d(O;P)\in[0;r]$[/tex], quindi mi si accende la lampadina, come si può vedere dalla emoticon
, di ordinare i punti sfruttando la distanza; ovviamente (per la riflessività delle relazioni d'ordine su un insieme) devo richiedere che [tex]$\forall P\in\overline B,\,P=P$[/tex] quindi siano [tex]$P;Q\in\overline B\mid d(O;P)=d(O;Q)\Rightarrow P=Q\,\text{oppure "P e Q non sono confrontabili"}$[/tex], quindi resta il caso che siano [tex]$P;Q\in\overline B\mid d(O;P)>d(O;Q)$[/tex] e trovo naturale (se non addirittura ovvio) porre per conseguenza [tex]$P>Q$[/tex].Tutte queste "ovvietà" discendono dal voler ordinare i punti con la distanza dal centro.
Poi scusate (con tutta la mia napoletanità) se lo scrivo: non volendo essere complicato come mio solito, vi ho voluti trattare come bimbi delle elementari ed ho avuto un effetto peggiore di un eccessivo formalismo! E che...
@Bender Mi sà che sei l'unico che ha capito al primo colpo!
@claudiamatica L'avevo pensata anch'io la spirale!
"j18eos":
@Martino Guarda, ci avevo pensato e mi hai preceduto: ti confermo la (C)!
Ecco la mia idea: ho un disco chiuso [tex]$\overline B$[/tex] di centro [tex]$O$[/tex] e raggio [tex]$r$[/tex], quindi stiamo in un piano euclideo [tex]$\mathcal{E}_2$[/tex] con tanto di metrica o distanza euclidea [tex]$d$[/tex].
Sappiamo allora che [tex]$\forall P\in\overline B,\,d(O;P)\in[0;r]$[/tex], quindi mi si accende la lampadina, come si può vedere dalla emoticon
Tutte queste "ovvietà" discendono dal voler ordinare i punti con la distanza dal centro.
Poi scusate (con tutta la mia napoletanità) se lo scrivo: non volendo essere complicato come mio solito, vi ho voluti trattare come bimbi delle elementari ed ho avuto un effetto peggiore di un eccessivo formalismo! E che...
@Bender Mi sà che sei l'unico che ha capito al primo colpo!
@claudiamatica L'avevo pensata anch'io la spirale!
ci ho azzeccato perché per me, che sono inesperto, i formalismi a volte sono più ostici da digerire e quindi cerco di arrivarci per vie traverse, ma ovviamente è una mia lacuna e dovrò migliorare in questo perché il rigore della forma, oltre che essere sublime esteticamente, è per definizione inequivocabile, ma fa bene sicuramente poter tralasciare ogni tanto il rigore e spaziare anche informalmente
OUT OF SELF: Però non bisogna eccedere col formalismo altrimenti si perdono le idee fondanti i concetti! 
"j18eos":
OUT OF SELF: Però non bisogna eccedere col formalismo altrimenti si perdono le idee fondanti i concetti!
condivido, prima di tutto le idee devono essere interessanti e giuste poi certo ci si può perdere in sofismi formali, i quali estendono la questione alla generalità dei casi ( specie se si parla di Algebra astratta )
Ma, infine, hai capito le differenze tra minimo, minorante, maggiorante, e massimo di un insieme ordinato?
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