Isomorfismo tra (Z,+) ed un gruppo ciclico infinito.

[davi2892]

Salve ragazzi, per dimsotrare l'asserto in oggetto viene posta una funzione f: $ n in Z $ ------> $ (x)^(n) $. Quest'applicazione è banalmente un omomorfismo suriettivo,quindi un epimorfismo. Adesso dal teorema di omorfismo sappiamo che G è isomorfo a Z quozientato su kerf. Adesso per quale motivo,se G è infinito, kerf= Singleton di 0?

[Gi81]

$x$ è un generatore del gruppo $G$ ciclico infinito.
Quindi non si potrà mai avere $x^n= 1_G$

[davi2892]

"Gi8":$x$ è un generatore del gruppo $G$ ciclico infinito.
Quindi non si potrà mai avere $x^n= 1_G$

Non credo di aver ben compreso la tua risposta.

[Gi81]

Se esistesse $n in ZZ$ tale che $n in Ker(f)$, allora si avrebbe $x^n =1_G$
Su questo ci sei?

[davi2892]

"Gi8":Se esistesse $n in ZZ$ tale che $n in Ker(f)$, allora si avrebbe $x^n =1_G$
Su questo ci sei?

Non capisco cosa intendi con il simbolo 1G!

[Gi81]

Si tratta dell'unità del gruppo $G$

[davi2892]

SI mi trovo perfettamente poichè il nucleo è l'insieme degli elementi mandati nel neutro. Ti seguo perfettamente fin quì.

[Gi81]

Ma non può esistere $n in ZZ$ tale che $x^n = 1_G$
Perchè altrimenti $x$ genererebbe solo un numero finito di elementi di $G$

[davi2892]

Ecco anche il testo conclude così,ma non capisco il perchè. Z/kerf sarebbe l'insieme dei laterali in Z determinati dal sottogruppo normale kerf. Adesso anche se in kerf ci fossero altri interi,perchè generebbe un numero finito di elementi?

[Gi81]

"davi2892":Ecco anche il testo conclude così,ma non capisco il perchè.

Allora,
mettiamo per assurdo che, dato $x in G$ (generatore del gruppo infinito ciclico $G$ ) $EE n in ZZ$ tale che $x^n=1_G$
Allora il gruppo generato da $x$ è $ ={1_G,x,x^2,x^3,...,x^(n-1)}$ che è un gruppo finito. Assurdo.

[davi2892]

Sei un grande...Hai ragione,a questo punto potrebbe generare soltanto un gruppo di ordine n!!! Grande!

[Gi81]

Lieto di esserti stato d'aiuto.
Ti chiedo, in futuro, di scrivere le formule usando il codice corretto. Così si capisce meglio quello che vuoi dire.

Ciao

[davi2892]

Si,sono riuscito a scrivere la funzione con i codici ma quando tentavo di aggiungere il simbolo "isomorfo" mi dava sempre sym e non il simbolo che volevo. Comunque mi sei stato molto d'aiuto,Grazie mille e buona giornata!

[Gi81]

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