Induzione
Dimostrare che per ogni numero naturale n si ha :
$2^(2n) >=n^2+1
Base Dell'induzione
$2^(2(0)) >=0^2+1$ $=>$ $1>=1$ risulta essere vera per n=0
Supponiamo di sapere che la proprietà valga per $n>=0
Ipotesi Induttiva
$2^(2n) >=n^2+1
Adesso Dimostriamo che la proprietà vale per n+1
$2^(2(n+1)) >=(n+1)^2+1........................2^(2n+2)>=n^2+2n+2 ...................=> TESI
Ora si tratta di dedurre dall'ipotesi [ $2^(2n) >=n^2+1$] la tesi[$2^(2n+2)>=n^2+2n+2$]
Dimostriamo che
$2^(2(n+1)) >=(n+1)^2+1$
$4*2^n >=*4(n+1)^2+1$
$4n^2+8n+8>=n^2+2n+2 =>$cioè la tesi
Ragazzi potreste dirmi gentilmente se è giusto?
Se è possibile magari darmi delle dritte dove occorre grazie sempre per la vosta disponibilità
$2^(2n) >=n^2+1
Base Dell'induzione
$2^(2(0)) >=0^2+1$ $=>$ $1>=1$ risulta essere vera per n=0
Supponiamo di sapere che la proprietà valga per $n>=0
Ipotesi Induttiva
$2^(2n) >=n^2+1
Adesso Dimostriamo che la proprietà vale per n+1
$2^(2(n+1)) >=(n+1)^2+1........................2^(2n+2)>=n^2+2n+2 ...................=> TESI
Ora si tratta di dedurre dall'ipotesi [ $2^(2n) >=n^2+1$] la tesi[$2^(2n+2)>=n^2+2n+2$]
Dimostriamo che
$2^(2(n+1)) >=(n+1)^2+1$
$4*2^n >=*4(n+1)^2+1$
$4n^2+8n+8>=n^2+2n+2 =>$cioè la tesi
Ragazzi potreste dirmi gentilmente se è giusto?
Se è possibile magari darmi delle dritte dove occorre grazie sempre per la vosta disponibilità
Risposte
"Gladior":
Dimostriamo che
$2^(2(n+1)) >=(n+1)^2+1$
$4*2^n >=*4(n+1)^2+1$
$4n^2+8n+8>=n^2+2n+2 =>$cioè la tesi
Sinceramente mi sono perso qui... dov'è che applichi l'ipotesi induttiva?
Cioè un volta dimostrato che vale per n=0 assumiamo $2^(2n)>=n^2+1$ è ver per n>=0 questa è quella che viene chiamata ipotesi induttiva.
adesso prendiamo il successivo del primo membro cioè
$2^(2(n+1))$ in teoria è qui dove mi confondo cioè non riesco a capire come si trova il successivo del primo membro per poi moltiplicarlo con il secndo
ad esempio
$2^n$ il successivo è $2^(n+1)=2*2^n
adesso prendiamo il successivo del primo membro cioè
$2^(2(n+1))$ in teoria è qui dove mi confondo cioè non riesco a capire come si trova il successivo del primo membro per poi moltiplicarlo con il secndo
ad esempio
$2^n$ il successivo è $2^(n+1)=2*2^n
"Gladior":
Dimostrare che per ogni numero naturale n si ha :
Dimostriamo che
$2^(2(n+1)) >=(n+1)^2+1$
$4*2^n >=*4(n+1)^2+1$
$4n^2+8n+8>=n^2+2n+2 =>$cioè la tesi
osserva che i lsecondo rigo è sbagliato:
quello corretto è
$4*2^(2n)>=(n+1)^2+1
"mistake89":
[quote="Gladior"]Dimostrare che per ogni numero naturale n si ha :
Dimostriamo che
$2^(2(n+1)) >=(n+1)^2+1$
$4*2^n >=*4(n+1)^2+1$
$4n^2+8n+8>=n^2+2n+2 =>$cioè la tesi
osserva che i lsecondo rigo è sbagliato:
quello corretto è
$4*2^(2n)>=(n+1)^2+1[/quote]
Ma nemmeno... quello che può dire dall'ipotesi induttiva è [tex]4\cdot2^{2n} \geq 4\cdot(n^2 +1)[/tex]
Mistake89 posso chiederti una gentilezza come fai a capire che il successivo è $4*2^(2n)>=(n+1)^2+1.
Ad esempio $2^n$ il successivo è $2^(n+1)=2*2^n$ giusto?
adesso tu hai scritto
$4*2^(2n)>=(n+1)^2+1$ non riesco capire il pasaggio che hai svolto al primo membro
Vediamo se ho capito, facciamo finta che invece sia
$2^(3n)>= n^2+1
otteniamo
$6*2^(3n)>=(n+1)^2+1$ giusto?
Ad esempio $2^n$ il successivo è $2^(n+1)=2*2^n$ giusto?
adesso tu hai scritto
$4*2^(2n)>=(n+1)^2+1$ non riesco capire il pasaggio che hai svolto al primo membro
Vediamo se ho capito, facciamo finta che invece sia
$2^(3n)>= n^2+1
otteniamo
$6*2^(3n)>=(n+1)^2+1$ giusto?
Posso consigliare di iniziare a correggere l'italiano utilizzato? Non so perché, ma ho sempre avuto l'impressione che il primo passo per risolvere un problema consista nell'avere una buona comunicazione.
"WiZaRd":hai perfettamente ragione, provo a correggere
Posso consigliare di iniziare a correggere l'italiano utilizzato? Non so perché, ma ho sempre avuto l'impressione che il primo passo per risolvere un problema consista nell'avere una buona comunicazione.
"Gladior":
Vediamo se ho capito, facciamo finta che invece sia
$2^(3n)>= n^2+1
otteniamo
$6*2^(3n)>=(n+1)^2+1$ giusto?
No.
[tex]x \geq y \rightarrow kx \geq ky[/tex] (se [tex]k > 0[/tex]).
Nel tuo esempio, [tex]2^{3n}\geq n^2+1 \rightarrow 6\cdot2^{3n} \geq 6(n^2 +1)[/tex]
"Gatto89":
[quote="Gladior"]
Vediamo se ho capito, facciamo finta che invece sia
$2^(3n)>= n^2+1
otteniamo
$6*2^(3n)>=(n+1)^2+1$ giusto?
No.
[tex]x \geq y \rightarrow kx \geq ky[/tex] (se [tex]k > 0[/tex]).
Nel tuo esempio, [tex]2^{3n}\geq n^2+1 \rightarrow 6\cdot2^{3n} \geq 6(n^2 +1)[/tex][/quote]
allora è giusto $2^(3n)=6*2^n$ è questo il mio dubbio
cmq ho capito quello che vuoi dire
cioè trovo il successivo del primo membro e lo moltiplico per il secondo .
"Gatto89":
[quote="mistake89"][quote="Gladior"]Dimostrare che per ogni numero naturale n si ha :
Dimostriamo che
$2^(2(n+1)) >=(n+1)^2+1$
$4*2^n >=*4(n+1)^2+1$
$4n^2+8n+8>=n^2+2n+2 =>$cioè la tesi
osserva che i lsecondo rigo è sbagliato:
quello corretto è
$4*2^(2n)>=(n+1)^2+1[/quote]
Ma nemmeno... quello che può dire dall'ipotesi induttiva è [tex]4\cdot2^{2n} \geq 4\cdot(n^2 +1)[/tex][/quote]
Scusami perchè scrivi questo secondo me sono entrambi sbagliati
dovrebbe essere
$4*2^(2n)>=4(n+1)^2+4
Riporto qui tutto l'esercizio , credo di aver capito le dritte che mi ha dato Gatto89
Dimostrare che per ogni numero naturale n si ha :
$2^(2n) >=n^2+1
Base Dell'induzione
$2^(2(0)) >=0^2+1$ $=>$ $1>=1$ risulta essere vera per n=0
Supponiamo di sapere che la proprietà valga per $n>=0
Ipotesi Induttiva
$2^(2n) >=n^2+1
Adesso Dimostriamo che la proprietà vale per n+1
$2^(2(n+1)) >=(n+1)^2+1........................2^(2n+2)>=n^2+2n+2 ...................=> TESI
Ora si tratta di dedurre dall'ipotesi [ $2^(2n) >=n^2+1$] la tesi[$2^(2n+2)>=n^2+2n+2$]
Dimostriamo che
$2^(2(n+1)) >=n^2+1$
$4*2^n >=4(n^2+1)$
$ 4n^2+4>=n^2+2n+2 =>$cioè la tesi
Ragazzi potreste dirmi gentilmente se è giusto?
Se è possibile magari darmi delle dritte dove occorre grazie sempre per la vostra disponibilità
Dimostrare che per ogni numero naturale n si ha :
$2^(2n) >=n^2+1
Base Dell'induzione
$2^(2(0)) >=0^2+1$ $=>$ $1>=1$ risulta essere vera per n=0
Supponiamo di sapere che la proprietà valga per $n>=0
Ipotesi Induttiva
$2^(2n) >=n^2+1
Adesso Dimostriamo che la proprietà vale per n+1
$2^(2(n+1)) >=(n+1)^2+1........................2^(2n+2)>=n^2+2n+2 ...................=> TESI
Ora si tratta di dedurre dall'ipotesi [ $2^(2n) >=n^2+1$] la tesi[$2^(2n+2)>=n^2+2n+2$]
Dimostriamo che
$2^(2(n+1)) >=n^2+1$
$4*2^n >=4(n^2+1)$
$ 4n^2+4>=n^2+2n+2 =>$cioè la tesi
Ragazzi potreste dirmi gentilmente se è giusto?
Se è possibile magari darmi delle dritte dove occorre grazie sempre per la vostra disponibilità
Qualcuno gentilmente può confermare se l'esercizio è stato svolto in maniera corretta...........
Grazie mille
Grazie mille
"Gladior":Rimarrebbe da giustificare questa disuguaglianza...
$4n^2+4>=n^2+2n+2$
"Martino":Rimarrebbe da giustificare questa disuguaglianza...[/quote]In che senso?
[quote="Gladior"]$4n^2+4>=n^2+2n+2$
Nel senso che l'hai data per buona senza dimostrarla.
"Gladior":
$4n^2+4>=n^2+2n+2$
infatti se noi sostituiamo alla "n=0"
ad esempio
$4*0^2+4>=0^2+2*0+2$......................otteniamo.....................$4>=2$ che risulta essere vera per tutti $n>=0
posso dimostrarla in questo modo?
"Gladior":
[quote="Gladior"]$4n^2+4>=n^2+2n+2$
infatti se noi sostituiamo alla "n=0"
ad esempio
$4*0^2+4>=0^2+2*0+2$......................otteniamo.....................$4>=2$ che risulta essere vera per tutti $n>=0
posso dimostrarla in questo modo?[/quote]No. Tu così l'hai dimostrato solo per $n=0$, non per ogni $n$.
"Gladior":Comunque qui non si capisce bene cosa stai facendo... Io ho dato una mia interpretazione ma potrei aver seguito più il mio ragionamento che il tuo... potresti essere più chiaro?
Ora si tratta di dedurre dall'ipotesi [ $2^(2n) >=n^2+1$] la tesi[$2^(2n+2)>=n^2+2n+2$]
Dimostriamo che
$2^(2(n+1)) >=n^2+1$
$4*2^n >=4(n^2+1)$
$ 4n^2+4>=n^2+2n+2 =>$cioè la tesi
Il testo dell'esercizio è il seguente
Dimostrare che per ogni numero naturale n si ha :
$2^(2n) >=n^2+1
Base Dell'induzione
$2^(2(0)) >=0^2+1$ $=>$ $1>=1$ risulta essere vera per n=0
Supponiamo di sapere che la proprietà valga per $n>=0
Ipotesi Induttiva
$2^(2n) >=n^2+1
Adesso Dimostriamo che la proprietà vale per n+1
$2^(2(n+1)) >=(n+1)^2+1........................2^(2n+2)>=n^2+2n+2 ...................=> TESI
Ora si tratta di dedurre dall'ipotesi [ $2^(2n) >=n^2+1$] la tesi[$2^(2n+2)>=n^2+2n+2$]
$2^(2(n+1))=4*2^(2n) >=4(n^2+1)=4n^2+4>=n^2+2n+2 =>$cioè la tesi
Mi sa che sono stato più confusionario di prima, speriamo bene...
Non saprei come impostarlo meglio...........
Dimostrare che per ogni numero naturale n si ha :
$2^(2n) >=n^2+1
Base Dell'induzione
$2^(2(0)) >=0^2+1$ $=>$ $1>=1$ risulta essere vera per n=0
Supponiamo di sapere che la proprietà valga per $n>=0
Ipotesi Induttiva
$2^(2n) >=n^2+1
Adesso Dimostriamo che la proprietà vale per n+1
$2^(2(n+1)) >=(n+1)^2+1........................2^(2n+2)>=n^2+2n+2 ...................=> TESI
Ora si tratta di dedurre dall'ipotesi [ $2^(2n) >=n^2+1$] la tesi[$2^(2n+2)>=n^2+2n+2$]
$2^(2(n+1))=4*2^(2n) >=4(n^2+1)=4n^2+4>=n^2+2n+2 =>$cioè la tesi
Mi sa che sono stato più confusionario di prima, speriamo bene...
Non saprei come impostarlo meglio...........
"Gladior":Sì, adesso è scritto bene, ma non hai giustificato la disuguaglianza $4n^2+4>=n^2+2n+2$. Finché non la dimostri il tuo svolgimento rimane incompleto.
$2^(2(n+1))=4*2^(2n) >=4(n^2+1)=4n^2+4>=n^2+2n+2 =>$cioè la tesi
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