Intersezione di permutazioni
Ragazzi qualcuno potrebbe aiutarmi gentilmente con questo esercizio sulle permutazioni?
Per il primo punto non ci sono problemi. I problemi sorgono sul secondo punto.
$o(\alpha)=60$
$o(\beta)=84$
Ho pensato che visto che devo fare l'intersezione, questa interesezione sarà un sottogruppo sia di alfa che di beta comune a tutti e due. Alfa ammette come sottogruppi quelli che hanno ordine n tale che n divide l'ordine di alfa. Stessa cosa per beta.
Quindi il sottogruppo di intersezione deve avere come ordine un numero n tale che divide sia 60 che 84.
I divisori in comune di 60 e 84 sono: 1, 2, 4, 6, 12
Quindi la cardinalità del sottogruppo sarà 1 o 2 o 4 o 6 o 12.
Poi io so che
$<\alpha> = {\alpha^i| i in Z}$
$<\beta> = {\beta^i| i in Z}$
A me viene da pensare che a questo punto l'intersezione sarà formata dagli elementi tali chè $\alpha^i = \beta$
Come faccio a trovarli?! L'unica cosa che ho notato è che $(5 11 7 9)$ che sta in $\alpha$ è uguale a $(5 9 7 11)^3$ che sta in $\beta$.
Come si procede? Mi sono bloccato qui.
Grazie in anticipo a chi sarà tanto gentile da risponermi!
Per il primo punto non ci sono problemi. I problemi sorgono sul secondo punto.
$o(\alpha)=60$
$o(\beta)=84$
Ho pensato che visto che devo fare l'intersezione, questa interesezione sarà un sottogruppo sia di alfa che di beta comune a tutti e due. Alfa ammette come sottogruppi quelli che hanno ordine n tale che n divide l'ordine di alfa. Stessa cosa per beta.
Quindi il sottogruppo di intersezione deve avere come ordine un numero n tale che divide sia 60 che 84.
I divisori in comune di 60 e 84 sono: 1, 2, 4, 6, 12
Quindi la cardinalità del sottogruppo sarà 1 o 2 o 4 o 6 o 12.
Poi io so che
$<\alpha> = {\alpha^i| i in Z}$
$<\beta> = {\beta^i| i in Z}$
A me viene da pensare che a questo punto l'intersezione sarà formata dagli elementi tali chè $\alpha^i = \beta$
Come faccio a trovarli?! L'unica cosa che ho notato è che $(5 11 7 9)$ che sta in $\alpha$ è uguale a $(5 9 7 11)^3$ che sta in $\beta$.
Come si procede? Mi sono bloccato qui.
Grazie in anticipo a chi sarà tanto gentile da risponermi!
Risposte
Mi rispondo da solo...
$(1, 3)^30 (2 4 6 13 15 17)^30 (5 11 7 9)^30 (8 10 12 14 16)^30 = id, id, (5 11 7 9)^2, id = id, id, (5 7) (9 11), id$
$(1 10 8 4 14 16 17)^42 (2 3 12 13 6 15)^42 (5 9 7 11)^42 = id, id, (5 9 7 11)^2 = id, id, (5 7)(9 11)$
Quindi nell'intersezione ci sono $\alpha^30$ e $\beta^42$
Ora come faccio a sapere se sono gli unici due elementi o ce ne sono altri?
$(1, 3)^30 (2 4 6 13 15 17)^30 (5 11 7 9)^30 (8 10 12 14 16)^30 = id, id, (5 11 7 9)^2, id = id, id, (5 7) (9 11), id$
$(1 10 8 4 14 16 17)^42 (2 3 12 13 6 15)^42 (5 9 7 11)^42 = id, id, (5 9 7 11)^2 = id, id, (5 7)(9 11)$
Quindi nell'intersezione ci sono $\alpha^30$ e $\beta^42$
Ora come faccio a sapere se sono gli unici due elementi o ce ne sono altri?
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