Iniettività e suriettività
Ciao a tutti...
ehm...non linciatemi, ma ho un'altra domanda (sempre x l'esame di mate che ho questo pomeriggio!)
Una volta è capitato il seguente eserizio:
Sia Z l'anello dei numeri interi e f la funzione definita
f: ZxZ -> Z f(x,y) = (x+1)y
discutere iniettività e suriettività di f.
Grazie mille!
Ciao
ehm...non linciatemi, ma ho un'altra domanda (sempre x l'esame di mate che ho questo pomeriggio!)
Una volta è capitato il seguente eserizio:
Sia Z l'anello dei numeri interi e f la funzione definita
f: ZxZ -> Z f(x,y) = (x+1)y
discutere iniettività e suriettività di f.
Grazie mille!
Ciao
Risposte
Se $z \in \mathbb{Z}$, allora $z = ((z-1)+1) \cdot 1$, pertanto la $f$ è suriettiva. Vale $0 = ((-1) + 1) \cdot 1 = (0 + 1) \cdot 0$, pertanto la $f$ non è iniettiva.
"Tipper":
Se $z \in \mathbb{Z}$, allora $z = ((z-1)+1) \cdot 1$, pertanto la $f$ è suriettiva. Vale $0 = ((-1) + 1) \cdot 1 = (0 + 1) \cdot 0$, pertanto la $f$ non è iniettiva.
Grazie!
ma in pratica hai sostituito x con -1 e y con +1?
se sì, devo sempre risolvere così questo tipo di esercizi?
(scusa l'ignoranza, ma mate discreta non è il mio forte)
grazie
In pratica ti ho fatto vedere che lo zero è immagine di due elementi distinti del dominio, pertanto la funzione non può essere iniettiva.
Per dimostrare che una funzione è suriettiva devi far vedere che ogni elemento del dominio è l'immagine di almeno un elemento del dominio. In questo caso ti ho fatto vedere che un generico intero $z$ è l'immagine della coppia $(z-1, 1)$. Per far vedere che una funzione non è suriettiva ti basta trovare un elemento che non è immagine di nessun elemento del dominio; ad esempio se consideri la funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$, è facile far vedere che non è suriettiva, dal momento che $-1 = x^2$ non ha soluzione, i.e. $-1$ appartiene al codominio ma non all'immagine.
Analogamente per mostrare che una funzione $f$ (in $n$ variabili) è iniettiva ti basta mostrare che $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f(y_1, y_2, \ldots, y_n) \implies x_i = y_i$, per $i=1, 2, \ldots, n$. Al contrario per mostrare che una funzione non è iniettiva ti basta far vedere che un elemento del codominio è immagine di due elementi distinti del dominio.
Per quanto riguarda il come risolverli si può approcciare al problema in modi diversi. L'importante è sapere bene quale sono le conclusioni a cui si vuol arrivare.
Per dimostrare che una funzione è suriettiva devi far vedere che ogni elemento del dominio è l'immagine di almeno un elemento del dominio. In questo caso ti ho fatto vedere che un generico intero $z$ è l'immagine della coppia $(z-1, 1)$. Per far vedere che una funzione non è suriettiva ti basta trovare un elemento che non è immagine di nessun elemento del dominio; ad esempio se consideri la funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$, è facile far vedere che non è suriettiva, dal momento che $-1 = x^2$ non ha soluzione, i.e. $-1$ appartiene al codominio ma non all'immagine.
Analogamente per mostrare che una funzione $f$ (in $n$ variabili) è iniettiva ti basta mostrare che $f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f(y_1, y_2, \ldots, y_n) \implies x_i = y_i$, per $i=1, 2, \ldots, n$. Al contrario per mostrare che una funzione non è iniettiva ti basta far vedere che un elemento del codominio è immagine di due elementi distinti del dominio.
Per quanto riguarda il come risolverli si può approcciare al problema in modi diversi. L'importante è sapere bene quale sono le conclusioni a cui si vuol arrivare.
OK! grazie mille x la spiegazione, sei stato gentilissimo!!!!
adesso vado a fare l'esame, speriamo in bene!
Grazie ancora! ciao
adesso vado a fare l'esame, speriamo in bene!
Grazie ancora! ciao
In bocca al lupo! Poi facci sapere com'è andato. 
Ciao!
Purtropppo male; dopo anni di prove abbastanza simili (su cui mi ero esercitato bene) ieri ha cambiato genere all'improvviso....
Più che quiz di matematica sembravano giochi (in cui sono negato)....che ovviamente nessuno sapeva risolvere.
Tanto più che questo prof non ha mai spiegato nulla...
Spero che la prossima prova sia più a portata...
Grazie comunque (sia dell'aiuto sia dell'interessamento)
ciao
Purtropppo male; dopo anni di prove abbastanza simili (su cui mi ero esercitato bene) ieri ha cambiato genere all'improvviso....
Più che quiz di matematica sembravano giochi (in cui sono negato)....che ovviamente nessuno sapeva risolvere.
Tanto più che questo prof non ha mai spiegato nulla...
Spero che la prossima prova sia più a portata...
Grazie comunque (sia dell'aiuto sia dell'interessamento)
ciao
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