Iniziando con le relazioni di equivalenza
Attualmente sto effettuando il passaggio tra le relazioni d'ordine e le relazioni di equivalenza.
Propongo il seguente esercizio in merito:
Sia $R$ su $A=RR X RR$ definita da $(x,y)R(x',y') iff y=y' $.
Devo dimostrare che $R$ è d'equivalenza, dire quante sono le classi di equivalenza della relazione $R$ su $A$ e trovare un insieme di rappresentanti per queste classi.
Allora:
-Ho dimostrato che è d'equivalenza verificando che $R$ è riflessiva, simmetrica e transitiva.
-Ho problemi a dire quante sono le classi di equivalenza della relazione $R$ su $A$.
Da quello che ho capito le classi di equivalenza in questo caso sono tutte quelle che hanno la seconda coordinata uguale, ad esempio la coppia $(2,3)$ appartiene alla stessa classe di $(7,3)$ ma quindi sono infinite classi di equivalenza...
sto sbagliando qualcosa?
Propongo il seguente esercizio in merito:
Sia $R$ su $A=RR X RR$ definita da $(x,y)R(x',y') iff y=y' $.
Devo dimostrare che $R$ è d'equivalenza, dire quante sono le classi di equivalenza della relazione $R$ su $A$ e trovare un insieme di rappresentanti per queste classi.
Allora:
-Ho dimostrato che è d'equivalenza verificando che $R$ è riflessiva, simmetrica e transitiva.
-Ho problemi a dire quante sono le classi di equivalenza della relazione $R$ su $A$.
Da quello che ho capito le classi di equivalenza in questo caso sono tutte quelle che hanno la seconda coordinata uguale, ad esempio la coppia $(2,3)$ appartiene alla stessa classe di $(7,3)$ ma quindi sono infinite classi di equivalenza...
sto sbagliando qualcosa?
Risposte
Ok! La classe di equivalenza dei numeri pari allora sarà composta dai sottoinsiemi di $ NN $ che hanno lo stesso numero di elementi. Ma quanti elementi ha l'insieme dei pari in $ NN $?
La domanda successiva dell'esercizio infatti chiedeva quante sono le classi di equivalenza di $E$ su $A$---->infinite.
Un insieme dei rappresentanti per tali classi---> $NN$...
correct?
Un insieme dei rappresentanti per tali classi---> $NN$...
correct?
Esatto, infatti ogni classe di equivalenza può essere rappresentata dalla cardinalità dei suoi elementi, che è certamente un numero naturale. L'insieme dei numeri pari è rappresentante di quale classe?
Sempre sulle classi di equivalenza, vorrei averle ben chiare:
Se $E$ è la relazione definita su $RR*={r in RR:r>=0}$ definita da $xEy iff x-y in ZZ$, determinare la classe di equivalenza di $0$e di $1$.
Provo:
$[0]={b in RR*: 0Rb}=NN$
$[1]={b in RR*: 1Rb}=NN$
ma sbaglio o c'è un teorema che dice che due qualunque classi, se distinte, sono anche disgiunte? In questo caso non sono disgiunte, quindi $0E1$.
no?
Se $E$ è la relazione definita su $RR*={r in RR:r>=0}$ definita da $xEy iff x-y in ZZ$, determinare la classe di equivalenza di $0$e di $1$.
Provo:
$[0]={b in RR*: 0Rb}=NN$
$[1]={b in RR*: 1Rb}=NN$
ma sbaglio o c'è un teorema che dice che due qualunque classi, se distinte, sono anche disgiunte? In questo caso non sono disgiunte, quindi $0E1$.
no?
Certo, in generale \([x]=[y]\) se e solo se \(xRy\). In questo caso \(0\) e \(1\) lo sono, per come è definita \(E\).
Ultimissima:
$A=NN$ ed $E$ relazione binaria definita da $nEM iff$ per ogni numero primo $p$ si ha $p|n iff p|m$.
Su questa proprio non saprei nemmeno iniziare.
Nel senso che non saprei fare esempi di elementi in relazione...
$A=NN$ ed $E$ relazione binaria definita da $nEM iff$ per ogni numero primo $p$ si ha $p|n iff p|m$.
Su questa proprio non saprei nemmeno iniziare.
Nel senso che non saprei fare esempi di elementi in relazione...
In ogni caso devo trovare la classe di equivalenza di $2,3,4,0$.
Inizia proprio con gli esempi. Sia $ n=10 $, quali sono i numeri in relazione con $ 10 $? $ 10 $ è divisibile per $ 2 $ e per $ 5 $, perciò...
Si, è vero. $10$ è divisibile per i due numeri primi $2$ e $5$.
Quindi $10E2 ^^ 10E5$. Ma da questo cosa posso concludere?
Cioè, non capisco bene la definizione della relazione, in particolare quel "per ogni primo p si ha che ...."
Spero di essermi spiegato.
Grazie
Quindi $10E2 ^^ 10E5$. Ma da questo cosa posso concludere?
Cioè, non capisco bene la definizione della relazione, in particolare quel "per ogni primo p si ha che ...."
Spero di essermi spiegato.
Grazie
No. La relazione ti indica che tutti i numeri primi che dividono il primo membro della relazione dividono anche il secondo e viceversa. Allora quelli in relazione con 10 potranno essere divisi solo da 2 e 5, ma non solo: è necessario che siano divisi da entrambi. Ad esempio, 25 non sarebbe in relazione con 10, mentre 50 sì. Tecnicamente, sono i numeri della forma $ 2^x*5^y $ quelli in relazione con 10 (con $ x,y!=0 $)
Quindi se non ho capito male:
$[2]={2x:x in N}$ ovvero tutti i numeri pari
$[3]={3x:x in N}$ ovvero tutti i multipli di tre
$[6]={6x:x in N}$ ovvero tutti i multipli di 6
$[0]=\varphi$
potrebbe andare?
$[2]={2x:x in N}$ ovvero tutti i numeri pari
$[3]={3x:x in N}$ ovvero tutti i multipli di tre
$[6]={6x:x in N}$ ovvero tutti i multipli di 6
$[0]=\varphi$
potrebbe andare?
Non esatto perché 30 che è multiplo di 6 è divisibile anche per 5 primo, mentre 6 non lo è.
Se invece ho la relazione di equivalenza $E$ definita su $ZZ$ da $aEb hArr 100 | a-b$, è vero che la relazione ha infinite classi di equivalenza?
Secondo me è vera ma non saprei darne una dimostrazione formale...
Secondo me è vera ma non saprei darne una dimostrazione formale...
Non ti ricorda nulla questa relazione? E' la definizione di...
Classi di resto modulo $n$..?
E se inceve la relazione invece e: $A$ l'insieme delle funzioni $f$ con dominio e codominio $NN$ , la relazione binaria $E$ su $A$ $fEg hArr f(0)-f(1)=g(0)-g(1)$, devo determinare la classe d'equivalenza della funzione $f:NN rarr NN$ definita da $f(n)=n+1$ e descrivere 2 elementi diversi in questa classe.
Allora:
$[f(n)=n+1]|E={g in A: fEg}={g in A : (f(n)=n+1)Eg}={g in A : -1Eg}$, poi?
E comunque non credo sia esatto perchè $-1 notin NN$
Allora:
$[f(n)=n+1]|E={g in A: fEg}={g in A : (f(n)=n+1)Eg}={g in A : -1Eg}$, poi?
E comunque non credo sia esatto perchè $-1 notin NN$
Per quella precedente, credo tu abbia risolto da solo 
Per questa: è sbagliato, sia concettualmente che formalmente, scrivere: $-1Eg$, perché la relazione $E$ è definita tra due funzioni. A noi serve che $f(0)-f(1)=g(0)-g(1)=>g(0)-g(1)=-1$. Per i due elementi, direi che ora non hai grossi problemi...
Per questa: è sbagliato, sia concettualmente che formalmente, scrivere: $-1Eg$, perché la relazione $E$ è definita tra due funzioni. A noi serve che $f(0)-f(1)=g(0)-g(1)=>g(0)-g(1)=-1$. Per i due elementi, direi che ora non hai grossi problemi...
In effetti la considerazione sull'immagine $-1$ è sbagliata perchè può essere che $g(n)=7$ e $g(n')=8$ e $(7,8) in NN$ ma $g(n)-g(n')=-1$ non deve per forza stare in $NN$...
Per gli elementi posso prendere?
$(g(0)=7 ^^ g(1)=8)$ $^^$ $(g(0)=9 ^^ g(1)=10)$ $^^$ $(g(0)=300 ^^ g(1)=301)$
E se poi mi viene chiesto se $X={f:f$ è una funzione costante$}$ è un insieme di rappresentanti? Secondo me no.
Un insieme di rappresentanti secondo me è $NN$.
Sbaglio qualcosa?
$(g(0)=7 ^^ g(1)=8)$ $^^$ $(g(0)=9 ^^ g(1)=10)$ $^^$ $(g(0)=300 ^^ g(1)=301)$
E se poi mi viene chiesto se $X={f:f$ è una funzione costante$}$ è un insieme di rappresentanti? Secondo me no.
Un insieme di rappresentanti secondo me è $NN$.
Sbaglio qualcosa?
La $ X $ è una classe (parziale) perché calcolata ciascuna funzione $ f $ di $ X $ in $0$ e $1$, otterrai che $f(0)-f(1)=0$ e questo per ogni $finX$.
Per la seconda parte: se scegli di eleggere a rappresentante il numero ottenuto dalla differenza, allora sì, $NN$ è il quoziente.
P.S. Se riuscissi a esplicitare le funzioni sarebbe meglio, invece di scriverne i soli valori in $0$ e $1$
Per la seconda parte: se scegli di eleggere a rappresentante il numero ottenuto dalla differenza, allora sì, $NN$ è il quoziente.
P.S. Se riuscissi a esplicitare le funzioni sarebbe meglio, invece di scriverne i soli valori in $0$ e $1$
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