Isomorfismo con gruppo quoziente
Avrei bisogno di controllare lo svolgimento del seguente esercizio:
Dire se esiste un sottogruppo $H$ di $G=ZZ//2ZZ xx ZZ//8ZZ$ tale che $H cong G//H cong ZZ//4ZZ$.
Inizio coll'osservare che poichè $G$ è abeliano allora i suoi sottogruppi sono normali e pertanto ha senso considerare il gruppo quoziente di $G$ per $H$.
Ho che $o(G)=16$ e che i suoi elementi sono coppie di classi:
$G={(\bar0,\bar0),(\bar0,\bar1),(\bar0,\bar2),(\bar0,\bar3),(\bar0,\bar4),(\bar0,\bar5),(\bar0,\bar6),(\bar0,\bar7),(\bar1,\bar0),(\bar1,\bar1),(\bar1,\bar2),(\bar1,\bar3),(\bar1,\bar4),(\bar1,\bar5),(\bar1,\bar6),(\bar1,\bar7)}$.
Per la teoria di Sylow ho che sicuramente esiste un sottogruppo $H$ di $G$ avente ordine 4. Resta allora da determinare esplicitamente tale sottogruppo e da costruire un isomorfismo con $ZZ//4ZZ={\bar0,\bar1,\bar2,\bar3}$.
Dopo avere fatto un po' di conti considero $H={(\bar0,\bar0),(\bar0,\bar4),(\bar1,\bar0),(\bar1,\bar4)}$
Allora come isomorfismo posso prendere $\phi : H -> ZZ//4ZZ$ tale che
$\phi(\bar0,\bar0)=\bar0$
$\phi(\bar0,\bar4)=\bar1$
$\phi(\bar1,\bar0)=\bar2$
$\phi(\bar1,\bar4)=\bar3$
Vi sembra ok? Grazie per l'attenzione.
Dire se esiste un sottogruppo $H$ di $G=ZZ//2ZZ xx ZZ//8ZZ$ tale che $H cong G//H cong ZZ//4ZZ$.
Inizio coll'osservare che poichè $G$ è abeliano allora i suoi sottogruppi sono normali e pertanto ha senso considerare il gruppo quoziente di $G$ per $H$.
Ho che $o(G)=16$ e che i suoi elementi sono coppie di classi:
$G={(\bar0,\bar0),(\bar0,\bar1),(\bar0,\bar2),(\bar0,\bar3),(\bar0,\bar4),(\bar0,\bar5),(\bar0,\bar6),(\bar0,\bar7),(\bar1,\bar0),(\bar1,\bar1),(\bar1,\bar2),(\bar1,\bar3),(\bar1,\bar4),(\bar1,\bar5),(\bar1,\bar6),(\bar1,\bar7)}$.
Per la teoria di Sylow ho che sicuramente esiste un sottogruppo $H$ di $G$ avente ordine 4. Resta allora da determinare esplicitamente tale sottogruppo e da costruire un isomorfismo con $ZZ//4ZZ={\bar0,\bar1,\bar2,\bar3}$.
Dopo avere fatto un po' di conti considero $H={(\bar0,\bar0),(\bar0,\bar4),(\bar1,\bar0),(\bar1,\bar4)}$
Allora come isomorfismo posso prendere $\phi : H -> ZZ//4ZZ$ tale che
$\phi(\bar0,\bar0)=\bar0$
$\phi(\bar0,\bar4)=\bar1$
$\phi(\bar1,\bar0)=\bar2$
$\phi(\bar1,\bar4)=\bar3$
Vi sembra ok? Grazie per l'attenzione.
Risposte
Provo a fare un "Up" di questo post.
Magari nel frattempo qualcuno ha affrontato qualche esercizio simile e mi sa dare riscontro.
Grazie
Magari nel frattempo qualcuno ha affrontato qualche esercizio simile e mi sa dare riscontro.
Grazie
Premetto che non sono un esperto di algebra. Quindi prendi tutto con le pinze.
Stai cercando un sottogruppo $H$ di $G$ isomorfo a $ZZ_4=ZZ//4ZZ$ (e poi deve essere isomorfo anche a $G//H$).
Ma $ZZ_4$ è ciclico, mantre il gruppo che hai determinato tu cioè $H={(\bar0,\bar0),(\bar0,\bar4),(\bar1,\bar0),(\bar1,\bar4)}$ non è ciclico, perchè tutti gli elementi diversi dall'elemento neutro hanno periodo $2$ (si chiama gruppo di Klein, se la memoria non mi inganna).
Quindi non va bene.
Stai cercando un sottogruppo $H$ di $G$ isomorfo a $ZZ_4=ZZ//4ZZ$ (e poi deve essere isomorfo anche a $G//H$).
Ma $ZZ_4$ è ciclico, mantre il gruppo che hai determinato tu cioè $H={(\bar0,\bar0),(\bar0,\bar4),(\bar1,\bar0),(\bar1,\bar4)}$ non è ciclico, perchè tutti gli elementi diversi dall'elemento neutro hanno periodo $2$ (si chiama gruppo di Klein, se la memoria non mi inganna).
Quindi non va bene.
Conviene prendere come H il sottogruppo generato da (1,2).
Grazie ad entrambi per le osservazioni e le correzioni.
In effetti come detto da Cirasa il gruppo $H$ che avevo costruito è isomorso al gruppo di Klein: ho provato a costruirmi la sua tabella e coincidono. Inoltre il mio "isomorfismo" non è un isomorfismo, bastava controllare che, per come costruito, $\phi(\bar0,\bar4)+\phi(\bar0,\bar4)=\bar1+\bar1=\bar2$ mentre $\phi(\bar0,\bar0)=\bar0$.
Per determinare il sottogruppo generato da $(\bar1,\bar2)$ ho prima calcolato il suo ordine così:
$o(\bar1,\bar2)=max{h,k; (\bar1)^h=\bar0 $ e $ (\bar2)^k=\bar0}=max{2,4}=4$,
quindi $<(\bar1,\bar2)>$ ha ordine $4$, facendo i conti ho: $<(\bar1,\bar2)>$$={(\bar0,\bar0), (\bar1,\bar2), (\bar0,\bar4), (\bar1,\bar6)}$ e per l'isomorfismo:
$\phi(\bar0,\bar0)=\bar0$
$\phi(\bar1,\bar2)=\bar1$
$\phi(\bar0,\bar4)=\bar2$
$\phi(\bar1,\bar6)=\bar3$.
In effetti come detto da Cirasa il gruppo $H$ che avevo costruito è isomorso al gruppo di Klein: ho provato a costruirmi la sua tabella e coincidono. Inoltre il mio "isomorfismo" non è un isomorfismo, bastava controllare che, per come costruito, $\phi(\bar0,\bar4)+\phi(\bar0,\bar4)=\bar1+\bar1=\bar2$ mentre $\phi(\bar0,\bar0)=\bar0$.
Per determinare il sottogruppo generato da $(\bar1,\bar2)$ ho prima calcolato il suo ordine così:
$o(\bar1,\bar2)=max{h,k; (\bar1)^h=\bar0 $ e $ (\bar2)^k=\bar0}=max{2,4}=4$,
quindi $<(\bar1,\bar2)>$ ha ordine $4$, facendo i conti ho: $<(\bar1,\bar2)>$$={(\bar0,\bar0), (\bar1,\bar2), (\bar0,\bar4), (\bar1,\bar6)}$ e per l'isomorfismo:
$\phi(\bar0,\bar0)=\bar0$
$\phi(\bar1,\bar2)=\bar1$
$\phi(\bar0,\bar4)=\bar2$
$\phi(\bar1,\bar6)=\bar3$.
Provo ora a concludere l'esercizio poichè bisogna anche provare che $H cong G//H cong ZZ//4ZZ$.
Mi sono allora costruito tutti i laterali sinistri di $H$ ottenendo i seguenti $4$ elementi di $G//H$:
$(\bar0,\bar0)+H=(\bar0,\bar4)+H=(\bar1,\bar2)+H=(\bar1,\bar6)+H=H$
$(\bar0,\bar1)+H=(\bar0,\bar5)+H=(\bar1,\bar3)+H=(\bar1,\bar7)+H$
$(\bar0,\bar2)+H=(\bar0,\bar6)+H=(\bar1,\bar0)+H=(\bar1,\bar4)+H$
$(\bar0,\bar3)+H=(\bar0,\bar7)+H=(\bar1,\bar1)+H=(\bar1,\bar5)+H$
che chiamo rispettivamente $H, A, B, C$, quindi è $G//H = {H, A, B, C}$ che so essere un gruppo di elemento neutro $H$.
Come isomorfismo posso prendere $\gamma$:
$\gamma(\bar0,\bar0)=H$
$\gamma(\bar1,\bar2)=A$
$\gamma(\bar0,\bar4)=B$
$\gamma(\bar1,\bar6)=C$.
A questo punto mi è venuta una curiosità: è sempre vero che se ho un sottogruppo normale $N$ di un gruppo finito $G$ tale che $o(N)=i_G(N)$ allora $N cong G//N$ ?
Mi sono allora costruito tutti i laterali sinistri di $H$ ottenendo i seguenti $4$ elementi di $G//H$:
$(\bar0,\bar0)+H=(\bar0,\bar4)+H=(\bar1,\bar2)+H=(\bar1,\bar6)+H=H$
$(\bar0,\bar1)+H=(\bar0,\bar5)+H=(\bar1,\bar3)+H=(\bar1,\bar7)+H$
$(\bar0,\bar2)+H=(\bar0,\bar6)+H=(\bar1,\bar0)+H=(\bar1,\bar4)+H$
$(\bar0,\bar3)+H=(\bar0,\bar7)+H=(\bar1,\bar1)+H=(\bar1,\bar5)+H$
che chiamo rispettivamente $H, A, B, C$, quindi è $G//H = {H, A, B, C}$ che so essere un gruppo di elemento neutro $H$.
Come isomorfismo posso prendere $\gamma$:
$\gamma(\bar0,\bar0)=H$
$\gamma(\bar1,\bar2)=A$
$\gamma(\bar0,\bar4)=B$
$\gamma(\bar1,\bar6)=C$.
A questo punto mi è venuta una curiosità: è sempre vero che se ho un sottogruppo normale $N$ di un gruppo finito $G$ tale che $o(N)=i_G(N)$ allora $N cong G//N$ ?
Ricorda che due gruppi ciclici dello stesso ordine sono automaticamente isomorfi, non serve ogni volta esibire un isomorfismo esplicito.
"deserto":Certo che no: prendi due gruppi finiti $A$ e $B$ dello stesso ordine ma non isomorfi. detto $G=A xx B$ si ha $|A xx {1}|=|A|=|B|=|B xx {1}|$ ma $G//A xx {1} cong B$ non è isomorfo ad $A$.
A questo punto mi è venuta una curiosità: è sempre vero che se ho un sottogruppo normale $N$ di un gruppo finito $G$ tale che $o(N)=i_G(N)$ allora $N cong G//N$ ?
Non mi ero accorto che $G//H = {H, A, B, C}$ è un gruppo ciclico generato da $A$, e che quindi, avendo ordine $4$, potevo arrivare subito al risultato senza farmi tutti i conti.
Grazie anche per il controesempio che prova che non è sempre vero che se ho un sottogruppo normale $N$ di un gruppo finito $G$ tale che $o(N)=i_G(N)$ allora $N cong G//N$.
Grazie anche per il controesempio che prova che non è sempre vero che se ho un sottogruppo normale $N$ di un gruppo finito $G$ tale che $o(N)=i_G(N)$ allora $N cong G//N$.
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