Induzione con cogruenza
Salve a tutti ho qualche difficoltà con questa dimostrazione per induzione:
(chiedo scusa se non ho utilizzato il programma per le formule ma ho qualche difficoltà col programma il tempo che mi ci abituo.
(chiedo scusa se non ho utilizzato il programma per le formule ma ho qualche difficoltà col programma il tempo che mi ci abituo.
Risposte
Cos'hai provato a fare?
Per induzione?
Si ha che $7^{n+1}+5\cdot 7^n=7^n(7+5)$.
Se dimostri che $7+5\equiv 0$ modulo $6$, ci sei.
Si ha che $7^{n+1}+5\cdot 7^n=7^n(7+5)$.
Se dimostri che $7+5\equiv 0$ modulo $6$, ci sei.
praticamente nulla e da sta mattina che ci sbatto la testa ho ripensato alla teoria e mi vengono in mente un sacco di proprieà sulle congruenze ma non riesco propio ad applicarle solo che vale il passo base P(n)
"Stickelberger":
Per induzione?
Si ha che $7^{n+1}+5\cdot 7^n=7^n(7+5)$.
Se dimostri che $7+5\equiv 0$ modulo $6$, ci sei.
si ma come si svolge il procedimento?
Cos'è che non ti è chiaro? Che $12$ é divisibile per $6$ ? O raccogliere $7^n$ ?
Sbattendoci ancora un'altro pò la testa sono arrivato a questo
ma non ne sono sicuro cioè so che 84 è divisibile per 7 ma non saprei come procedere
ma non ne sono sicuro cioè so che 84 è divisibile per 7 ma non saprei come procedere
"Congruente a zero modulo $6$" significa che deve essere divisibile per $6$ non per $7$
Non si capisce perché si debba usare l'induzione quando è una congruenza che si dimostra "da sola" cioè direttamente.
Se vuoi esercitarti con il principio di induzione cerca altri esercizi questo è inutile ...
Non si capisce perché si debba usare l'induzione quando è una congruenza che si dimostra "da sola" cioè direttamente.
Se vuoi esercitarti con il principio di induzione cerca altri esercizi questo è inutile ...
la mia prof di algebra mi ha detto che questo è un'esercizio particolare (magari intendeva questo) ad ogni modo, in un esame scritto posso quindi procedere così?:
insieme a questa dispensa di esercizi era presente questo:
4^3n = 1 nella classe di resto di 7 (dimostrarlo per induzione)
"Stickelberger":
Per induzione?
Si ha che $7^{n+1}+5\cdot 7^n=7^n(7+5)$.
Se dimostri che $7+5\equiv 0$ modulo $6$, ci sei.
insieme a questa dispensa di esercizi era presente questo:
4^3n = 1 nella classe di resto di 7 (dimostrarlo per induzione)
Ovviamente la scrittura di Stickelberger è corretta ma non è una dimostrazione per induzione (perché sarebbe inutile … ed anche fuorviante a parer mio), quindi dipende da cosa ti viene espressamente richiesto nel testo dell'esame.
Dovresti poi imparare ad usare le formule, non solo perché è obbligatorio ma anche perché si eviterebbero ambiguità: quella che hai scritto è da intendersi $4^(3n)-=1 (mod 7)$ ?
Dovresti poi imparare ad usare le formule, non solo perché è obbligatorio ma anche perché si eviterebbero ambiguità: quella che hai scritto è da intendersi $4^(3n)-=1 (mod 7)$ ?
nelle dispense c'è scritto così, quindi non saprei
Beh, allora noi nemmeno 
Comunque penso sia così perché è vera e si presta ad essere dimostrata col principio di induzione … provaci ...
Comunque penso sia così perché è vera e si presta ad essere dimostrata col principio di induzione … provaci ...
posso linkare il documento da cui le ho prese?, non vorrei essermi espresso male
comunque sia ho scoperto che quest'ultime non verranno messe nell'esame ma sono comunque curioso di scoprire come si fanno, adesso ci provo per conto mio e posto i risultati.
adesso so che mi ucciderete ahah ma avrei un ultima domanda, dovrei dimostrare per induzione questo:
adesso io so che prima di procedere dobbiamo in un qualche modo far saltare fuori l'ipotesi, dal primo membro (quello con Pn+1)
ma non riesco a "dividere" il primo membro in nessun modo, non c'è qualche proprietà che mi permette di dividere quel 2^√n+1
comunque sia ho scoperto che quest'ultime non verranno messe nell'esame ma sono comunque curioso di scoprire come si fanno, adesso ci provo per conto mio e posto i risultati.
adesso so che mi ucciderete ahah ma avrei un ultima domanda, dovrei dimostrare per induzione questo:
adesso io so che prima di procedere dobbiamo in un qualche modo far saltare fuori l'ipotesi, dal primo membro (quello con Pn+1)
ma non riesco a "dividere" il primo membro in nessun modo, non c'è qualche proprietà che mi permette di dividere quel 2^√n+1
forse e dico forse sono arrivato a qualcosa (per l'ultima che ho scritto intendo)
eccola qui:
non so se ho fatto cose "illegali" matematicamente parlando
P.S mi sono scordato di scrivere sopra che questa è valida solo per n≥2
eccola qui:
non so se ho fatto cose "illegali" matematicamente parlando
P.S mi sono scordato di scrivere sopra che questa è valida solo per n≥2
Mi dispiace che il tuo professore non sa inventarsi esercizi migliori.
Perche’ non e’ molto naturale dimostrare questa disuguaglianza per induzione.
Si osserva che ${(2n)!}/(n!)^2$ e’ il coefficienti binomiale $((2n),(n))$.
Si tratta del coefficiente centrale nel binomio di Newton.
E quindi e' il piu’ grande fra i coefficienti binomiali $((2n),(k))$ per $0\le k\le 2n$.
Abbiamo quindi che $(2n+1)((2n),(n))>\sum_{k=0}^{2n}((2n),(k))=(1+1)^{2n}$.
Si ha quindi che $((2n),(n))>{4^n}/{2n+1}$ per $n\ge 1$.
E questa disuguaglianza implica facilmente la disuguaglianza dell’esercizio.
Basta osservare che
${4^n}/{2n+1}> 2^{sqrt{n}}/{n^2+1}$.
Questo e’ banale, perche’ i numeratori soddisfano $4^n>2^{\sqrt{n}$ mentre
i denominatori soddisfano $2n+1\le n^2+1$, almeno se $n>1$.
Perche’ non e’ molto naturale dimostrare questa disuguaglianza per induzione.
Si osserva che ${(2n)!}/(n!)^2$ e’ il coefficienti binomiale $((2n),(n))$.
Si tratta del coefficiente centrale nel binomio di Newton.
E quindi e' il piu’ grande fra i coefficienti binomiali $((2n),(k))$ per $0\le k\le 2n$.
Abbiamo quindi che $(2n+1)((2n),(n))>\sum_{k=0}^{2n}((2n),(k))=(1+1)^{2n}$.
Si ha quindi che $((2n),(n))>{4^n}/{2n+1}$ per $n\ge 1$.
E questa disuguaglianza implica facilmente la disuguaglianza dell’esercizio.
Basta osservare che
${4^n}/{2n+1}> 2^{sqrt{n}}/{n^2+1}$.
Questo e’ banale, perche’ i numeratori soddisfano $4^n>2^{\sqrt{n}$ mentre
i denominatori soddisfano $2n+1\le n^2+1$, almeno se $n>1$.
"Stickelberger":
Mi dispiace che il tuo professore non sa inventarsi esercizi migliori.
Perche’ non e’ molto naturale dimostrare questa disuguaglianza per induzione.
Si osserva che ${(2n)!}/(n!)^2$ e’ il coefficienti binomiale $((2n),(n))$.
Si tratta del coefficiente centrale nel binomio di Newton.
E quindi e' il piu’ grande fra i coefficienti binomiali $((2n),(k))$ per $0\le k\le 2n$.
Abbiamo quindi che $(2n+1)((2n),(n))>\sum_{k=0}^{2n}((2n),(k))=(1+1)^{2n}$.
Si ha quindi che $((2n),(n))>{4^n}/{2n+1}$ per $n\ge 1$.
E questa disuguaglianza implica facilmente la disuguaglianza dell’esercizio.
Basta osservare che
${4^n}/{2n+1}> 2^{sqrt{n}}/{n^2+1}$.
Questo e’ banale, perche’ i numeratori soddisfano $4^n>2^{\sqrt{n}$ mentre
i denominatori soddisfano $2n+1\le n^2+1$, almeno se $n>1$.
buonasera, prima di tutto grazie della risposta potrebbe rispiegarmi il passaggio qui sotto?:
Abbiamo quindi che (2n+1)(2nn)>∑k=02n(2nk)=(1+1)2n.
Si ha quindi che (2nn)>4n2n+1 per n≥1.
E questa disuguaglianza implica facilmente la disuguaglianza dell’esercizio.
Basta osservare che
4n2n+1>2n√n2+1.
Purtroppo ho esame la prossima settima e non riesco in quest'ultimi e vedendo gli esami passati queste purtroppo ci sono
P.S comunque abbiamo utilizzato il binomio di Newton per il calcolo combinatorio ma non abbiamo mai fatto esercizi per induzione con quest'ultimo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo