Irriducibilita' negli interi di Gauss
buongiorno a tutti, volevo sottoporvi un quesito di domenica mattina, spero di non rovinarvi il week end 
ho trovato due proposizioni nei miei appunti, entrambe senza dimostrazione...
la prima data dal professore
se p appartiene a Z
p=1 modulo 4 => p riducibile in Z
p=3 modulo 4 => p irriducibile in Z
la seconda che e' un esercizio del mio libro
in Z un numero a+ib e' irriducibile SE E SOLO SE (quindi anche viceversa) a^2 + b^2 e' primo in Z
ora....come si spiega il 3??? dovrebbe essere irriducibile (o perlomeno in molti esercizi del mio e di altri professori, lo hanno considerato irriducibile) ma la sua norma in Z e' 9, che NON e' primo in Z e per la seconda proposizione (al viceversa) dovrebbe essere riducibile...
grazie mille a tutti
ho trovato due proposizioni nei miei appunti, entrambe senza dimostrazione...
la prima data dal professore
se p appartiene a Z
p=1 modulo 4 => p riducibile in Z
p=3 modulo 4 => p irriducibile in Z
la seconda che e' un esercizio del mio libro
in Z un numero a+ib e' irriducibile SE E SOLO SE (quindi anche viceversa) a^2 + b^2 e' primo in Z
ora....come si spiega il 3??? dovrebbe essere irriducibile (o perlomeno in molti esercizi del mio e di altri professori, lo hanno considerato irriducibile) ma la sua norma in Z e' 9, che NON e' primo in Z e per la seconda proposizione (al viceversa) dovrebbe essere riducibile...
grazie mille a tutti
Risposte
Beh, non esistono due elementi $a$ e $b$ interi tali che $a^2+b^2=p$, è un semplice esercizio con i moduli...
scusa ma le parole esatte del mio libro sono "si provi che" quindi io intendo che la proposizione DEVE essere vera....
ad esempio 2+i ha norma 2^2+1^2=5 che e' primo in Z
o forse ho frainteso...
ad esempio 2+i ha norma 2^2+1^2=5 che e' primo in Z
o forse ho frainteso...
Il primo viene da questo:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... e_quadrati
Il secondo dal fatto che come ti ho detto la stessa cosa non vale per i primi 3 modulo 4.... Io non ho a che fare con gli interi di gauss da anni... Comunque tu lì hai solo trovato che 5 non è primo...
Comunque credo che tu abbia frainteso. Un numero intero è un primo negli interi gaussiani se l'equazione x^2+y^2=p non ha soluzione.
Edit:
Norma del numero un numero primo => intero gaussiano primo
Ma non è un se e solo se... Cioé esistono primi che non hanno norma un primo... In particolare gli interi primi 3modulo4
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di ... e_quadrati
Il secondo dal fatto che come ti ho detto la stessa cosa non vale per i primi 3 modulo 4.... Io non ho a che fare con gli interi di gauss da anni... Comunque tu lì hai solo trovato che 5 non è primo...
Comunque credo che tu abbia frainteso. Un numero intero è un primo negli interi gaussiani se l'equazione x^2+y^2=p non ha soluzione.
Edit:
Norma del numero un numero primo => intero gaussiano primo
Ma non è un se e solo se... Cioé esistono primi che non hanno norma un primo... In particolare gli interi primi 3modulo4
si in effetti il teorema di fermat da ragione alla proposizione del mio professore...
quindi deve per forza essere sbagliato il libro, un errore di stampa....
grazie mille, mi sei stato indispensabile
quindi deve per forza essere sbagliato il libro, un errore di stampa....
grazie mille, mi sei stato indispensabile
"n3mo":
si in effetti il teorema di fermat da ragione alla proposizione del mio professore...
quindi deve per forza essere sbagliato il libro, un errore di stampa....
grazie mille, mi sei stato indispensabile
Non so, forse hai solo frainteso un se con un se e solo se...
Si consideri $ZZ$ l'anello degli interi di Gauss. Sia $Q= { a^2 + b^2 in ZZ \ | \ a,b in ZZ }$. Allora:
1) Sia $p in NN$ un primo di $ZZ$. Allora: $p$ è primo in $ZZ$ se e solo se $p notin Q$.
2) Sia $p in NN$ un primo di $ZZ$. Allora: $p in Q$ se e solo se ($p=2$ o $p -= 1 (mod 4)$).
3) Sia $w in ZZ$. Allora: ($w$ è primo in $ZZ$ e non è associato ad alcun elemento di $ZZ$) se e solo se $|w|^2$ è primo in $ZZ$.
4) Sia $T = { p in NN \ | \ p \text{ primo in } ZZ, \ p -= 3 (mod 4) }$. Allora l'insieme dei primi di $ZZ$ è ${ mu p \ | \ p in T, \ mu in {pm 1, pm i} } cup {w in ZZ \ | \ |w|^2 in NN \text{ e' primo in } ZZ }$.
1) è fattibile.
2) si deve usare il simbolo di Legendre.
3) non è banale.
4) è un corollario immediato delle precedenti.
1) Sia $p in NN$ un primo di $ZZ$. Allora: $p$ è primo in $ZZ$ se e solo se $p notin Q$.
2) Sia $p in NN$ un primo di $ZZ$. Allora: $p in Q$ se e solo se ($p=2$ o $p -= 1 (mod 4)$).
3) Sia $w in ZZ$. Allora: ($w$ è primo in $ZZ$ e non è associato ad alcun elemento di $ZZ$) se e solo se $|w|^2$ è primo in $ZZ$.
4) Sia $T = { p in NN \ | \ p \text{ primo in } ZZ, \ p -= 3 (mod 4) }$. Allora l'insieme dei primi di $ZZ$ è ${ mu p \ | \ p in T, \ mu in {pm 1, pm i} } cup {w in ZZ \ | \ |w|^2 in NN \text{ e' primo in } ZZ }$.
1) è fattibile.
2) si deve usare il simbolo di Legendre.
3) non è banale.
4) è un corollario immediato delle precedenti.
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