Inverso di un Polinomio
Buongiorno, vi chiedo gentilmente una mano riguardo il seguente esercizio:
Si consideri in $mathbb(F_7)[x]$ il polinomio $f(x)=x^3-x+2$ e sia $I$ l'ideale $I=(f(x))$. Si dimostri che $K=(mathbb(F_7)[x])//I$ è un campo e si determini in $K$ l'inverso di $x^2+x+2+I$.
Parziale soluzione:
Ho dimostrato che $K=(mathbb(F_7)[x])//I$ è un campo mostrando che $I$ è massimale, poiché $f(x)$ è irriducibile in $mathbb(F_7)$.
Riguardo alla determinazione dell'inverso, eseguendo la divisione di polinomi sono arrivato a scrivere:
Posto $g(x)=x^2+x+2$
$f(x)=g(x)*(x+6) + (5x+4)$
Da qui non so come procedere, in particolare non so come ottenere un'espressione eguagliata all'unità.
Grazie in anticipo a chi risponderà.
Si consideri in $mathbb(F_7)[x]$ il polinomio $f(x)=x^3-x+2$ e sia $I$ l'ideale $I=(f(x))$. Si dimostri che $K=(mathbb(F_7)[x])//I$ è un campo e si determini in $K$ l'inverso di $x^2+x+2+I$.
Parziale soluzione:
Ho dimostrato che $K=(mathbb(F_7)[x])//I$ è un campo mostrando che $I$ è massimale, poiché $f(x)$ è irriducibile in $mathbb(F_7)$.
Riguardo alla determinazione dell'inverso, eseguendo la divisione di polinomi sono arrivato a scrivere:
Posto $g(x)=x^2+x+2$
$f(x)=g(x)*(x+6) + (5x+4)$
Da qui non so come procedere, in particolare non so come ottenere un'espressione eguagliata all'unità.
Grazie in anticipo a chi risponderà.
Risposte
Non devi dividere $f$ per $g$, ma $g$ per $f$; in effetti devi calcolare il massimo comun divisore tra $g$ ed $f$; $g$ è invertibile se e solo se tale mcd è 1, e il coefficienti $h(x)$ tale che $h(x)g(x)+k(x)f(x)=1$ è il suo inverso modulo $I$.
Proprio perché devo arrivare a quella forma non devo partire dividendo il polinomio di grado maggiore per quello di grado minore?
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