Irriducibile su $ZZ_11[x]$
Salve ragazzi, sto cercando un modo "veloce" per provare l'irriducibilità di questo polinomio :
$f(X)=X^3-9 in ZZ_11[x]$
un metodo standard, sarebbe valutare detto polinomio $AA \alpha in ZZ_11$ e vedere se ha radici. Se non ne ha bene, allora è irriducibile essendo il suo grado 3.
Ma questo è un metodo alquanto scomodo.Ho pensato di agire così :
Notiamo anzitutto che $[0]_11$ non è radice di $f(x)$ infatti $f([0]_11)=[-9]_11=[2]_11!=[0]_11$
Considero dunque $\alpha in ZZ_11\\{[0]_11}$
per il piccolo teorema di fermat $\alpha^11=a(mod11)$
e dunque $(\alpha^3)^3\alpha^2=a(mod11) $ da cui segue che $(\alpha^3)^3=-a(mod11)$ (1)
Se $f(\alpha)=0 => \alpha^3=9$ (2)
se vale (2) allora vale (1) e di conseguenza
$(\alpha^3)^3=(-a)^3=(9)^3=(-9)^3$ da cui avrei che
$9^3=3=(-9)^3=2^3=8(mod11) => 3=8(mod11)$ Assurdo.
Pertanto non esistono $\alpha in ZZ_11\\{0} t.c \alpha^3=9$ di conseguenza $f(X)$ non ha radici in $ZZ_11$ e quindi è ivi irriducibile.
Va bene ragionare in questi termini o sono completamente fuori strada?
grazie.
$f(X)=X^3-9 in ZZ_11[x]$
un metodo standard, sarebbe valutare detto polinomio $AA \alpha in ZZ_11$ e vedere se ha radici. Se non ne ha bene, allora è irriducibile essendo il suo grado 3.
Ma questo è un metodo alquanto scomodo.Ho pensato di agire così :
Notiamo anzitutto che $[0]_11$ non è radice di $f(x)$ infatti $f([0]_11)=[-9]_11=[2]_11!=[0]_11$
Considero dunque $\alpha in ZZ_11\\{[0]_11}$
per il piccolo teorema di fermat $\alpha^11=a(mod11)$
e dunque $(\alpha^3)^3\alpha^2=a(mod11) $ da cui segue che $(\alpha^3)^3=-a(mod11)$ (1)
Se $f(\alpha)=0 => \alpha^3=9$ (2)
se vale (2) allora vale (1) e di conseguenza
$(\alpha^3)^3=(-a)^3=(9)^3=(-9)^3$ da cui avrei che
$9^3=3=(-9)^3=2^3=8(mod11) => 3=8(mod11)$ Assurdo.
Pertanto non esistono $\alpha in ZZ_11\\{0} t.c \alpha^3=9$ di conseguenza $f(X)$ non ha radici in $ZZ_11$ e quindi è ivi irriducibile.
Va bene ragionare in questi termini o sono completamente fuori strada?
grazie.
Risposte
Sì l'idea è giusta, ma fai un po' di confusione.
Puoi trovare il punto oscuro da solo leggendo questo suggerimento (se ti va):
Puoi trovare il punto oscuro da solo leggendo questo suggerimento (se ti va):
ho riflettuto, l'errore stava nel fatto che non basta che $(\alpha^3)^3=\alpha^(-1)$ (1)
infatti commettevo l'errore di porre $(\alpha^3)^(-1)=\alpha^(-1)$ il che è un errore.
Posso ovviare così, penso.
dalla (1)
si evince che $(\alpha^3)^9=(\alpha^3)^(-1)$
e quindi $(\alpha^3)^9=9^9=5=(\alpha^3)^(-1)=9^(-1)=5(mod11)$ e quindi effettivamente la possibilità che ci sia una radice c'è. E quindi $f(X)$ risulta essere riducibile.
Che ne dici martino?
infatti commettevo l'errore di porre $(\alpha^3)^(-1)=\alpha^(-1)$ il che è un errore.
Posso ovviare così, penso.
dalla (1)
si evince che $(\alpha^3)^9=(\alpha^3)^(-1)$
e quindi $(\alpha^3)^9=9^9=5=(\alpha^3)^(-1)=9^(-1)=5(mod11)$ e quindi effettivamente la possibilità che ci sia una radice c'è. E quindi $f(X)$ risulta essere riducibile.
Che ne dici martino?
Sì non dici cose sbagliate, ma non puoi dire più semplicemente come segue?
"Martino":
Sì non dici cose sbagliate, ma non puoi dire più semplicemente come segue?
giusto martino, giocando un po si riusciva ad ottenere anche una radice abbastanza velocemente 
non c'avevo fatto caso.
Grazie mille.
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