Induzione con esponente
Ciao a tutti,
Devo dimostrare usando il principio di induzione che per ogni $n >= 5$ vale $2^n > n^2$.
Tralasciando il caso base, i miei passi sono:
1- $2^(n+1)> (n+1)^2$
2- $2^n*2 > n^2 + 2n +1$
Purtroppo mi sono bloccato qui, come si potrebbe proseguire ?
Grazie.
Devo dimostrare usando il principio di induzione che per ogni $n >= 5$ vale $2^n > n^2$.
Tralasciando il caso base, i miei passi sono:
1- $2^(n+1)> (n+1)^2$
2- $2^n*2 > n^2 + 2n +1$
Purtroppo mi sono bloccato qui, come si potrebbe proseguire ?
Grazie.
Risposte
Vogliamo che sia vero che $2\cdot2^n>n^2+2n+1$. Se è vera questa disuguaglianza ottieni che che deve essere anche $2^n>\frac{n^2}{2}+n+\frac{1}{2}$.
Sai che $2^n>n^2$ per ipotesi induttiva. Se dimostri che $n^2>\frac{n^2}{2}+n+\frac{1}{2} \ \ \ \forall n\ge5$ allora hai che:
$a) \ \ \ 2^n>n^2 \ \ \ \forall n\ge5$
$b) \ \ \ n^2>\frac{n^2}{2}+n+\frac{1}{2} \ \ \ \forall n\ge5$
e concludi per la proprietà transitiva della relazione $>$ che $2^n>\frac{n^2}{2}+n+\frac{1}{2} \ \ \ \forall n\ge5$ che coimplica la tesi.
Sai che $2^n>n^2$ per ipotesi induttiva. Se dimostri che $n^2>\frac{n^2}{2}+n+\frac{1}{2} \ \ \ \forall n\ge5$ allora hai che:
$a) \ \ \ 2^n>n^2 \ \ \ \forall n\ge5$
$b) \ \ \ n^2>\frac{n^2}{2}+n+\frac{1}{2} \ \ \ \forall n\ge5$
e concludi per la proprietà transitiva della relazione $>$ che $2^n>\frac{n^2}{2}+n+\frac{1}{2} \ \ \ \forall n\ge5$ che coimplica la tesi.
Quindi il risultato sarebbe questo: $2^n > -n^2/2+n+1/2$ ? 
Che è vero per ogni $n>= 5$.
Che è vero per ogni $n>= 5$.
ho corretto il mio primo post..scusa se inizialmente ti ho confuso..
Ok ora è tutto più chiaro.
Grazie.
Grazie.
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