Il teorema fondamentale algebra dipende effettivamente dalla struttura topologica?

[astrifiammante]

Salve a tutti. Molto probabilmente l'argomento che sto toccando è di topologia, più che di algebra, comunque se così fosse lo possiamo spostare, fermo restando che non si tratti di una castroneria!!!. Ripeto, non sono un matematico, poichè frequento fisica, e perciò chiedo aiuto agli addetti ai lavori. Analizzando le diverse dimostrazioni del teorema fond. algebra (tfa) ci si accorge che entrano, anche se i minima parte in alcune, sempre argomenti di topologia. Perciò hanno ipotizzato che che una dimostrazione squisitamente algebrica del tfa non esiste. Volevo chiedere, per poter provare ciò non sarebbe sufficiente prendere l'insieme dei complessi, dotarlo della comune struttura algebrica e di una struttura topologica alternativa $\tau$. Se con $\tau$ esiste almeno un polinomio complesso che non ha alcuna radice sui complessi allora viene provato che effettivamente che la dimostrazione del tfa non può essere puramente algebrica. Se questo ragionamento fosse corretto è comodo individuare una dimostrazione del tfa nella quale la topologia entra marginalmente (in tal modo per costruire una topologia alternativa l'occhio deve rimanere fisso soltanto in quei pochi punti in cui entra il lato topologico). Ad esempio sarebbe comoda in tal senso la dimostrazione del tfa basata sul teorema fondamentale della teoria di Galois. Riporto qui a fianco un link, giusto perchè chi legge abbia un riscontro: http://www.dmi.unict.it/~strano/as1.pdf. A pagina 43 del link riportato viene descritta la dimostrazione del tfa "incriminata". Ora mi sembra, altrimenti un matematico con l'occhio più allenato me lo faccia presente, che la topologia rientri soltanto in un solo punto ovvero nel fatto che un polinomio dispari ha sempre almeno una soluzione reale. Ergo per provare che la dim. tfa non è puramente algebrica basterebbe costruire una topologia nella quale esiste almeno un polinomio di grado dispari con nessuna soluzione reale. Giusto? E se si qualcuno ha un'idea di come costruirla? Si tratterebbe di una topologia che rende funzioni illimitate limitate....

[Studente Anonimo]

Scusa non ti seguo. Un polinomio a coefficienti reali o complessi avrà o non avrà radici indipendentemente dalla topologia che metti su $RR$ o $CC$. Mettere una topologia diversa non altera la struttura algebrica.

[astrifiammante]

Già, ma allora se $x_0$ è una soluzione di $P(x)$ indipendentemente dalla topologia adottata e visto che anche le molteplicità delle soluzioni devono anch'esse rimanere inalterate poichè la divisione è frutto sempre dell'algebra adottata allora dovrebbe esserci una dimostrazione totalmente algebrica visto che il tfa non dipende dalla topologia scelta no? Cosa mi sta sfuggendo?

[Studente Anonimo]

Il problema è che la definizione stessa di $RR$ è topologica, in un certo senso da rendere preciso. I reali si definiscono con le sezioni di Dedekind ma il modo naturale di comprenderne le proprietà è usare la sua struttura "continua" (un mio amico ha brillantemente osservato che sarebbe meglio chiamare i reali "numeri continui" e i complessi "numeri reali"). Per capire la sua struttura continua è naturale usare un approccio topologico. E' chiaro che quando si distingue tra algebra e topologia (o analisi) lo si fa ad un livello sufficientemente alto da dare un senso alla distinzione. Al livello più basso, quello della pura inferenza logica che parte dagli assiomi, nessuna dimostrazione è più o meno topologica o algebrica di un'altra. I numeri reali sono nati come struttura topologica quindi sappiamo indagarne le proprietà solo usando strumenti topologici (analitici).

Il teorema fondamentale dell'algebra è un enunciato algebrico (quindi continua a valere finché permangono le proprietà algebriche di $RR$ e $CC$), ma qualsiasi sua dimostrazione conosciuta fa uso di strumenti analitici come l'esistenza di zeri per funzioni continue che cambiano segno. Spero che sia chiaro che si tratta di una questione più filosofica che matematica. E' chiaro che riesco a scrivere una dimostrazione "non topologica" del teorema, ma risulterebbe assurdamente astrusa e estremamente noiosa e complicata. Quando si dice "dimostrazione topologica" o "dimostrazione algebrica" si sottintende che stiamo cercando a prescindere una dimostrazione il più possibile elegante.

[dissonance]

Sono arrivato a questa discussione seguendo questo link. Vorrei osservare che, come dice l'amico di Martino, la notazione "numeri reali" vs "numeri complessi" è effettivamente infelice. Qui, Steenrod cita questa scelta come esempio negativo (come NON scegliere le notazioni quando si scrive di matematica), proponendo l'alternativa "numeri lineari" per i reali e "numeri planari" per i complessi.

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