Lacune sugli ideali
Come suggerito da Martino creo un nuovo 3d...
Devo dimostrare che: se A è commutativo con A/I è un dominio di integrità allora I è primo (e viceversa)
bene, parto con la prima implicazione
$->$
la prof. scrive:
se $xy in I -> xy+I=0+I$ perchè? come si arriva a dire questo dalla definizione di ideale? cosa significa la scrittura x+I? e la scrittura (x+I) è qualcosa di diverso?
(la def. che io conosco è che I è ideale di R se per ogni $r in R$ e per ogni $a in I$ $->$ $ar in I$, la differenza tra x+I e (x+I) dovrebbe essere che con il secondo si indica l'anello principale generato da a+I, ma non ne sono sicuro)
poi prosegue:
$->$ $(x+I)(y+I)=I=0$ $->$ $(x+I)=I$ o $(y+I)=I$ $->$ $x in I$ o $y in I$ CVD
potete aiutarmi a capire i vari passaggi? grazie!
(credo che il mio problema più grande sia capire come si passa dalla def. di ideale alla scrittura a+I di cui non capisco bene il significato)
Devo dimostrare che: se A è commutativo con A/I è un dominio di integrità allora I è primo (e viceversa)
bene, parto con la prima implicazione
$->$
la prof. scrive:
se $xy in I -> xy+I=0+I$ perchè? come si arriva a dire questo dalla definizione di ideale? cosa significa la scrittura x+I? e la scrittura (x+I) è qualcosa di diverso?
(la def. che io conosco è che I è ideale di R se per ogni $r in R$ e per ogni $a in I$ $->$ $ar in I$, la differenza tra x+I e (x+I) dovrebbe essere che con il secondo si indica l'anello principale generato da a+I, ma non ne sono sicuro)
poi prosegue:
$->$ $(x+I)(y+I)=I=0$ $->$ $(x+I)=I$ o $(y+I)=I$ $->$ $x in I$ o $y in I$ CVD
potete aiutarmi a capire i vari passaggi? grazie!
(credo che il mio problema più grande sia capire come si passa dalla def. di ideale alla scrittura a+I di cui non capisco bene il significato)
Risposte
Ciao.
Ti faccio dei richiami di teoria.
Dati un anello unitario A e un suo ideale I, possiamo considerare i sottoinsiemi di A della forma
[tex]a+I := \{a+i\ |\ i \in I\}[/tex].
Osserviamo che dire [tex]a+I = b+I[/tex] è equivalente a dire che [tex]a-b \in I[/tex] (facile esercizio). In particolare [tex]a+I=0+I=I[/tex] se e solo se [tex]a \in I[/tex]. Inoltre è facile verificare che i sottoinsiemi della forma [tex]a+I[/tex] formano una partizione di [tex]A[/tex] (sono a due a due disgiunti e la loro unione è A).
Chiamiamo [tex]A/I[/tex] l'insieme di tali sottoinsiemi:
[tex]A/I := \{a+I\ |\ a \in A\}[/tex].
E' facile verificare che [tex]A/I[/tex] è l'insieme quoziente relativo alla seguente relazione di equivalenza su A: [tex]a \sim b\ \Leftrightarrow a-b \in I[/tex] (è ovvio per quanto detto sopra).
Ora definiamo in [tex]A/I[/tex] le seguenti operazioni:
[tex](a+I)+(b+I) := (a+b)+I[/tex].
[tex](a+I)(b+I) := ab+I[/tex].
Si tratta di posizioni ben definite (è facile verificarlo) che dotano [tex]A/I[/tex] della struttura di anello (è facile verificare anche questo). L'elemento neutro per la somma in questo anello A/I è [tex]0+I[/tex], cioè [tex]I[/tex], mentre l'elemento neutro per il prodotto è [tex]1+I[/tex].
Ti faccio dei richiami di teoria.
Dati un anello unitario A e un suo ideale I, possiamo considerare i sottoinsiemi di A della forma
[tex]a+I := \{a+i\ |\ i \in I\}[/tex].
Osserviamo che dire [tex]a+I = b+I[/tex] è equivalente a dire che [tex]a-b \in I[/tex] (facile esercizio). In particolare [tex]a+I=0+I=I[/tex] se e solo se [tex]a \in I[/tex]. Inoltre è facile verificare che i sottoinsiemi della forma [tex]a+I[/tex] formano una partizione di [tex]A[/tex] (sono a due a due disgiunti e la loro unione è A).
Chiamiamo [tex]A/I[/tex] l'insieme di tali sottoinsiemi:
[tex]A/I := \{a+I\ |\ a \in A\}[/tex].
E' facile verificare che [tex]A/I[/tex] è l'insieme quoziente relativo alla seguente relazione di equivalenza su A: [tex]a \sim b\ \Leftrightarrow a-b \in I[/tex] (è ovvio per quanto detto sopra).
Ora definiamo in [tex]A/I[/tex] le seguenti operazioni:
[tex](a+I)+(b+I) := (a+b)+I[/tex].
[tex](a+I)(b+I) := ab+I[/tex].
Si tratta di posizioni ben definite (è facile verificarlo) che dotano [tex]A/I[/tex] della struttura di anello (è facile verificare anche questo). L'elemento neutro per la somma in questo anello A/I è [tex]0+I[/tex], cioè [tex]I[/tex], mentre l'elemento neutro per il prodotto è [tex]1+I[/tex].
Grazie... hai centrato in pieno!
Sul mio libro non è spiegato così bene... ora me lo studio, poi ti faccio sapere...
Sul mio libro non è spiegato così bene... ora me lo studio, poi ti faccio sapere...
ok, ecco le prime domande:
1) gli a+I sarebbero i laterali?
2) dire $a+I=b+I$ è equivalente a dire che $a-b in I$ purtroppo per me non è un facile esercizio... suggerimenti? (Arg, sta roba proprio non c'è sul libro... e la prof. l'ha fatta un po' troppo alla veloce...)
1) gli a+I sarebbero i laterali?
2) dire $a+I=b+I$ è equivalente a dire che $a-b in I$ purtroppo per me non è un facile esercizio... suggerimenti? (Arg, sta roba proprio non c'è sul libro... e la prof. l'ha fatta un po' troppo alla veloce...)
"dotmanu":Sì, rispetto alla $+$.
1) gli a+I sarebbero i laterali?
2) dire $a+I=b+I$ è equivalente a dire che $a-b in I$ purtroppo per me non è un facile esercizio... suggerimenti? (Arg, sta roba proprio non c'è sul libro... e la prof. l'ha fatta un po' troppo alla veloce...)
[tex]\Rightarrow[/tex] supponiamo $a+I=b+I$. Allora $a in a+I$ si scrive nella forma $b+i$ con $i in I$, quindi $a=b+i$ e $a-b=i in I$.
[tex]\Leftarrow[/tex] supponiamo $a-b in I$. Per mostrare che $a+I=b+I$ basta mostrare l'inclusione $subseteq$, l'altra segue per simmetria. Ora preso $a+i in a+I$ si ha $a+i=b+(a-b)+i in b+I$ dato che $a-b in I$, $i in I$ e $I$ è chiuso per la somma.
grazie mille... sei stato gentilissimo e chiarissimo!
Prego, ciao alla prossima!
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