Induzione
Dimostare che , per ogni n>=0 , risulta 2^n^2>= n^2+1
In questo esercizio c'è qualcosa che non va a mio avviso c' qualcuno che è in grado di risolverlo e magari commentarlo?
Grazie anticipatamente per la vostra disponibilità...
In questo esercizio c'è qualcosa che non va a mio avviso c' qualcuno che è in grado di risolverlo e magari commentarlo?
Grazie anticipatamente per la vostra disponibilità...
Risposte
[mod="Martino"]Per favore usa il mathml per scrivere le formule, e più in generale leggi qui per avere informazioni su come postare.[/mod]
In particolare ti dispiacerebbe approfondire un po' la questione? Cosa è che non ti convince su questo esercizio?
Quale delle seguenti formulazioni è corretta?
$2^{n^2} ge n^2+1$
$(2^n)^2 ge n^2+1$
In particolare ti dispiacerebbe approfondire un po' la questione? Cosa è che non ti convince su questo esercizio?
Quale delle seguenti formulazioni è corretta?
$2^{n^2} ge n^2+1$
$(2^n)^2 ge n^2+1$
La prima, io ho provato a risolvere, solo che vorrei qualcuno che lo svolgese per poter confrontare la soluzione.
"Gladior":A mio parere è molto più utile se riporti qui la tua soluzione. Il confronto in questo caso è molto più produttivo. Non è solo una mia convinzione, è il regolamento del forum che impone di proporre tentativi di soluzione. Prova a leggere il link che ti ho dato nel post precedente.
La prima, io ho provato a risolvere, solo che vorrei qualcuno che lo svolgese per poter confrontare la soluzione.
(modifico)
Ti ri-chiedo di imparare il mathml ed esporre la tua soluzione, grazie.
Bisogna provare la base induttivaP(n) cioè $n=0$ si sostituisce alla seguente $2^{n^2}$ $>=$ $n^2+1$
quindi si prova che P(0) la base induttiva è vera Quindi $2^{0^2}$ $>=$ $0^2+1$ quindi troviamo che
la base induttiva risulta vera cioè P(0) quindi $1$$>=$$1$.
Adesso bigno prvare che vale pure per la successiva cioè P(n+1) giusto?
Adesso non so come procedere, c'è qualcuno che può aiutarmi.
quindi si prova che P(0) la base induttiva è vera Quindi $2^{0^2}$ $>=$ $0^2+1$ quindi troviamo che
la base induttiva risulta vera cioè P(0) quindi $1$$>=$$1$.
Adesso bigno prvare che vale pure per la successiva cioè P(n+1) giusto?
Adesso non so come procedere, c'è qualcuno che può aiutarmi.
Osserva che siccome $n^2$ è un numero naturale, per concludere è sufficiente mostrare che $2^n ge n+1$ per ogni $n ge 0$ (infatti se vale per ogni numero allora vale anche per ogni quadrato). Questo risulta essere più facile.
potresti essere più chiaro postandomi tutti i passaggi?
Anche perchè non ho molto tempo Martedì avrei un esame......
Cmq se non puoi grazie lo stesso sei stato molto gentile
Anche perchè non ho molto tempo Martedì avrei un esame......
Cmq se non puoi grazie lo stesso sei stato molto gentile
hai provato a sviluppare $(n+1)^2$ e a sostituirlo a $n^2$ ?
"Gladior":Mi spiace, non è questo lo spirito del forum.
potresti essere più chiaro postandomi tutti i passaggi?
Anche perchè non ho molto tempo Martedì avrei un esame......
"adaBTTLS":
hai provato a sviluppare $(n+1)^2$ e a sostituirlo a $n^2$ ?
$(n+1)^2$=$n^2$$+2n+1$
adesso devo sostituirlo a $n^2$ del secondo membro?
Quindi viene:$2^{(n^2+2n+1)}$ $>=$ $(n^2+2n+1)^2+1$
Giusto fino a qui?
"Gladior":
[quote="adaBTTLS"]hai provato a sviluppare $(n+1)^2$ e a sostituirlo a $n^2$ ?
$(n+1)^2$=$n^2$$+2n+2$
adesso devo sostituirlo a $n^2$ del secondo membro?
Quindi viene:$2^{(n^2+2n+2)}$ $>=$ $(n^2+2n+2)^2+1$
Giusto fino a qui?[/quote]
correggo:
$(n+1)^2$=$n^2+2n+1$
$2^{(n^2+2n+1)}>=(n^2+2n+1)+1$
ora la proprietà delle potenze...
Adesso non so proprio come adare avanti una piccola dritta per favore
Quale delle proprietà?
"adaBTTLS":
[quote="Gladior"][quote="adaBTTLS"]hai provato a sviluppare $(n+1)^2$ e a sostituirlo a $n^2$ ?
$(n+1)^2$=$n^2$$+2n+2$
adesso devo sostituirlo a $n^2$ del secondo membro?
Quindi viene:$2^{(n^2+2n+2)}$ $>=$ $(n^2+2n+2)^2+1$
Giusto fino a qui?[/quote]
correggo:
$(n+1)^2$=$n^2+2n+1$
$2^{(n^2+2n+1)}>=(n^2+2n+1)+1$
ora la proprietà delle potenze...[/quote]
Ma scusami una volta che vado a svolgere la potenza $(n+1)^2$ e la vado a sostituire $n^2$ non dovrei elevarlo a quadrato nuovamente? mi riferisco alla correzzione che hai fatto?
Moltiplico il secondo membro per due , che non è altro che la base della potenza del primo membro adesso non ricordo la proprietà per caso è questo il passagio successivo?
$(n+1)^2$=$n^2+2n+1$
$2^{(n^2+2n+1)}>=$$2*$$(n^2+2n+1)+1$
$(n+1)^2$=$n^2+2n+1$
$2^{(n^2+2n+1)}>=$$2*$$(n^2+2n+1)+1$
tu sostituisci solo n+1 al posto di n
$(2^(n^2)*2^(2n))*2>=n^2+2n+1+1$ (da dimostrare), con $n>=1$ (ti conviene verificare a parte per n=1)
$(2^(n^2)*2^(2n))+(2^(n^2)*2^(2n))>=(n^2+1)+(2n+1)$
il primo addendo è $>=2^(n^2)>=n^2+1$ per l'ipotesi induttiva
il secodo addendo ... arrivi al vecchio suggerimento di Martino...
prova e facci sapere. ciao.
$(2^(n^2)*2^(2n))*2>=n^2+2n+1+1$ (da dimostrare), con $n>=1$ (ti conviene verificare a parte per n=1)
$(2^(n^2)*2^(2n))+(2^(n^2)*2^(2n))>=(n^2+1)+(2n+1)$
il primo addendo è $>=2^(n^2)>=n^2+1$ per l'ipotesi induttiva
il secodo addendo ... arrivi al vecchio suggerimento di Martino...
prova e facci sapere. ciao.
"adaBTTLS":
tu sostituisci solo n+1 al posto di n
$(2^(n^2)*2^(2n))*2>=n^2+2n+1+1$ (da dimostrare), con $n>=1$ (ti conviene verificare a parte per n=1)
$(2^(n^2)*2^(2n))+(2^(n^2)*2^(2n))>=(n^2+1)+(2n+1)$
il primo addendo è $>=2^(n^2)>=n^2+1$ per l'ipotesi induttiva
il secodo addendo ... arrivi al vecchio suggerimento di Martino...
prova e facci sapere. ciao.
Scusami misono perso cioè i miei passagi non erano giusti?
non capisco come c sei arrivato............
avevamo scritto contemporaneamente.
le disuguaglianze vanno dimostrate, e quindi dobbiamo ricondurci a casi noti o all'ipotesi induttiva.
certo che, se moltiplichi per 2 il secondo membro e così riesci a dimostrarlo, hai dimostrato anche la tesi, ... , però come pensi di dimostrare la disuguaglianza che hai scritto?
le disuguaglianze vanno dimostrate, e quindi dobbiamo ricondurci a casi noti o all'ipotesi induttiva.
certo che, se moltiplichi per 2 il secondo membro e così riesci a dimostrarlo, hai dimostrato anche la tesi, ... , però come pensi di dimostrare la disuguaglianza che hai scritto?
Caz..........ILLUMINAZIONE
Adesso ho capito il tuo suggerimento cioè è inutile tenere il quadrato posso trattarlo semplicemente $2^n ge n+1$ per ogni $n ge 0$ Quindi prova la base induttiva cioè
P(0)
quindi:
$2^0 ge 0+1$ cioè $1=1$ quindi ho P(0) è vera
adesso passo a P(n+1)
cioè:
L'ipotesi induttiva:
$2^{n+1} ge (n+1)+1$
quindi:
$2*2^n ge (n+1)+1$
Moltiplico per due il secondo membro ottengo:
$2*2^n ge 2*(n+1)+1$
ottengo al secondo membro
$2*(n+1)+1$ segue $2n+2+1$ quindi $2n+3$$>=$$(n+1)+1$ al secondo mebmro di quello che ci sta nell'ipotesi induttiva cioè del succesivo
Vi prego rispondetemi se quello che ho fatto è giusto ditemelo...
Adesso ho capito il tuo suggerimento cioè è inutile tenere il quadrato posso trattarlo semplicemente $2^n ge n+1$ per ogni $n ge 0$ Quindi prova la base induttiva cioè
P(0)
quindi:
$2^0 ge 0+1$ cioè $1=1$ quindi ho P(0) è vera
adesso passo a P(n+1)
cioè:
L'ipotesi induttiva:
$2^{n+1} ge (n+1)+1$
quindi:
$2*2^n ge (n+1)+1$
Moltiplico per due il secondo membro ottengo:
$2*2^n ge 2*(n+1)+1$
ottengo al secondo membro
$2*(n+1)+1$ segue $2n+2+1$ quindi $2n+3$$>=$$(n+1)+1$ al secondo mebmro di quello che ci sta nell'ipotesi induttiva cioè del succesivo
Vi prego rispondetemi se quello che ho fatto è giusto ditemelo...
veramente non era quello che ti avevo suggerito, però il metodo funziona: dimostri che $2^k>=k+1, AA k in NN$, e allora vale anche per i quadrati perfetti, dunque per $k=n^2$.
quando hai detto moltiplico per 2 il secondo membro in realtà hai moltiplicato solo una parte, ma va bene lo stesso.
l'ultimo passaggio non è chiaro, o meglio non è fatto, perché non hai scritto perché vale la disuguaglianza tra il primo ed il secondo membro, o mi è sfuggita: insomma, devi minorare $2*2^n$ con qualcosa che maggiori il secondo membro.
però mi pare che sia ora di chiudere... buona notte!
quando hai detto moltiplico per 2 il secondo membro in realtà hai moltiplicato solo una parte, ma va bene lo stesso.
l'ultimo passaggio non è chiaro, o meglio non è fatto, perché non hai scritto perché vale la disuguaglianza tra il primo ed il secondo membro, o mi è sfuggita: insomma, devi minorare $2*2^n$ con qualcosa che maggiori il secondo membro.
però mi pare che sia ora di chiudere... buona notte!
Caz..........ILLUMINAZIONE
Adesso ho capito il tuo suggerimento cioè è inutile tenere il quadrato posso trattarlo semplicemente $2^n ge n+1$ per ogni $n ge 0$ Quindi prova la base induttiva cioè
P(0)
quindi:
$2^0 ge 0+1$ cioè $1=1$ quindi ho P(0) è vera
adesso passo a P(n+1)
cioè:
L'ipotesi induttiva:
$2^{n+1} ge (n+1)+1$
quindi:
$2*2^n ge n+1$
Moltiplico per due il secondo membro ottengo:
$2^{n+1}=2*2^n ge 2*(n+1)=2n+2$$>=$$n+2$
Mi auguro che qualcuno possa dirmi se questo svolgimento possa andare grazie per la vostra disponibilità................
Adesso ho capito il tuo suggerimento cioè è inutile tenere il quadrato posso trattarlo semplicemente $2^n ge n+1$ per ogni $n ge 0$ Quindi prova la base induttiva cioè
P(0)
quindi:
$2^0 ge 0+1$ cioè $1=1$ quindi ho P(0) è vera
adesso passo a P(n+1)
cioè:
L'ipotesi induttiva:
$2^{n+1} ge (n+1)+1$
quindi:
$2*2^n ge n+1$
Moltiplico per due il secondo membro ottengo:
$2^{n+1}=2*2^n ge 2*(n+1)=2n+2$$>=$$n+2$
Mi auguro che qualcuno possa dirmi se questo svolgimento possa andare grazie per la vostra disponibilità................
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