Intersezione Gruppi ciclici .permutazione.
Ragazzi, vi prego di controllare ancora una volta la linearità del mio ragionamento.
Ho il seguente esercizio.
Siano dati i seguenti elementi di $S_16$.
$\sigma = (1,7,13,9,2)(3,8,4)(5,11,12,6,10,5,14,16)$
$\tau = ( 14,10,12,5)(8,4,3)(15,6,11,16)$
mi chiede
a) Determinare $<\sigma>nn<\tau>$
b) trovare un sottogruppo di S_16 di ordine 24, se possibile.
Per il punto a) ho risolto cosi.
poiché $o(\sigma) = 120$ ed $o(\tau) = 12$ (che rappresentano entrambi la cardinalità di entrambi i gruppi ciclici.) segue che $|<\sigma>nn<\tau>| <= M.C.D ( 120 , 12)$. Cioè sarà al più 12.
Poiché $<\sigma>nn<\tau>$ è ciclico, mi basterà trovare un generatore per tale sottogruppo.
Poiché $o(\tau)
Tale $\sigma^i$ potrà avere uno dei seguenti ordini : 12 , 6 ,3 , 2 , 4 ( divisori di 12)
Troviamo d'apprima un elemento di $<\sigma>$ tale che abbia periodo 12.
Dalla formula $ o ( \sigma^i) = (o(\sigma) / M.C.D ( o(\sigma) , i )) = > M.C.D ( 120 , i ) = (120)/(12) $ .Dunque per i = 10
ho proprio che $<\sigma>nn<\tau> = <\sigma^10>$ o analogamente $<\sigma>nn<\tau> = <\tau>$. End.
Per il punto b)
Poichè <\tau> è un sottoinsieme dell'intersezione. Mi basterà trovare una permutazione di <\sigma> di ordine ventiquattro tale che contenga <\tau>.
Seguendo un ragionamento analogo a quello di prima ho trovato che tale gruppo, può essere $H = <\sigma^5>$.
Grazie per la vostra attenzione.
Ho il seguente esercizio.
Siano dati i seguenti elementi di $S_16$.
$\sigma = (1,7,13,9,2)(3,8,4)(5,11,12,6,10,5,14,16)$
$\tau = ( 14,10,12,5)(8,4,3)(15,6,11,16)$
mi chiede
a) Determinare $<\sigma>nn<\tau>$
b) trovare un sottogruppo di S_16 di ordine 24, se possibile.
Per il punto a) ho risolto cosi.
poiché $o(\sigma) = 120$ ed $o(\tau) = 12$ (che rappresentano entrambi la cardinalità di entrambi i gruppi ciclici.) segue che $|<\sigma>nn<\tau>| <= M.C.D ( 120 , 12)$. Cioè sarà al più 12.
Poiché $<\sigma>nn<\tau>$ è ciclico, mi basterà trovare un generatore per tale sottogruppo.
Poiché $o(\tau)
Tale $\sigma^i$ potrà avere uno dei seguenti ordini : 12 , 6 ,3 , 2 , 4 ( divisori di 12)
Troviamo d'apprima un elemento di $<\sigma>$ tale che abbia periodo 12.
Dalla formula $ o ( \sigma^i) = (o(\sigma) / M.C.D ( o(\sigma) , i )) = > M.C.D ( 120 , i ) = (120)/(12) $ .Dunque per i = 10
ho proprio che $<\sigma>nn<\tau> = <\sigma^10>$ o analogamente $<\sigma>nn<\tau> = <\tau>$. End.
Per il punto b)
Poichè <\tau> è un sottoinsieme dell'intersezione. Mi basterà trovare una permutazione di <\sigma> di ordine ventiquattro tale che contenga <\tau>.
Seguendo un ragionamento analogo a quello di prima ho trovato che tale gruppo, può essere $H = <\sigma^5>$.
Grazie per la vostra attenzione.
Risposte
"Kashaman":
analogamente $<\delta>∩<\tau>$ = $<\tau>$
Ma scusa com'è possibile? Questo significa $\tau \in <\delta>$ ma $\tau$ sposta 15 e $\delta$ invece no (e quindi nessuna delle potenze di $\delta$ può spostare 15) ...
Io avrei fatto così:
$\delta = (1,7,13,9,2)(3,8,4)(5,11,12,6,10,5,14,16)$
$\tau = (14,10,12,5)(8,4,3)(15,6,11,16)$
$\delta^40 = ((1,7,13,9,2)^5)^8(3,8,4)^40((5,11,12,6,10,5,14,16)^8)^5 = id * (3,8,4)^40 * id = (3,8,4)$
perche $40 = 1 (mod 3)$
E poi $\tau^4 = (14,10,12,5)^4(8,4,3)^4(15,6,11,16)^4 = (8,4,3)=(3,8,4)$
perche $4=1 (mod 3)$
Quindi $<\delta> \cap < \tau > = <(3,8,4)>$
vi chiedo scusa ma c'è un errore nella traccia. In realtà
$\sigma = (1,7,13,9,2)(3,8,4)(5,11,12,6,10,15,14,16) $ .Avevo zompato il 15 nella traccia di sopra.
e in effetti per $\sigma$ scritta cosi ho che $\sigma ^ 10 = (3,8,4)(5,12,10,14)(11,6,5,16) = \tau$ e poiché $\sigma^10=\tau$ $=>$ $<\sigma^10$ $=<\tau>$
$\sigma = (1,7,13,9,2)(3,8,4)(5,11,12,6,10,15,14,16) $ .Avevo zompato il 15 nella traccia di sopra.
e in effetti per $\sigma$ scritta cosi ho che $\sigma ^ 10 = (3,8,4)(5,12,10,14)(11,6,5,16) = \tau$ e poiché $\sigma^10=\tau$ $=>$ $<\sigma^10$ $=<\tau>$
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