Ideali P-primari
Salve a tutti,
non riesco ad afferrare bene un concetto. Dalla teoria so che se $q$ è un ideale primario e $p = r(q)$ allora $q$ si dice p-primario. Poichè tutti i primari sono radicali di un ideale primo mi chiedo se ogni primario è in realtà un $p-primario$. Non comprendo perchè il libro specifica meglio attraverso una definizione di p-primario, posto che tutti i primari hanno come radicale un primo. Mi sembra una tautologia.
Viceversa non tutti i primari sono p-primari. In tal caso allora non mi è chiara la proposizione che implica che ogni primario ha come radicale un primo e la successiva definizione di p-primario.
Grazie in anticipo.
Emanuele
non riesco ad afferrare bene un concetto. Dalla teoria so che se $q$ è un ideale primario e $p = r(q)$ allora $q$ si dice p-primario. Poichè tutti i primari sono radicali di un ideale primo mi chiedo se ogni primario è in realtà un $p-primario$. Non comprendo perchè il libro specifica meglio attraverso una definizione di p-primario, posto che tutti i primari hanno come radicale un primo. Mi sembra una tautologia.
Viceversa non tutti i primari sono p-primari. In tal caso allora non mi è chiara la proposizione che implica che ogni primario ha come radicale un primo e la successiva definizione di p-primario.
Grazie in anticipo.
Emanuele
Risposte
Allora immagino che tu stia leggendo l'Atiyah Macdonald.
Un ideale \( I \) è detto primario se vale che: \( xy\in I \Rightarrow x\in I\ \text{ oppure }\ y^n\in I \)
Dopo si afferma (prop. 4.1 dell'Atiyah) che il radicale di un ideale primario \( I \), che denotiamo con \( J=\sqrt{I} \) è il più piccolo primo che contiene \( I \).
Quindi, dato un ideale primario $I$ con radicale \( J=\sqrt{I} \) (che è sicuramente primo per la prop precedente) diciamo che $I$ è $J$-primario.
Essere primario e $J$-primario non sono due concetti diversi ma si aggiunge solamente il radicale al nome per ricordarci qual'è il suo radicale.
Un ideale \( I \) è detto primario se vale che: \( xy\in I \Rightarrow x\in I\ \text{ oppure }\ y^n\in I \)
Dopo si afferma (prop. 4.1 dell'Atiyah) che il radicale di un ideale primario \( I \), che denotiamo con \( J=\sqrt{I} \) è il più piccolo primo che contiene \( I \).
Quindi, dato un ideale primario $I$ con radicale \( J=\sqrt{I} \) (che è sicuramente primo per la prop precedente) diciamo che $I$ è $J$-primario.
Essere primario e $J$-primario non sono due concetti diversi ma si aggiunge solamente il radicale al nome per ricordarci qual'è il suo radicale.
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