Induzione
Dimostrare che per ogni numero naturale n si ha :
$2^(2n) >=n^2+1
Base Dell'induzione
$2^(2(0)) >=0^2+1$ $=>$ $1>=1$ risulta essere vera per n=0
Supponiamo di sapere che la proprietà valga per $n>=0
Ipotesi Induttiva
$2^(2n) >=n^2+1
Adesso Dimostriamo che la proprietà vale per n+1
$2^(2(n+1)) >=(n+1)^2+1........................2^(2n+2)>=n^2+2n+2 ...................=> TESI
Ora si tratta di dedurre dall'ipotesi [ $2^(2n) >=n^2+1$] la tesi[$2^(2n+2)>=n^2+2n+2$]
Dimostriamo che
$2^(2(n+1)) >=(n+1)^2+1$
$4*2^n >=*4(n+1)^2+1$
$4n^2+8n+8>=n^2+2n+2 =>$cioè la tesi
Ragazzi potreste dirmi gentilmente se è giusto?
Se è possibile magari darmi delle dritte dove occorre grazie sempre per la vosta disponibilità
$2^(2n) >=n^2+1
Base Dell'induzione
$2^(2(0)) >=0^2+1$ $=>$ $1>=1$ risulta essere vera per n=0
Supponiamo di sapere che la proprietà valga per $n>=0
Ipotesi Induttiva
$2^(2n) >=n^2+1
Adesso Dimostriamo che la proprietà vale per n+1
$2^(2(n+1)) >=(n+1)^2+1........................2^(2n+2)>=n^2+2n+2 ...................=> TESI
Ora si tratta di dedurre dall'ipotesi [ $2^(2n) >=n^2+1$] la tesi[$2^(2n+2)>=n^2+2n+2$]
Dimostriamo che
$2^(2(n+1)) >=(n+1)^2+1$
$4*2^n >=*4(n+1)^2+1$
$4n^2+8n+8>=n^2+2n+2 =>$cioè la tesi
Ragazzi potreste dirmi gentilmente se è giusto?
Se è possibile magari darmi delle dritte dove occorre grazie sempre per la vosta disponibilità
Risposte
così si capisce che cosa intendevi, ed anche che è giusta l'osservazione di Martino: devi dimostrare l'ultima disuguaglianza.
prova ad aggiungere $-8n$ ad entrambi i membri, e facci sapere. ciao.
prova ad aggiungere $-8n$ ad entrambi i membri, e facci sapere. ciao.
"adaBTTLS":Non riesco a capire dove prendi il $-8n
così si capisce che cosa intendevi, ed anche che è giusta l'osservazione di Martino: devi dimostrare l'ultima disuguaglianza.
prova ad aggiungere $-8n$ ad entrambi i membri, e facci sapere. ciao.
prova a vedere che (4n²+4)-(n²+2n+2)=3n²-2n+2 è positivo (non bisogna usare induzione, basta inserire -2n in un quadrato e vedere che quello che rimane è positivo...)
"a_g_t":
prova a vedere che (4n²+4)-(n²+2n+2)=3n²-2n+2 è positivo (non bisogna usare induzione, basta inserire -2n in un quadrato e vedere che quello che rimane è positivo...)
Scusami mi sono perso non risco a capire. Potresti essere più preciso?
3n²-2n+2=2n²+(n²-2n+1)+1=2n²+(n-1)²+1, è chiaro che è positivo, giusto?
$2^(2(n+1))=4*2^(2n) >=4(n^2+1)=4n^2+4>=n^2+2n+2
adesso nell'ultima diseguaglianza porto tutto al primo membro
$ 4n^2+4-(n^2+2n+2)>=0
è continuo con i tuoi passaggi logici? Dopo aver fatto questo ho finito giusto?
Grazie per la tua grande disponibilità
adesso nell'ultima diseguaglianza porto tutto al primo membro
$ 4n^2+4-(n^2+2n+2)>=0
è continuo con i tuoi passaggi logici? Dopo aver fatto questo ho finito giusto?
Grazie per la tua grande disponibilità
"Martino":Sì, adesso è scritto bene, ma non hai giustificato la disuguaglianza $4n^2+4>=n^2+2n+2$. Finché non la dimostri il tuo svolgimento rimane incompleto.[/quote]Martino , potresti essere pù preciso cioè attraverso dei passaggi logici arrivo $4n^2+4>=n^2+2n+2
[quote="Gladior"]$2^(2(n+1))=4*2^(2n) >=4(n^2+1)=4n^2+4>=n^2+2n+2 =>$cioè la tesi
Non riesco neanche a capire i suggerimenti che mi danno gli altri cioè da dove lo prende -8n oppure il -2n sostituito al quadrato. Vediamo devo fare qualcosa che trasformi primo membro uguale al secondo più una quantità cioè $ 4n^2+4=(n^2+2n+2)+(qualcosa)? Giusto.
Potresti darmi gentilmente qualche indicazione............
Devi dimostrare la disuguaglianza $4n^2+4>=n^2+2n+2$. Questo è equivalente a dimostrare che $3n^2-2n+2 ge 0$ (non ho fatto altro che portare tutto a sinistra!). Ok?
Quindi devi dimostrare che $3n^2-2n+2 ge 0$. Seguendo il consiglio di a_g_t, scrivi $3n^2-2n+2$ come $(n^2-2n+1)+2n^2+1$ e osserva che $n^2-2n+1=(n-1)^2$. Segue che $3n^2-2n+2 = (n-1)^2+2n^2+1$.
Hai ottenuto che devi dimostrare che $(n-1)^2+2n^2+1 ge 0$. Ma una somma di cose $ge 0$ è per forza $ge 0$. Finito.
Prova a rileggere tutti gli interventi dall'inizio.
Quindi devi dimostrare che $3n^2-2n+2 ge 0$. Seguendo il consiglio di a_g_t, scrivi $3n^2-2n+2$ come $(n^2-2n+1)+2n^2+1$ e osserva che $n^2-2n+1=(n-1)^2$. Segue che $3n^2-2n+2 = (n-1)^2+2n^2+1$.
Hai ottenuto che devi dimostrare che $(n-1)^2+2n^2+1 ge 0$. Ma una somma di cose $ge 0$ è per forza $ge 0$. Finito.
Prova a rileggere tutti gli interventi dall'inizio.
Vediamo se ho capito
Provo ad eseguire un'altro esercizio
riporto direttamente i passaggi salienti
Allora
ES$2^n>2n+1
Base:$ n>=3 ==>2^3>2*3+1 ==> 8>7
Provare :2^(n+1)>2(n+1)+1
$2^(n+1)=2*2^n>2*(2n+1)=4n+4=(4n+3)+1>4n+3
Così Può andare?
Grazie Martino per la tua disponibilità
Provo ad eseguire un'altro esercizio
riporto direttamente i passaggi salienti
Allora
ES$2^n>2n+1
Base:$ n>=3 ==>2^3>2*3+1 ==> 8>7
Provare :2^(n+1)>2(n+1)+1
$2^(n+1)=2*2^n>2*(2n+1)=4n+4=(4n+3)+1>4n+3
Così Può andare?
Grazie Martino per la tua disponibilità
"Gladior":No. $2*(2n+1)$ fa $4n+2$, non $4n+4$.
ES$2^n>2n+1
Base:$ n>=3 ==>2^3>2*3+1 ==> 8>7
Provare :2^(n+1)>2(n+1)+1
$2^(n+1)=2*2^n>2*(2n+1)=4n+4=(4n+3)+1>4n+3
Così Può andare?
Quello che devi dimostrare è che $2^{n+1}>2(n+1)+1$, ovvero $2^{n+1}>2n+3$. Ok?
Quindi scrivi $2^{n+1} = 2*2^n > 2*(2n+1) = 4n+2$ e adesso cerchi di dimostrare che $4n+2 ge 2n+3$.
No. 2(2n+1)=4n+2, non 4n+4.
Ma 4n+2>2n+3 (2n-1>0 per n naturale)
Ma 4n+2>2n+3 (2n-1>0 per n naturale)
Devi dimostrare la disuguaglianza $4n^2+4>=n^2+2n+2$. Questo è equivalente a dimostrare che $3n^2-2n+2 ge 0$ (non ho fatto altro che portare tutto a sinistra!). Ok?
Quindi devi dimostrare che $3n^2-2n+2 ge 0$. Seguendo il consiglio di a_g_t, scrivi $3n^2-2n+2$ come $(n^2-2n+1)+2n^2+1$ e osserva che $n^2-2n+1=(n-1)^2$. Segue che $3n^2-2n+2 = (n-1)^2+2n^2+1$.
Hai ottenuto che devi dimostrare che $(n-1)^2+2n^2+1 ge 0$. Ma una somma di cose $ge 0$ è per forza $ge 0$. Finito.
Una cosa soltanto il fatto che tu porti tutto al primo membro è perchè la base induttiva è dimostrata per n>=0 e quindi di conseguenza si esegue come una semplice disuguaglianza, perchè negli esercizi che ho avuto modo di vedere , si fermavano sempre al punto dove sono stato contestato cioè guarda [url=http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:HDPiIjkel78J:www.mat.unimi.it/users/massa/eserind.pdf+induzione+matematica+esercizi&hl=it&gl=it&pid=bl&srcid=ADGEESioo67UM227iuAGPbPWo0YEJCdUbZo_GrB65kyrAu78qTpNBUbf7kWTAX9xumvK0hguijH-Xc3N1V4RtvtuQZhb65VkRUyW6hCDqk-XLIUUnmiEAlorh09a4xiCjqufapXbWt2l&sig=AHIEtbQuU-3mrrJce7UBHrBwb_LBfwi3ZA]questo link[/url].
"Martino":No. $2*(2n+1)$ fa $4n+2$, non $4n+4$.
[quote="Gladior"]ES$2^n>2n+1
Base:$ n>=3 ==>2^3>2*3+1 ==> 8>7
Provare :2^(n+1)>2(n+1)+1
$2^(n+1)=2*2^n>2*(2n+1)=4n+4=(4n+3)+1>4n+3
Così Può andare?
Quello che devi dimostrare è che $2^{n+1}>2(n+1)+1$, ovvero $2^{n+1}>2n+3$. Ok?
Quindi scrivi $2^{n+1} = 2*2^n > 2*(2n+1) = 4n+2$ e adesso cerchi di dimostrare che $4n+2 ge 2n+3$.[/quote]
Quando arrivo in quel punto devo dimostrare l'ultima disuguaglianza in queso modo
$4n+2 ge 2n+3$
porto tutto al primo membro
$ 2n-1>0 giusto
"Gladior":Non riesco a capire cosa vuoi dire. Arrivi a un punto in cui ti basta dimostrare una certa disuguaglianza, e la dimostri. Fine. Indipendentemente dal fatto che la tua dimostrazione era per induzione. E' ben noto che una disuguaglianza del tipo $A ge B$ è equivalente alla disuguaglianza $A-B ge 0$.
Una cosa soltanto il fatto che tu porti tutto al primo membro è perchè la base induttiva è dimostrata per n>=0 e quindi di conseguenza si esegue come una semplice disuguaglianza
"Martino":Non riesco a capire cosa vuoi dire. Arrivi a un punto in cui ti basta dimostrare una certa disuguaglianza, e la dimostri. Fine. Indipendentemente dal fatto che la tua dimostrazione era per induzione. E' ben noto che una disuguaglianza del tipo $A ge B$ è equivalente alla disuguaglianza $A-B ge 0$.[/quote]Grazie sei mitico mi hai fatto capire ciò che mi ero ostinato a non capire, 4>3, 1>0 quindi è verificata il contarrio 3>4 , -1>0 perchè ti faccio questi esempi perchè arrivavo alla fine dell'induzione solo che seguendo gli appunti di quel link non riuscivo a capire quello che dicevi(perchè gli appunti davano per scontato che la disugluaglianza era verificata), adesso ho capito una volta che giungo al solito punto per correttezza dimostro che effettivamente la disugluaglianza è verificata.
[quote="Gladior"]Una cosa soltanto il fatto che tu porti tutto al primo membro è perchè la base induttiva è dimostrata per n>=0 e quindi di conseguenza si esegue come una semplice disuguaglianza
Posto quest'altro esercizio per verificare se effettivamente ho capito il meccanismo
Verificare che per ogni numero naturale $n>=1$ vale
$2^n>=(n+2)/(n+1)$
BASE DELL 'INDUZIONE
Falsa per $n=0
$2^1>=(1+2)/(1+1)$............................ $2>=3/2$...................Vera............$n=1
Supponimo di sapere che la proprietà valga per $n>=1
IPOTESI INDUTTIVA
$2^n>=(n+2)/(n+1)
Dimostriamo che la proprietà vale per $n+1$....... cioè per la successiva
$2^(n+1)>=((n+1)+2)/((n+1)+1)$.....................$2^(n+1)>=(n+3)/(n+2)$.....................
Ora si tratta di dedurre dall'ipotesi [$2^n>=(n+2)/(n+1)$] la tesi[$2^(n+1)>=(n+3)/(n+2)$].
Dimostrazione
$2^(n+1)=2*2^n>=2*(n+2)/(n+1)=(2n+4)/(n+1)>=(n+3)/(n+2)
infatti
$(2n+4)/(n+1)>=(n+3)/(n+2)$.....................$(2n+4)/(n+1)-(n+3)/(n+2)>=0$..............................$ (((2n+4)*(n+2))-((n+3)*(n+1)))/((n+1)(n+2))>=0$
dopo aver fatto i conti ottengo
$(n^2+4n+5)/((n+1)(n+2))>=0
Si vede subito che la quantita sarà positiva. Un valore positivo diviso un valore postivo restituisce sicuramente una quantita che è $>=0
Vi prego ragazzi ditemi se è corretto ...
Verificare che per ogni numero naturale $n>=1$ vale
$2^n>=(n+2)/(n+1)$
BASE DELL 'INDUZIONE
Falsa per $n=0
$2^1>=(1+2)/(1+1)$............................ $2>=3/2$...................Vera............$n=1
Supponimo di sapere che la proprietà valga per $n>=1
IPOTESI INDUTTIVA
$2^n>=(n+2)/(n+1)
Dimostriamo che la proprietà vale per $n+1$....... cioè per la successiva
$2^(n+1)>=((n+1)+2)/((n+1)+1)$.....................$2^(n+1)>=(n+3)/(n+2)$.....................
Ora si tratta di dedurre dall'ipotesi [$2^n>=(n+2)/(n+1)$] la tesi[$2^(n+1)>=(n+3)/(n+2)$].
Dimostrazione
$2^(n+1)=2*2^n>=2*(n+2)/(n+1)=(2n+4)/(n+1)>=(n+3)/(n+2)
infatti
$(2n+4)/(n+1)>=(n+3)/(n+2)$.....................$(2n+4)/(n+1)-(n+3)/(n+2)>=0$..............................$ (((2n+4)*(n+2))-((n+3)*(n+1)))/((n+1)(n+2))>=0$
dopo aver fatto i conti ottengo
$(n^2+4n+5)/((n+1)(n+2))>=0
Si vede subito che la quantita sarà positiva. Un valore positivo diviso un valore postivo restituisce sicuramente una quantita che è $>=0
Vi prego ragazzi ditemi se è corretto ...
Sì mi sembra ok!
"Martino":
Sì mi sembra ok!
Ti ringrazio di aver risposto in maniere tempestiva.
Voglio elogiarti per la cura che ti prendi di questo forum e sopratutto delle persone come me , che più volte si sono trovate in difficoltà. Grazie mille sei mitico
"Gladior":Ok grazie
Voglio elogiarti per la cura che ti prendi di questo forum e sopratutto delle persone come me , che più volte si sono trovate in difficoltà. Grazie mille sei mitico
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