Ker(f) di un morfismo
Buongiorno a tutti, sono nuovo del forum, sto preparando l'esame di matematica discreta per settembre ma non ho ben chiare alcune cose, una di queste che non sono mai riuscito a capire e' il come descrivere il ker per quindi poi trarre la conclusione che sia un' omomorfismo iniettivo. Ho svolto tutto, penso, correttamente questo esercizio perche' tutte le cose corrispondono anche alla soluzione data dal docente, non riesco proprio a capire l' ultimo passaggio dove si descrive il ker....se qualcuno potesse aiutarmi gli sarei grato, ringrazio anticipatamente.
Risposte
Il tuo problema è capire la formula con due uguaglianze? Se sì, nessuna delle due ti convince?
Per la prima prova così: scrivi la definizione di ker di un omomorfismo (cioè l'insieme degli elementi del dominio che vengono mandati nello $0$ del condominio), e dopodiché dimostri che è uguale all'insieme che ha scritto il docente. Per provare l'uguaglianza tra insiemi devi provare che l'uno è contenuto nell'altro.
Per la seconda uguaglianza, se non ti convince, puoi procedere "manualmente" considerando ogni elemento di $\mathbb Z_9$ e vedendo cosa succede applicandogli $f$.
Così va un po' meglio?
Per la prima prova così: scrivi la definizione di ker di un omomorfismo (cioè l'insieme degli elementi del dominio che vengono mandati nello $0$ del condominio), e dopodiché dimostri che è uguale all'insieme che ha scritto il docente. Per provare l'uguaglianza tra insiemi devi provare che l'uno è contenuto nell'altro.
Per la seconda uguaglianza, se non ti convince, puoi procedere "manualmente" considerando ogni elemento di $\mathbb Z_9$ e vedendo cosa succede applicandogli $f$.
Così va un po' meglio?
ti ringrazio per la gentilezza, ho tentato ma non saprei proprio come farlo, sembra banale da come lo faccia e con la facilità con cui lo ha spiegato in 1 minuto...ma non saprei da dove partire a parte la definizione di ker....
grazie mille!
grazie mille!
Okay, quindi partiamo dalla prima uguaglianza. Cominciamo ricordando la definizione
$$\mathrm{ker}(f)=\{\alpha\in\mathbb Z_9\mid f(\alpha)=0\}.$$
Dopodiché, vediamo che questo insieme scritto qui sopra, che chiamiamo $A$, è uguale all'insieme della soluzione
$$\{\alpha\in\mathbb Z_9\mid \alpha=[a]_9,\ a\equiv_30\},$$ che chiamiamo $B$.
Per dimostrare che $A=B$, cominciamo intanto dimostrando che $B\subseteq A$. Sia $\alpha$ un elemento di $B$. Allora, per definizione di $B$, si ha che $\alpha=[a]_9$, con $a\equiv_3 0$. Allora
$$f(\alpha)=f([a]_9)=([a]_3,[a]_3)=(0,0),$$
cioè abbiamo che $\alpha$ è un elemento di $A$.
Fin qui è tutto chiaro? Puoi provare a dimostrare che $A\subseteq B$?
$$\mathrm{ker}(f)=\{\alpha\in\mathbb Z_9\mid f(\alpha)=0\}.$$
Dopodiché, vediamo che questo insieme scritto qui sopra, che chiamiamo $A$, è uguale all'insieme della soluzione
$$\{\alpha\in\mathbb Z_9\mid \alpha=[a]_9,\ a\equiv_30\},$$ che chiamiamo $B$.
Per dimostrare che $A=B$, cominciamo intanto dimostrando che $B\subseteq A$. Sia $\alpha$ un elemento di $B$. Allora, per definizione di $B$, si ha che $\alpha=[a]_9$, con $a\equiv_3 0$. Allora
$$f(\alpha)=f([a]_9)=([a]_3,[a]_3)=(0,0),$$
cioè abbiamo che $\alpha$ è un elemento di $A$.
Fin qui è tutto chiaro? Puoi provare a dimostrare che $A\subseteq B$?
Si grazie, fin qua ho capito, ma quello che non riesco a capire e perche' a \equiv 0 mod 3. E quindi di conseguenza dire che
ker f = {[0],[3],[6]}. non ho capito come lo risolva in pratica, con che ragionamento.
ti ringrazio
ker f = {[0],[3],[6]}. non ho capito come lo risolva in pratica, con che ragionamento.
ti ringrazio
Forse ha ragionato così:
Sia $\alpha$ un elemento del nucleo di $f$. Allora $f(\alpha)=([0]_3,[0]_3)$. Questo è vero per la definizione di ker.
Ora, $\alpha$ è un elemento di $\mathbb Z_9$, cioè sarà uguale a $[a]_9$, per qualche $a\in\mathbb Z$. La funzione $f$ è tale che
$$f(\alpha)=f([a]_9)=([a]_3,[a]_3).$$
Ma abbiamo detto sopra che $f(\alpha)=([0]_3,[0]_3)$, poiché $\alpha$ sta nel ker. Quindi
$$([a]_3,[a]_3)=([0]_3,[0]_3).$$
E allora $[a]_3=[0]_3$, cioè $a\equiv_3 0$.
Sia $\alpha$ un elemento del nucleo di $f$. Allora $f(\alpha)=([0]_3,[0]_3)$. Questo è vero per la definizione di ker.
Ora, $\alpha$ è un elemento di $\mathbb Z_9$, cioè sarà uguale a $[a]_9$, per qualche $a\in\mathbb Z$. La funzione $f$ è tale che
$$f(\alpha)=f([a]_9)=([a]_3,[a]_3).$$
Ma abbiamo detto sopra che $f(\alpha)=([0]_3,[0]_3)$, poiché $\alpha$ sta nel ker. Quindi
$$([a]_3,[a]_3)=([0]_3,[0]_3).$$
E allora $[a]_3=[0]_3$, cioè $a\equiv_3 0$.
Grazie ho capito, ho provato a fare altri esercizi e pare che il ragionamento sia similare.
Ho un altro dubbio, in una soluzione mi viene scritto " calcolando le potenze della [7]_22 si verifica che il suo periodo e' 10" , non ho per niente capito come fare.
Grazie mille
Ho un altro dubbio, in una soluzione mi viene scritto " calcolando le potenze della [7]_22 si verifica che il suo periodo e' 10" , non ho per niente capito come fare.
Grazie mille
Calcoli $7^2=49$, vedi che $[49]=[5]$, quindi il periodo non è $2$.
Vai avanti a calcolare le potenze di $[7]$, avendo cura di evitare calcoloni inutili sfruttando il fatto che lavori modulo 22. Ad esempio
$$[7]^3=[7]^2\times [7]=[5]\times[7]=[35]=[13].$$
Vai avanti a calcolare le potenze di $[7]$, avendo cura di evitare calcoloni inutili sfruttando il fatto che lavori modulo 22. Ad esempio
$$[7]^3=[7]^2\times [7]=[5]\times[7]=[35]=[13].$$
ho eseguito i vari calcoli e mi e' uscito che [7]^10 = [45] = [1] ho fatto il procedimento corretto?
ho utilizzato [7]^10 = [7]^4 x [7]^4 x [7]^2 = [3] x [3] x [5] = [45] = [1].
grazie mille
ho utilizzato [7]^10 = [7]^4 x [7]^4 x [7]^2 = [3] x [3] x [5] = [45] = [1].
grazie mille
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