Lemma di Zorn e Assioma della scelta
Salve a tutti, qualcuno avrebbe la pazienza di spiegarmi con chiarezza il lemma di Zorn e l'assioma della scelta ?
la difficoltà principale che incontro è il definire gli elementi massimali di un dato insieme, da quanto ho compreso ( e non so appunto se abbia o meno frainteso ) gli elementi massimali di un insieme sono quegli elementi che non sono confrontabili ma sono tutti maggiori o uguali a qualche altro elemento dell'insieme considerato, potreste a priori farmi un esempio di un insieme che contenga elementi massimali ? chiedo innanzi tutto questo perché è strettamente legato alla questione del lemma di zorn e ovviamente se non capisco la base del problema non so nemmeno da dove partire.
Il mio testo parte con la definizione di insiemi parzialmente ordinati ( e fin qui credo di aver inteso il concetto ) i quali contengono a loro volta Catene ( che sarebbe se ho ben capito degli insiemi totalmente ordinati ) e queste Catene devono avere maggioranti ( qui c'è un altro concetto da chiarire con più precisione ) e quindi tutta questa roba viene chiamata insieme induttivo.
il lemma dice : ogni insieme induttivo ammette elementi massimali.....
so che questa dimostrazione è poco intuitiva e non costruttiva ma potreste fare un esempio di questi insiemi e denotare con esattezza l'insieme ordinato la catena e i maggioranti e i massimali ?
grazie mille
Ps
io uso il Dikran, e onestamente lo trovo poco chiaro, ho comprato anche il Franciosi/De Giovanni ma lo trovo a volte più chiaro a volte meno, dipende dall'argomento.
la difficoltà principale che incontro è il definire gli elementi massimali di un dato insieme, da quanto ho compreso ( e non so appunto se abbia o meno frainteso ) gli elementi massimali di un insieme sono quegli elementi che non sono confrontabili ma sono tutti maggiori o uguali a qualche altro elemento dell'insieme considerato, potreste a priori farmi un esempio di un insieme che contenga elementi massimali ? chiedo innanzi tutto questo perché è strettamente legato alla questione del lemma di zorn e ovviamente se non capisco la base del problema non so nemmeno da dove partire.
Il mio testo parte con la definizione di insiemi parzialmente ordinati ( e fin qui credo di aver inteso il concetto ) i quali contengono a loro volta Catene ( che sarebbe se ho ben capito degli insiemi totalmente ordinati ) e queste Catene devono avere maggioranti ( qui c'è un altro concetto da chiarire con più precisione ) e quindi tutta questa roba viene chiamata insieme induttivo.
il lemma dice : ogni insieme induttivo ammette elementi massimali.....
so che questa dimostrazione è poco intuitiva e non costruttiva ma potreste fare un esempio di questi insiemi e denotare con esattezza l'insieme ordinato la catena e i maggioranti e i massimali ?
grazie mille
Ps
io uso il Dikran, e onestamente lo trovo poco chiaro, ho comprato anche il Franciosi/De Giovanni ma lo trovo a volte più chiaro a volte meno, dipende dall'argomento.
Risposte
si qualcosa in più adesso l'ho sicuramente afferrata ma cerco sempre altri esempi perché purtroppo non sto frequentando la facoltà e non riesco a chiedere ai prof per ulteriori conferme
Un esempio canonico è il seguente: sia [tex]$S$[/tex] un insieme non vuoto e [tex]$\mathcal{P}(S)$[/tex] l'insieme delle sue parti; ordinandolo rispetto alla relazione d'inclusione tra insiemi [tex]$\subseteq$[/tex]; cosa puoi dirmi sull'insieme ordinato [tex]$(\mathcal{P}(S);\subseteq)$[/tex]?
P.S.: Inizia col dimostrare che è un insieme ordinato.
P.S.: Inizia col dimostrare che è un insieme ordinato.
"j18eos":
Un esempio canonico è il seguente: sia [tex]$S$[/tex] un insieme non vuoto e [tex]$\mathcal{P}(S)$[/tex] l'insieme delle sue parti; ordinandolo rispetto alla relazione d'inclusione tra insiemi [tex]$\subseteq$[/tex]; cosa puoi dirmi sull'insieme ordinato [tex]$(\mathcal{P}(S);\subseteq)$[/tex]?
P.S.: Inizia col dimostrare che è un insieme ordinato.
Allora posso dire che questa specifica relazione è sicuramente d'ordine parziale in quanto vi saranno sempre e comunque sottoinsiemi dell'insieme delle parti che non sono tra di loro confrontabili o meglio, in questo caso, non sono inclusi in un altro sottoinsieme. un esempio per tutti sono i singoletti che potremmo creare a partire da qualsiasi insieme non vuoto.
il fatto che sia un ordine parziale implica che lo stesso goda di tre proprietà e cioè la riflessività l'antisimmetria e la transitività.
questo credo di averlo inteso da tempo .....
Mi sono stati già forniti vari esempi da Martino ( approfitto per ringraziarlo ) devo solo fare molta esperienza nel riconoscere gli elementi massimali e minimali, cosa che a volte mi riesce dura da digerire ....
il dubbio che mi pongo riguardo ai maggioranti è : l'estremo superiore/inferiore, appartiene solo all'insieme dei maggioranti/minoranti ? oppure, che so, prendiamo una catena e prendiamo l'insieme dei maggioranti di questa catena, potrebbe mai accadere che l'intersezione di questi due insiemi non sia vuota e contenga proprio l'estremo superiore ?
Beh, la dimostrazione che sia un ordine è fatta male (non vale dire a priori che una relazione è un ordine e poi dedurne le tre proprietà caratteristiche; anzi è proprio nel verso opposto che procede il ragionamento matematico).
Inoltre, in verità c'è qualche caso in cui [tex]$\subseteq$[/tex] è un ordine totale in [tex]$\mathcal{P}(S)$[/tex]... Riesci ad individuarne qualcuno?
Per quanto riguarda l'estremo superiore/inferiore: pensa a cosa succede in [tex]$(\mathbb{R},\leq)$[/tex] con gli insiemi [tex]$[0,1]$[/tex], [tex]$[0,1[$[/tex], [tex]$]0,1]$[/tex] e [tex]$]0,1[$[/tex].
Inoltre, in verità c'è qualche caso in cui [tex]$\subseteq$[/tex] è un ordine totale in [tex]$\mathcal{P}(S)$[/tex]... Riesci ad individuarne qualcuno?
Per quanto riguarda l'estremo superiore/inferiore: pensa a cosa succede in [tex]$(\mathbb{R},\leq)$[/tex] con gli insiemi [tex]$[0,1]$[/tex], [tex]$[0,1[$[/tex], [tex]$]0,1]$[/tex] e [tex]$]0,1[$[/tex].
si hai pienamente ragione sul " verso opposto " dovevo partire con il chiarire le proprietà e da queste derivare che l'insieme che ha tali proprietà può dirsi parziale ... e per altro non ho nemmeno formalizzato con la simbologia quindi ancora peggio 
riguardo l'ordine totale in $P(S)$ .... potrebbe essere un insieme formato da un solo elemento ? ma non ne sono sicuro ..... anzi se è cosi dammi una mano a capire perché è cosi
per quanto riguarda l'estremo superiore ...... pare che il primo abbia estremo sup e inf inclusi quindi estremo superiore = 1 estremo inferiore = 0 .... il secondo il differisce dal fatto che l'estremo superiore non è 1 ..... il terzo che inf non è 0 e il quarto che entrambi non siano inclusi .... quindi è possibile che l'estremo superiore o inferiore comunque a seconda del caso possano far parte dell'insieme dato .. ( spero di aver detto bene )
riguardo l'ordine totale in $P(S)$ .... potrebbe essere un insieme formato da un solo elemento ? ma non ne sono sicuro ..... anzi se è cosi dammi una mano a capire perché è cosi
per quanto riguarda l'estremo superiore ...... pare che il primo abbia estremo sup e inf inclusi quindi estremo superiore = 1 estremo inferiore = 0 .... il secondo il differisce dal fatto che l'estremo superiore non è 1 ..... il terzo che inf non è 0 e il quarto che entrambi non siano inclusi .... quindi è possibile che l'estremo superiore o inferiore comunque a seconda del caso possano far parte dell'insieme dato .. ( spero di aver detto bene )
"BenderBendingRodriguez":Inizia a supporre [tex]$S=\{x\}$[/tex], che accade?
...riguardo l'ordine totale in $P(S)$ .... potrebbe essere un insieme formato da un solo elemento ? ma non ne sono sicuro ..... anzi se è cosi dammi una mano a capire perché è cosi
Poi non hai detto bene nulla; nel rispondere a gugo! -_- Rivediti le definizioni.
EDIT: Aggiunta una precisazione!
"j18eos":Inizia a supporre [tex]$S=\{x\}$[/tex], che accade?
[quote="BenderBendingRodriguez"]...riguardo l'ordine totale in $P(S)$ .... potrebbe essere un insieme formato da un solo elemento ? ma non ne sono sicuro ..... anzi se è cosi dammi una mano a capire perché è cosi
Poi non hai detto bene nulla! -_- Rivediti le definizioni.
[/quote]ehm... allora se c'è un elemento accade che l'insieme delle parti sarà formato da 2 elementi, il vuoto e il singoletto.
ma il vuoto può essere incluso nel singoletto mentre il singoletto non può essere incluso nel vuoto ( ma ha senso parlare di insieme totalmente ordinato in questo caso ? ) io temo di scrivere castronerie
sul non aver detto nulla bene, intendi sulla traccia da te proposta immagino ... e si ... mea culpa, comunque resta il fatto che se per ogni elemento di questo insieme verifico le tre proprietà sopra citate ottengo un insieme ordinato, o sbaglio ?
poi ok che non sono stato abbastanza rigoroso, vi prego di scusare le mie semplificazioni
Rileggi il mio penultimo post!
Ma hai dimostrato a dovere che l'inclusione è una relazione d'ordine sull'insieme delle parti di un insieme?
OUT OF SELF: Ma la vuoi smettere di sentirti lo zimbello del paese della matematica!
Prova a cercare un pò per il forum, vedrai illazioni sull'ultimo teorema di Fermat, sull'ipotesi di Riemann, su NP VS (versus) P, rigore matematico della fisica del precedente XX secolo, etcetera omissis!
Inoltre, le idee dei concetti e delle dimostrazioni t'aiutano, ma non possono mai eppoi mai scindere col formalismo; io non vedo nessun tuo tentativo di essere formale, se non ci provi come possiamo aiutarti io ed altri? Vedo solo che le idee le afferri, e ciò è basilarmente importante.
Ma hai dimostrato a dovere che l'inclusione è una relazione d'ordine sull'insieme delle parti di un insieme?
OUT OF SELF: Ma la vuoi smettere di sentirti lo zimbello del paese della matematica!
Prova a cercare un pò per il forum, vedrai illazioni sull'ultimo teorema di Fermat, sull'ipotesi di Riemann, su NP VS (versus) P, rigore matematico della fisica del precedente XX secolo, etcetera omissis!
Inoltre, le idee dei concetti e delle dimostrazioni t'aiutano, ma non possono mai eppoi mai scindere col formalismo; io non vedo nessun tuo tentativo di essere formale, se non ci provi come possiamo aiutarti io ed altri? Vedo solo che le idee le afferri, e ciò è basilarmente importante.
si sono intimidito perché per me sono concetti nuovi e non padroneggio facilmente la cosa, e visto che c''è gente competente questo mi crea un certo imbarazzo
non so bene come dimostrare le mie idee, sono li che galleggiano nella mente sparse e non riesco a inquadrarle rigorosamente e poi non so ancora usare il LaTex e questo non aiuta certo la mia forma.
accetto e prendo di buon grado il tuo consiglio.
PS
speriamo bene ahahah
non so bene come dimostrare le mie idee, sono li che galleggiano nella mente sparse e non riesco a inquadrarle rigorosamente e poi non so ancora usare il LaTex e questo non aiuta certo la mia forma.
accetto e prendo di buon grado il tuo consiglio.
PS
speriamo bene ahahah
Dato che ti abbiamo lanciato molta roba; a mio dire, scegli cosa vuoi dimostrare: posta l'idea ed un'abbozzo di formalismo.
Per le formule (click), oppure click; inoltre, quando scrivi un messaggio c'è il tasto "anteprima" che ti consente di visualizzare il messaggio scritto.
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