Insiemi
Ragazzi datemi una mano a capire come muovermi qui:
le () sono al posto delle graffe che non so quale simbolo usare ^^
$A= (x in R | ((x-x^2)(x-2))/(x^2+1) >= 0)$
Allora, secondo il prof è necessario risolvere la disequazione all'interno dell'insieme per determinare i punti interni e di accumulazione. Ora il problema è come risolverla?
se svolgo il prodotto al numeratore mi viene $-x^3-x^2-2x$
se invece li prendo singolarmente e li faccio > di 0 mi viene
$x<1/x
$x>1$
$x> 1$
Non so come davvero come muovermi (anche se sono sicura che il passaggio da fare è banale)
le () sono al posto delle graffe che non so quale simbolo usare ^^
$A= (x in R | ((x-x^2)(x-2))/(x^2+1) >= 0)$
Allora, secondo il prof è necessario risolvere la disequazione all'interno dell'insieme per determinare i punti interni e di accumulazione. Ora il problema è come risolverla?
se svolgo il prodotto al numeratore mi viene $-x^3-x^2-2x$
se invece li prendo singolarmente e li faccio > di 0 mi viene
$x<1/x
$x>1$
$x> 1$
Non so come davvero come muovermi (anche se sono sicura che il passaggio da fare è banale)
Risposte
Risolvere la disequazione significa studiare il segno del rapporto...
quindi
numeratore $>=0$, cioe $(x-x^2)(x-2)>=0$
Essendo un prodotto applichi anche qui la regola dei segni ponendo ciascun fattore $>=0$.
$x-x^2>=0$
$x(1-x)>=0$
Che per il teorema del segno del trinomio di secondo grado ha soluzione $0<=x<=1$.
$x-2>=0$, cioe $x>=2$
Poi poni denominatore $>0$ (non $>=$ altrimenti se il denominatore si annulla la frazione perde di significato):
$x^2+1>0$ che e' sempre verificata dal momento che se a un quadrato aggiungi 1, troverai una quantita sempre strettamente positiva.
A questo punto fai il grafico dei segni del numeratore e del denominatore.
quindi
numeratore $>=0$, cioe $(x-x^2)(x-2)>=0$
Essendo un prodotto applichi anche qui la regola dei segni ponendo ciascun fattore $>=0$.
$x-x^2>=0$
$x(1-x)>=0$
Che per il teorema del segno del trinomio di secondo grado ha soluzione $0<=x<=1$.
$x-2>=0$, cioe $x>=2$
Poi poni denominatore $>0$ (non $>=$ altrimenti se il denominatore si annulla la frazione perde di significato):
$x^2+1>0$ che e' sempre verificata dal momento che se a un quadrato aggiungi 1, troverai una quantita sempre strettamente positiva.
A questo punto fai il grafico dei segni del numeratore e del denominatore.
$((x-x^2)(x-2))/(x^2+1) >= 0)$
studiamo il numeratore:
$((x-x^2)(x-2))>=0$
per la regola di annullamento del prodotto, possiamo fare uno studio del segno tra queste due disequazioni:
$(x-x^2)>=0$ che si azzera in 0 e 1. è positiva per 0
quindi il numeratore è positivo o uguale a zero per $x<=0U1<=x<=2$
ora vediamo il denominatore:
$x^2+1$ che è un polinomio irriducibile in $RR$ e quindi sempre maggiore di zero.
quindi l'intera frazione è positiva quando è positivo il numeratore, cioè negli intervalli
$(-oo,0]U[1,2]
a te ora continuare l'esercizio
studiamo il numeratore:
$((x-x^2)(x-2))>=0$
per la regola di annullamento del prodotto, possiamo fare uno studio del segno tra queste due disequazioni:
$(x-x^2)>=0$ che si azzera in 0 e 1. è positiva per 0
quindi il numeratore è positivo o uguale a zero per $x<=0U1<=x<=2$
ora vediamo il denominatore:
$x^2+1$ che è un polinomio irriducibile in $RR$ e quindi sempre maggiore di zero.
quindi l'intera frazione è positiva quando è positivo il numeratore, cioè negli intervalli
$(-oo,0]U[1,2]
a te ora continuare l'esercizio
due risposte praticamnete in contemporanea 
"fu^2":
due risposte praticamnete in contemporanea
Si pero tu sei stato piu bravo e sei arrivato fino in fondo
"Argos86":
se svolgo il prodotto al numeratore mi viene $-x^3-x^2-2x$
E' errato, viene: $-x^3+3x^2-2x$
In ogni caso non ti conviene svolgere il prodotto del numeratore perché, dovendo fare una disequazione poi ti trovi a dover mettere di nuovo in evidenza per rendere più semplice la disequzione
"oronte83":
[quote="fu^2"]due risposte praticamnete in contemporanea
Si pero tu sei stato piu bravo e sei arrivato fino in fondo
[/quote]ehehe ho scritto ADDIRITTURA una riga in più di te per arrivar in fondo
"fu^2":
due risposte praticamnete in contemporanea
Molte di più a quanto pare...Scusate
Vabbè la lascio nelle vostre mani
quindi l'insieme mi verrà $A= (-oo, 0] U [1,2]$ giusto?
Ragazzi io sono sempre più convinta che un giorno vi sposo hehe, siete sempre gentilissimi. ^^ Grazie un milione.
Ragazzi io sono sempre più convinta che un giorno vi sposo hehe, siete sempre gentilissimi. ^^ Grazie un milione.
"Argos86":
quindi l'insieme mi verrà $A= (-oo, 0] U [0,1]$ giusto?
Ragazzi io sono sempre più convinta che un giorno vi sposo hehe, siete sempre gentilissimi. ^^ Grazie un milione.
L'insieme e' costituito dalla soluzione della disequazione...quella che ti ha scritto fu^2...
$A= (-oo, 0] U [1,2]$
si si infatti ho modificato il post perché avevo preso i valori sbagliati nel fare il grafico della disequazione ^^.
Visto che ci siamo vi chiedo un'altra cosa.
se ho $A = {x in R | 2x^2 != (x-1)^2}$ come mi muovo qui invece?
Visto che ci siamo vi chiedo un'altra cosa.
se ho $A = {x in R | 2x^2 != (x-1)^2}$ come mi muovo qui invece?
Qui risolvi l'equazione
$2x^2nex^2+1-2x$ sviluppando il quadrato, cioe
$x^2+2x-1ne0$ equazione di secondo grado, con $ne$ invece di $=$, ma risolvi nello stesso modo.
$2x^2nex^2+1-2x$ sviluppando il quadrato, cioe
$x^2+2x-1ne0$ equazione di secondo grado, con $ne$ invece di $=$, ma risolvi nello stesso modo.
risolta l'equazione con $!=$ ottengo quindi $x!= 1$ ma come determino l'insieme? mi è pur sempre rimasto 2x^2 no?
"Argos86":
si si infatti ho modificato il post perché avevo preso i valori sbagliati nel fare il grafico della disequazione ^^.
Visto che ci siamo vi chiedo un'altra cosa.
se ho $A = {x in R | 2x^2 != (x-1)^2}$ come mi muovo qui invece?
è l'insieme formato da tutte le x tc
$2x^2-(x-1)^2!=0
$2x^2-x^2+2x-1!=0
$x^2+2x-1!=0
scomponi la radice e trovi che l'equazione è uguale a zero $<=>$ $x=-1+-sqrt(2)
(se non ho sbagliato a fare i calcoli)
quindi l'insieme è costituito da $RR-{-1+sqrt2,-1-sqrt2}
cioè tutto R esclusi quei due punti trovati.
"Argos86":
risolta l'equazione con $!=$ ottengo quindi $x!= 1$ ma come determino l'insieme? mi è pur sempre rimasto 2x^2 no?
No perche $2x^2$ era al primo membro, hai portato al primo anche $x^2$, che era al secondo membro, ottenendo $2x^2-x^2$.
scusa ora ti lascio a fu^2 se no si rischia di confonderti in due.
"oronte83":
Qui risolvi l'equazione
....
...allora è un mio vizio...
scusa
grazie cmq oronte sei stato di grande aiuto
Scusami fu^2 ma qui ti ho perso
risolvendo l'equazione non mi verrebbe $(-2+-(4+4)^(1/2))/2$ ?
"fu^2":
$x^2+2x-1!=0
scomponi la radice e trovi che l'equazione è uguale a zero $<=>$ $x=-1+-sqrt(2)
Scusami fu^2 ma qui ti ho perso
risolvendo l'equazione non mi verrebbe $(-2+-(4+4)^(1/2))/2$ ?
"Argos86":
grazie cmq oronte sei stato di grande aiuto
[quote="fu^2"]
$x^2+2x-1!=0
scomponi la radice e trovi che l'equazione è uguale a zero $<=>$ $x=-1+-sqrt(2)
Scusami fu^2 ma qui ti ho perso
risolvendo l'equazione non mi verrebbe $(-2+-(4+4)^(1/2))/2$ ?[/quote]
formula ridotta mai sentito parlare?
comunque quello che hai scritto te è equivalente a quello che ho scritto io, infatti:
$(-2+-(4+4)^(1/2))/2=(-2+-sqrt(2^3))/2=(-2+-2sqrt2)/2=-1+-sqrt2$
(ripasso:
facendo questo passaggio di raccogliere un 4 dentro la radice, puoi semplificare volendo.
questo lo puoi fare se e solo se il termine noto della x a esponente 1 è pari (per ovvie ragioni)
data $ax^2+bx+c=0$
e b=2k
allora $x_(1,2)=(-2k+-sqrt(b^2-4ac))/2=(-2k+-sqrt(4(b^2/4-ac)))/2=(-2k+-2sqrt((b^2/4-ac)))/2=
$-k+-sqrt((b/2)^2-ac)
questa è quella che viene detta formula ridotta ed è quella che ho usato io, è molto utile per tagliare i calcoli
altre cose nn ti sono chiare?
Si impone che numeratore e denominatore siano concordi. Poi è molto utile lo schema di analisi del segno (quello che alle superiori si chiama falso sistema per capirci).
Quello che non capisco perché dice solo i punti interni e di accumulazione (peraltro un punto interno è d'accumulazione in $RR$). I punti isolati vengono lo stesso dalle disequazioni larghe.
Quello che non capisco perché dice solo i punti interni e di accumulazione (peraltro un punto interno è d'accumulazione in $RR$). I punti isolati vengono lo stesso dalle disequazioni larghe.
"fu^2":
formula ridotta mai sentito parlare?
comunque quello che hai scritto te è equivalente a quello che ho scritto io, infatti:
$(-2+-(4+4)^(1/2))/2=(-2+-sqrt(2^3))/2=(-2+-2sqrt2)/2=-1+-sqrt2$
(ripasso:
facendo questo passaggio di raccogliere un 4 dentro la radice, puoi semplificare volendo.
questo lo puoi fare se e solo se il termine noto della x a esponente 1 è pari (per ovvie ragioni)
data $ax^2+bx+c=0$
e b=2k
allora $x_(1,2)=(-2k+-sqrt(b^2-4ac))/2=(-2k+-sqrt(4(b^2/4-ac)))/2=(-2k+-2sqrt((b^2/4-ac)))/2=
$-k+-sqrt((b/2)^2-ac)
questa è quella che viene detta formula ridotta ed è quella che ho usato io, è molto utile per tagliare i calcoli
altre cose nn ti sono chiare?
ho capito ^^ grazie, il metodo della formula ridotta credo di averlo fatto alle medie
alle superiori nada.Quindi, giusto per riprova. Se io ho questo insieme
$A= {x in RR | (2x-x^2)x^4(x-1)^2 <=0 }$
io devo, fare
$2x-2x^2$
$x(2-x)$
e quindi
$x<= 2$
$x^4>=0$ che è sempre vera
$x^2-2x+1$ la cui soluzione è 1 e quindi $x>=1$ giusto?
di conseguenza l'insieme A viene $(-oo, 1] U [2, +oo) $
ho detto qualche castroneria? (probabile ^^)
"Argos86":
ho capito ^^ grazie, il metodo della formula ridotta credo di averlo fatto alle medie
Quindi, giusto per riprova. Se io ho questo insieme
$A= {x in RR | (2x-x^2)x^4(x-1)^2 <=0 }$
io devo, fare
$2x-2x^2$
$x(2-x)$
e quindi
$x<= 2$
$x^4>=0$ che è sempre vera
$x^2-2x+1$ la cui soluzione è 1 e quindi $x>=1$ giusto?
di conseguenza l'insieme A viene $(-oo, 1] U [2, +oo) $
ho detto qualche castroneria? (probabile ^^)
Occhio a $x(2-x)$ è di secondo grado...hai anche $x>=0$...in definitiva la soluzione e' $0<=x<=2$...l'ultimo e' $(x-1)^2$ che si annulla per x=1 e per tutti gli altri x e' positivo essendo un quadrato. Questa volta cerchi pero gli intervalli in cui e' negativa.
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