Induzione

[gladior-votailprof]

Dimostare che , per ogni n>=0 , risulta 2^n^2>= n^2+1

In questo esercizio c'è qualcosa che non va a mio avviso c' qualcuno che è in grado di risolverlo e magari commentarlo?

Grazie anticipatamente per la vostra disponibilità...

[adaBTTLS1]

Caz..........ILLUMINAZIONE
Adesso ho capito il tuo suggerimento cioè è inutile tenere il quadrato posso trattarlo semplicemente $2^n ge n+1$ per ogni $n ge 0$ Quindi prova la base induttiva cioè
P(0)
quindi:
$2^0 ge 0+1$ cioè $1=1$ quindi ho P(0) è vera
adesso passo a P(n+1)
cioè:
L'ipotesi induttiva: l'ipotesi induttiva è $2^n>=n+1$
$2^{n+1} ge (n+1)+1$ non è questa l'ipotesi induttiva ma è quello che devi dimostrare
quindi:
$2*2^n ge n+1$ questo passaggio non è corretto
Moltiplico per due il secondo membro ottengo:
$2^{n+1}=2*2^n ge 2*(n+1)=2n+2$$>=$$n+2$ questo è giusto, ma proviamo a riscriverlo meglio con l'ipotesi induttiva
Mi auguro che qualcuno possa dirmi se questo svolgimento possa andare grazie per la vostra disponibilità................

$2^(n+1)=2*2^n>=2*(n+1)=2n+2=((n+1)+1)+n>=(n+1)+1$ (la prima disuguaglianza è valida per l'ipotesi induttiva, l'ultima perché $n>=0$)
spero ora sia chiaro. è molto più semplice di come ti stavo suggerendo.
a questo punto devi concludere che vale anche per i numeri naturali quadrati perfetti, e dunque la tesi.
ciao.

[gladior-votailprof]

Quindi è giusto il procedimento che ho utilizzato vero?

[gladior-votailprof]

"adaBTTLS":

Caz..........ILLUMINAZIONE
Adesso ho capito il tuo suggerimento cioè è inutile tenere il quadrato posso trattarlo semplicemente $2^n ge n+1$ per ogni $n ge 0$ Quindi prova la base induttiva cioè
P(0)
quindi:
$2^0 ge 0+1$ cioè $1=1$ quindi ho P(0) è vera
adesso passo a P(n+1)
cioè:
L'ipotesi induttiva: l'ipotesi induttiva è $2^n>=n+1$
$2^{n+1} ge (n+1)+1$ non è questa l'ipotesi induttiva ma è quello che devi dimostrare
quindi:
$2*2^n ge n+1$ questo passaggio non è corretto (questo punto devo ometterlo quindi)?
Moltiplico per due il secondo membro ottengo:
$2^{n+1}=2*2^n ge 2*(n+1)=2n+2$$>=$$n+2$ questo è giusto, ma proviamo a riscriverlo meglio con l'ipotesi induttiva
Mi auguro che qualcuno possa dirmi se questo svolgimento possa andare grazie per la vostra disponibilità................

$2^(n+1)=2*2^n>=2*(n+1)=2n+2=((n+1)+1)+n>=(n+1)+1$ (la prima disuguaglianza è valida per l'ipotesi induttiva, l'ultima perché $n>=0$)
spero ora sia chiaro. è molto più semplice di come ti stavo suggerendo.
a questo punto devi concludere che vale anche per i numeri naturali quadrati perfetti, e dunque la tesi.
ciao.

quel passaggio devo ometterlo? quello dove dici che non è corretto?

[adaBTTLS1]

$2*2^n>=n+1$ è Vero, ma non ti permette di concludere quello che ti serve. d'altronde tu devi concludere che $2*2^n>=n+2$...
se fosse $2*2^n=n+1$, la verità della prima disuguaglianza non implicherebbe la verità della seconda (quella che devi dimostrare).
spero di aver chiarito. ti consiglio però di "unire i vari pezzi" e riordinare la dimostrazione in maniera unitaria, avendo ben presente anche il significato dei vari termini tecnici come "ipotesi induttiva", oltre che il "percorso completo il più semplice e diretto possibile" per affermare la tesi.
ciao.