Isomorfismo di reticoli ordinati-biezione crescente
Buonasera a tutti. Vi chiedo scusa, potreste aiutarmi su come dimostrare che un morfismo f di reticoli ordinati è isomorfismo se e solo se è biezione crescente?
Ho qualche difficoltà...
Vi ringrazio tanto.
Saluti
Ho qualche difficoltà...
Vi ringrazio tanto.
Saluti
Risposte
Se ho capito cosa chiedi, dovresti dimostrare che:
$forall a,b in D\text{ } a Hai qualche esercizio specifico? Proviamo a farlo assieme!
$forall a,b in D\text{ } a Hai qualche esercizio specifico? Proviamo a farlo assieme!
Sì, nell'implicazione => bisogna dimostrare quanto da te scritto 
(penso sia banalmente valido che isomorfismo => biezione)..
Per quanto riguarda i reticoli, sul mio libro c'è scritto che
f morfismo di reticoli <=> f(sup(a,b)) = sup(f(a),f(b)) e f(inf(a,b)) = inf(f(a),f(b)).
Come potrei trattare l'ordine tra due coppie, cioè (a,b) minore di (c,d) se a è minore di c ( con un implicito ordinamento lessicografico)?
(penso sia banalmente valido che isomorfismo => biezione)..Per quanto riguarda i reticoli, sul mio libro c'è scritto che
f morfismo di reticoli <=> f(sup(a,b)) = sup(f(a),f(b)) e f(inf(a,b)) = inf(f(a),f(b)).
Come potrei trattare l'ordine tra due coppie, cioè (a,b) minore di (c,d) se a è minore di c ( con un implicito ordinamento lessicografico)?
Scusami, credo di aver sabgliato! Devo considerare ad esempio sup(a,b) minore di sup (c,d) ad esempio, e quindi verificare che anche le loro immagini conservano tale ordine? Grazie in anticipo
Ok, dalle mie esperienze con l'algebra, non dare niente di scontato quindi prima di tutto dimostra la biiezione 
Usando l'ordine lessicografico potresti decidere un'ordine di importanza in questo modo:
$a
$forall (a,b),(c,d),(e,f) in R$
1)$(a,b)≤(a,b): a=a ^^ b≤b Rightarrow (a,b)≤(a,b)$
2)$(a,b)≤(c,d) ^^ (c,d)≤(a,b) Rightarrow a=c ^^ (b≤d ^^ d≤b) Rightarrow a=c ^^ b=d Rightarrow (a,b)=(c,d)$
3)$(a,b)≤(c,d) ^^ (c,d)≤(e,f) Rightarrow$
$Rightarrow a
Usando l'ordine lessicografico potresti decidere un'ordine di importanza in questo modo:
$a
$forall (a,b),(c,d),(e,f) in R$
1)$(a,b)≤(a,b): a=a ^^ b≤b Rightarrow (a,b)≤(a,b)$
2)$(a,b)≤(c,d) ^^ (c,d)≤(a,b) Rightarrow a=c ^^ (b≤d ^^ d≤b) Rightarrow a=c ^^ b=d Rightarrow (a,b)=(c,d)$
3)$(a,b)≤(c,d) ^^ (c,d)≤(e,f) Rightarrow$
$Rightarrow a
Ho ragionato così:
si deve dimostrare che sup {a,b} < sup {c,d} => f(sup {a,b}) < f(sup {c,d}) (analogo ragionamento per inf) ossia per come è definito il morfismo, che
sup{f(a),f(b)} < sup{f(c),f(d)}.
Suppongo s.l.g. che a < b e c < d. Poichè f è crescente (per def di morfismo di reticoli), allora avremo che f(a) < f(b) e f(c) < f(d).
Dunque sup {f(a),f(b)} = f(b), sup{f(c),f(d)} = f(d) e f(b) < f(d) in quanto b < d. Quest'ultimo discende dall'ipotesi assunta di a < b e c < d, per cui essendo per ipotesi sup {a,b} < sup {c,d}, segue che b < d.
Analoghi gli altri casi, ossia se a < b e c > d, a >b e c > d, a > b e c < d.
Va bene questa dimostrazione che fatto?
si deve dimostrare che sup {a,b} < sup {c,d} => f(sup {a,b}) < f(sup {c,d}) (analogo ragionamento per inf) ossia per come è definito il morfismo, che
sup{f(a),f(b)} < sup{f(c),f(d)}.
Suppongo s.l.g. che a < b e c < d. Poichè f è crescente (per def di morfismo di reticoli), allora avremo che f(a) < f(b) e f(c) < f(d).
Dunque sup {f(a),f(b)} = f(b), sup{f(c),f(d)} = f(d) e f(b) < f(d) in quanto b < d. Quest'ultimo discende dall'ipotesi assunta di a < b e c < d, per cui essendo per ipotesi sup {a,b} < sup {c,d}, segue che b < d.
Analoghi gli altri casi, ossia se a < b e c > d, a >b e c > d, a > b e c < d.
Va bene questa dimostrazione che fatto?
Si esatto, mi sembra vada bene!
Che bello . Hai qualche perplessità su qualche passaggio, per il tuo "mi sembra" ?
. Hai qualche perplessità su qualche passaggio, per il tuo "mi sembra" ?
No no, è un mio intercalare Non preoccuparti è giusto!
Non preoccuparti è giusto!
Non preoccuparti, scherzavo! Invece per quanto riguarda l'implicazione f biezione crescente => f isomorfismo, ho ragionato nel seguente modo:
Dimostrare che f crescente => f morfismo.
Per ipotesi sappiamo che a < b => f(a) < f(b). Dobbiamo dimostrare che f è una funzione tale che f{sup(a,b)} = sup{f(a),f(b)} e f{inf(a,b)} = inf{f(a),f(b)}.
Supponiamo senza ledere generalità che a < b. Dunque f(a) < f(b).
Allora, f(sup{a,b}) = f(b)
sup{f(a),f(b)} = f(b),
per cui è provato che f{sup(a,b)} = sup{f(a),f(b)}.
Con analoghi ragionamenti mi trovo anche con il caso a > b ossia a < b e con la verifica che quanto dimostrato per il sup vale anche per l'inf...
Va bene anche questa dimostrazione che ho cercato di fare?
Grazie. Saluti
Dimostrare che f crescente => f morfismo.
Per ipotesi sappiamo che a < b => f(a) < f(b). Dobbiamo dimostrare che f è una funzione tale che f{sup(a,b)} = sup{f(a),f(b)} e f{inf(a,b)} = inf{f(a),f(b)}.
Supponiamo senza ledere generalità che a < b. Dunque f(a) < f(b).
Allora, f(sup{a,b}) = f(b)
sup{f(a),f(b)} = f(b),
per cui è provato che f{sup(a,b)} = sup{f(a),f(b)}.
Con analoghi ragionamenti mi trovo anche con il caso a > b ossia a < b e con la verifica che quanto dimostrato per il sup vale anche per l'inf...
Va bene anche questa dimostrazione che ho cercato di fare
? Grazie
. Saluti
Direi di sì
Bene . Invece per quanto riguarda l'equivalenza iso <=> biezione?
. Invece per quanto riguarda l'equivalenza iso <=> biezione?
Come faresti?
Mi verrebbe naturale dire che per definizione un isomorfismo è (un omomorfismo) biettivo, cioè è un'applicazione biettiva,una biiezione.E' sufficiente?
Sì, devi dimostrarlo solo se tu avessi un omomorfismo e questo ti dicono che è una biiezione!
Perdonami, non mi è totalmente chiara la risposta. Se ho ben capito, non devo dimostrare nulla in quanto
isomorfismo <=> biiezione? Grazie
isomorfismo <=> biiezione? Grazie
No, solo se non sai già che è iso, perché in iso ti danno già l'informazione che è biiezione
Scusami, quindi, dato che la mia tesi è f isomorfismo se e solo se f è biezione crescente, NON devo dimostrare nulla al riguardo di f ismorfismo biezione?
Grazie
Grazie
No, però se hai un esercizio in cui ti dice hai questo isomorfismo f, spesso prima di usarlo, per quel che è, devi dimostrare che è veramente un isomorfismo ( pignolerie da Algebristi )
)
E' come se non dovessi fidarmi dell'ipotesi che ho ? "Noi sappiamo"che è un isomorfismo 
? "Noi sappiamo"che è un isomorfismo
Esatto, non credo se non dimostro! Poi magari trovi chi è più pignolo su ste cose e chi non si fa problemi se salti a pie pari un po' tutto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo