Iniziando con le relazioni di equivalenza
Attualmente sto effettuando il passaggio tra le relazioni d'ordine e le relazioni di equivalenza.
Propongo il seguente esercizio in merito:
Sia $R$ su $A=RR X RR$ definita da $(x,y)R(x',y') iff y=y' $.
Devo dimostrare che $R$ è d'equivalenza, dire quante sono le classi di equivalenza della relazione $R$ su $A$ e trovare un insieme di rappresentanti per queste classi.
Allora:
-Ho dimostrato che è d'equivalenza verificando che $R$ è riflessiva, simmetrica e transitiva.
-Ho problemi a dire quante sono le classi di equivalenza della relazione $R$ su $A$.
Da quello che ho capito le classi di equivalenza in questo caso sono tutte quelle che hanno la seconda coordinata uguale, ad esempio la coppia $(2,3)$ appartiene alla stessa classe di $(7,3)$ ma quindi sono infinite classi di equivalenza...
sto sbagliando qualcosa?
Propongo il seguente esercizio in merito:
Sia $R$ su $A=RR X RR$ definita da $(x,y)R(x',y') iff y=y' $.
Devo dimostrare che $R$ è d'equivalenza, dire quante sono le classi di equivalenza della relazione $R$ su $A$ e trovare un insieme di rappresentanti per queste classi.
Allora:
-Ho dimostrato che è d'equivalenza verificando che $R$ è riflessiva, simmetrica e transitiva.
-Ho problemi a dire quante sono le classi di equivalenza della relazione $R$ su $A$.
Da quello che ho capito le classi di equivalenza in questo caso sono tutte quelle che hanno la seconda coordinata uguale, ad esempio la coppia $(2,3)$ appartiene alla stessa classe di $(7,3)$ ma quindi sono infinite classi di equivalenza...
sto sbagliando qualcosa?
Risposte
Tutto giusto, le classi sono infinite e sono tante quanti sono i numeri di $ RR $, per dare un'idea 
Quello che dici è corretto: se due coppie sono in relazione quando hanno la stessa seconda componente, allora ad esempio la classe di equivalenza della coppia $(a, b)$ è (indicando la classe di equivalenza della coppia con una lineetta sulla coppia stessa):
$\bar{(a, b)} = \{ (x, b) \in \RR \times \RR\}$, al variare di $x \in \RR$
Dunque nel tuo esempio, ovvero quello con la coppia $(2, 3)$, abbiamo infatti $(7, 3)$, $(0, 3)$, $(1/2, 3)$, $(-pi, 3)$, e così via.
Perciò una classe di equivalenza è determinata dalla seconda componente delle coppie che ne fanno parte: tutte e sole le coppie con una determinata seconda componente fanno parte della stessa classe di equivalenza, e se la cambi allora cambi anche classe. Dunque le classi di equivalenza sono tante quanti i possibili numeri che puoi mettere in seconda componente di una coppia... ovvero, come già suggerisce Frink, tutto $\RR$.
Trovare un insieme di rappresentanti come poi chiede l'esercizio è semplice, sta alla tua scelta: per ogni classe di equivalenza, e tu a questo punto sai come sono fatte, scegli una coppia in particolare, magari con una determinata caratteristica, e la eleggi a rappresentante della classe, così da indicare con essa l'intera classe di cui fa parte. L'insieme costituito da tutti questi rappresentanti è ovviamente l'insieme di rappresentanti che ti chiede l'esercizio.
$\bar{(a, b)} = \{ (x, b) \in \RR \times \RR\}$, al variare di $x \in \RR$
Dunque nel tuo esempio, ovvero quello con la coppia $(2, 3)$, abbiamo infatti $(7, 3)$, $(0, 3)$, $(1/2, 3)$, $(-pi, 3)$, e così via.
Perciò una classe di equivalenza è determinata dalla seconda componente delle coppie che ne fanno parte: tutte e sole le coppie con una determinata seconda componente fanno parte della stessa classe di equivalenza, e se la cambi allora cambi anche classe. Dunque le classi di equivalenza sono tante quanti i possibili numeri che puoi mettere in seconda componente di una coppia... ovvero, come già suggerisce Frink, tutto $\RR$.
Trovare un insieme di rappresentanti come poi chiede l'esercizio è semplice, sta alla tua scelta: per ogni classe di equivalenza, e tu a questo punto sai come sono fatte, scegli una coppia in particolare, magari con una determinata caratteristica, e la eleggi a rappresentante della classe, così da indicare con essa l'intera classe di cui fa parte. L'insieme costituito da tutti questi rappresentanti è ovviamente l'insieme di rappresentanti che ti chiede l'esercizio.
Direi che piuttosto che scegliere un rappresentante generico potrebbe scegliere la coppia avente lo $ 0 $ al primo posto, così da poter poi per abuso di notazione definire una classe col solo numero al secondo posto e quindi con il reale che definisce la classe. Mi sono spiegato?
Si, Frink chiaro...
Approfitto della vostra disponibilità per porre altri quesiti, già risolti da me ma per i quali vorrei avere qualche sicurezza in più.
Se $E$ è d'equivalenza su $A= RR X RR$ definita da $(x,y)E(x',y') iff x+y=x'+y'$, determinare la classe di equivalenza di (1,0).
Secondo me la classe di equivalenza è $[(1,0)]={(x,y)in RR X RR : (1,0)R(x,y)}={(1,0) or (0,1)}$.
corretto questo?
Approfitto della vostra disponibilità per porre altri quesiti, già risolti da me ma per i quali vorrei avere qualche sicurezza in più.
Se $E$ è d'equivalenza su $A= RR X RR$ definita da $(x,y)E(x',y') iff x+y=x'+y'$, determinare la classe di equivalenza di (1,0).
Secondo me la classe di equivalenza è $[(1,0)]={(x,y)in RR X RR : (1,0)R(x,y)}={(1,0) or (0,1)}$.
corretto questo?
Eh no, qui non ci sei! Le coppie $ (x,y) $ appartengono a $ RRxxRR $, perciò scrivendo di nuovo ma meglio la classe di $ (1,0) $:
$ [1,0]={(x,y)inRRxxRR:x+y=1} $
Queste coppie sono infinite, riesci a generalizzarle? (ricorda che in $ RR $ sono presenti i numeri negativi!)
$ [1,0]={(x,y)inRRxxRR:x+y=1} $
Queste coppie sono infinite, riesci a generalizzarle? (ricorda che in $ RR $ sono presenti i numeri negativi!)
Vero, mi era sfuggito che siamo in $RR$ e non in $NN$. Quindi sono tutte le coppie del tipo $(x,(-x+1)) vv (-x,(x+1)) $ per caso?
E $ ((x+1),-x) $? Inoltre quelle che hai scritto tu credo vorrebbero essere le due versioni per $ x $ positivi e negativi, ma puoi osservare che sono identiche. E' superfluo se non sbagliato indicare entrambe le forme quando esse sono equivalenti.
Anche in questo caso le classi di equivalenza sono infinite, sbaglio?
Certamente! E come potresti identificarle in modo più semplice di quello che abbiamo qui sopra?
$[(x,y)]={(x',y') in RR X RR: x'+y'=1}$, può andare?
Certo, ma in modo molto più conciso, una classe è composta dalle coppie la cui somma delle coordinate è uguale, perciò potresti esplicitare ogni classe con un numero reale 
"Frink":
una classe è composta dalle coppie la cui somma delle coordinate è uguale, perciò potresti esplicitare ogni classe con un numero reale
questo non mi è molto chiaro però...
Edit: ragionandoci ora mi è molto chiaro....
Per capirci, la classe della coppia $ (3,6) $ avrebbe come rappresentante $ 9 $. Perché?
Perché le coppie in relazione di equivalenza $ E $ con essa sono solo le coppie il cui primo termine sommato al secondo faccia 9. Allora come rappresentante potrai scegliere una qualsiasi coppia $ (x,y):x+y=9 $, ad esempio la coppia $ (9,0) $.
Esisterà allora un isomorfismo tra l'insieme quoziente $ (RRxxRR)/E $ e $ RR $. Se vuoi puoi provare per esercizio a metterlo per iscritto
EDIT: vedo ora la modifica, meglio così!
Perché le coppie in relazione di equivalenza $ E $ con essa sono solo le coppie il cui primo termine sommato al secondo faccia 9. Allora come rappresentante potrai scegliere una qualsiasi coppia $ (x,y):x+y=9 $, ad esempio la coppia $ (9,0) $.
Esisterà allora un isomorfismo tra l'insieme quoziente $ (RRxxRR)/E $ e $ RR $. Se vuoi puoi provare per esercizio a metterlo per iscritto
EDIT: vedo ora la modifica, meglio così!
ma come tradurresti formalmente l'insieme dei rappresentanti?
Che intendi? L'insieme i cui elementi sono le classi è il quoziente che ho scritto sopra, non conosco insiemi di rappresentanti O.o
Se intendi "come esprimi le classi", allora esprimerei così la solita classe di $ 9 $
$ [9]={(x,y):x+y=9^^x,yinRR } $
Se intendi "come esprimi le classi", allora esprimerei così la solita classe di $ 9 $
$ [9]={(x,y):x+y=9^^x,yinRR } $
$={(x,y) in RR x RR : x+y=b ^^ x,y in RR}$, forse così è più chiaro no?
Nella tua c'è una parte superflua: quando dici che appartiene al prodotto cartesiano $ RRxxRR $ puoi poi evitare di dire che sono entrambi appartenenti a $ RR $, è già indicato! Comunque è ok, questa è la formula generale
Ottimo, grazie Frink.
Se invece ho $E$ d'equivalenza su $A=Pow(NN)$ definita da $XEY iff X e Y$ sono finiti e hanno lo stesso numero di elementi oppure $X e Y$ sono infiniti.
$[\varphi]=\varphi$
$[n]={Y in A : nEY}={Yin A: Y$ ha $n$ elementi $}$ corretto?
Devo ora determinare la classe di equivalenza dei numeri pari, e non ho idee su come calcolarla...
La classe di equivalenza di $p$ numero pari è per caso quella con tutti gli insiemi con $p$ numero di elementi?
Più formalmente $
Se invece ho $E$ d'equivalenza su $A=Pow(NN)$ definita da $XEY iff X e Y$ sono finiti e hanno lo stesso numero di elementi oppure $X e Y$ sono infiniti.
$[\varphi]=\varphi$
$[n]={Y in A : nEY}={Yin A: Y$ ha $n$ elementi $}$ corretto?
Devo ora determinare la classe di equivalenza dei numeri pari, e non ho idee su come calcolarla...
La classe di equivalenza di $p$ numero pari è per caso quella con tutti gli insiemi con $p$ numero di elementi?
Più formalmente $
={YinA: Y$ ha $p$ elementi con $p$ numero pari $}$ per caso?
Non riesco ad aiutarti qui, perché non ho veramente idea di cosa sia $ Pow(NN) $!
Insieme delle parti....Meglio ora?
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