Intersezione di sottogruppi ciclici
Vorrei chiedere aiuto in merito alla risoluzione di un particolare esercizio...
Date due permutazioni $\sigma=(1,2,3,4,5)(6,7,8)(9,10,11)$ e $\tau=(1,3,2,4,5)(6,8,7)(9,11,10)$ trovare l'intersezione $<\sigma>nn<\tau>$
L'intersezione è un sottogruppo ciclico di $S_11$ del tipo$<\alpha>$ e quindi si avrà sicuramente che esistono $s,t\in\ \NN\ \tali\ \che\ \alpha=\sigma^s=\tau^t$
Sicuramente è il caso della permutazione identica(poichè ovviamente sigma e tau sono ciclici).
Ma come posso trovare le altre permutazioni non banali?
Servirebbe trovare delle condizioni su s e t ma come dovrei continuare? Grazie attendo una vostra risposta
Date due permutazioni $\sigma=(1,2,3,4,5)(6,7,8)(9,10,11)$ e $\tau=(1,3,2,4,5)(6,8,7)(9,11,10)$ trovare l'intersezione $<\sigma>nn<\tau>$
L'intersezione è un sottogruppo ciclico di $S_11$ del tipo$<\alpha>$ e quindi si avrà sicuramente che esistono $s,t\in\ \NN\ \tali\ \che\ \alpha=\sigma^s=\tau^t$
Sicuramente è il caso della permutazione identica(poichè ovviamente sigma e tau sono ciclici).
Ma come posso trovare le altre permutazioni non banali?
Servirebbe trovare delle condizioni su s e t ma come dovrei continuare? Grazie attendo una vostra risposta
Risposte
Entrambi i sottogruppi hanno ordine \(15\), quindi per il teorema di Lagrange ci possono essere \(4\) eventualità...
Ciao j18eos, grazie per la risposta! Non credevo possibile che qualcuno potesse rispondermi il 24 dicembre 
!
Ieri sera penso di aver risolto l'esercizio correttamente e vorrei quindi postarlo per escludere la presenza di eventuali errori.
Dal Teorema di Lagrange risulta che l'ordine di alpha divide il M.C.D. tra gli ordini di sigma e tau, quindi:
$o(\alpha)|MCD(15,15)$ ovvero $o(\alpha)|15$. Quindi le 4 eventualità sono: $o(\alpha)={1,3,5,15}$
Ricordiamo che: $ \alpha=\sigma^s=\tau^t $(*)
Il caso in cui l'ordine di alpha valga 1, allora dalla formula del periodo risulta che s=15,30,... e t=15,30,...
Quindi semplicemente poichè sigma e tau hanno periodo 15, allora $\sigma^15=\tau^15,...$. E quindi questa è la prima soluzione(banale).
Nel caso in cui l'ordine di alpha valga 3, allora dalla formula del periodo e da(*) si ottiene che:
$o(\sigma^s)=15/(MCD(15,s))=3\ ;\ o(\tau^t)=15/(MCD(15,t))=3$ da cui $s,t=5,10,15,20,...$
Tuttavia poichè il periodo di sigma e tau è 15, allora basta considerare s,t= {5,10}e verificare se
$\sigma^5=\tau^5\ ;\ \sigma^10=\tau^10$
Nel primo caso: $\sigma^5=(6,8,7)(9,11,10)!=(6,7,8)(9,10,11)=\tau^5$ (Non è soluzione)
Nel secondo caso ugualmente: $\sigma^10!=\tau^10$
L'esercizio si ripete uguale nei casi in cui l'ordine di alpha sia 5 e 15...
!Ieri sera penso di aver risolto l'esercizio correttamente e vorrei quindi postarlo per escludere la presenza di eventuali errori.
Dal Teorema di Lagrange risulta che l'ordine di alpha divide il M.C.D. tra gli ordini di sigma e tau, quindi:
$o(\alpha)|MCD(15,15)$ ovvero $o(\alpha)|15$. Quindi le 4 eventualità sono: $o(\alpha)={1,3,5,15}$
Ricordiamo che: $ \alpha=\sigma^s=\tau^t $(*)
Il caso in cui l'ordine di alpha valga 1, allora dalla formula del periodo risulta che s=15,30,... e t=15,30,...
Quindi semplicemente poichè sigma e tau hanno periodo 15, allora $\sigma^15=\tau^15,...$. E quindi questa è la prima soluzione(banale).
Nel caso in cui l'ordine di alpha valga 3, allora dalla formula del periodo e da(*) si ottiene che:
$o(\sigma^s)=15/(MCD(15,s))=3\ ;\ o(\tau^t)=15/(MCD(15,t))=3$ da cui $s,t=5,10,15,20,...$
Tuttavia poichè il periodo di sigma e tau è 15, allora basta considerare s,t= {5,10}e verificare se
$\sigma^5=\tau^5\ ;\ \sigma^10=\tau^10$
Nel primo caso: $\sigma^5=(6,8,7)(9,11,10)!=(6,7,8)(9,10,11)=\tau^5$ (Non è soluzione)
Nel secondo caso ugualmente: $\sigma^10!=\tau^10$
L'esercizio si ripete uguale nei casi in cui l'ordine di alpha sia 5 e 15...
Dovresti pure controllare altre eventualità; per esempio: \(\displaystyle\sigma^5=\tau^{10}\)?
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