Ideale massimale e inverso
Il mio problema è il seguente:
Sia $A=RRxxZZ_2$ con somma e prodotto definite tra componenti, provare che l'ideale generato da $ x=(0, \bar 1)$ è massimale. Poi preso $A/I$ trovare l'inverso di $(4, \bar3)$.
Come faccio a dimostrare che l'ideale generato da x è massimale, io so la definizione ovvero I è masimale solo se non è contenuto propriamente in nessun ideale proprio di A... come procedo.
Domanda numero 2: esiste un metodo generale per calcolare l'inverso in un anello quoziente? Come faccio in questo caso?
Sia $A=RRxxZZ_2$ con somma e prodotto definite tra componenti, provare che l'ideale generato da $ x=(0, \bar 1)$ è massimale. Poi preso $A/I$ trovare l'inverso di $(4, \bar3)$.
Come faccio a dimostrare che l'ideale generato da x è massimale, io so la definizione ovvero I è masimale solo se non è contenuto propriamente in nessun ideale proprio di A... come procedo.
Domanda numero 2: esiste un metodo generale per calcolare l'inverso in un anello quoziente? Come faccio in questo caso?
Risposte
Prova a farlo se non sei sicuro! (In questo caso si vede ovviamente ad occhio, ma applica l'algoritmo, così prendi confidenza!)
Ho capito! Grazie mille!! Ho ancora qualche problema sugli ideali massimali.... All'ideale generato da $(0, \bar1)$ quali elementi appartengono?
Beh, qual è la definizione di ideale massimale? Se ci sta un elemento [tex]x[/tex], ci stanno tutti gli elementi della forma [tex]xy[/tex] per [tex]y \in A[/tex]...
In quel caso è facile: [tex](a,\overline{b})(0,\overline{1}) = (0,\overline{b})[/tex], quindi [tex]((0,\overline{1})) = \{(0,\overline{0}),(0,\overline{1})\}[/tex].
Per [tex](4,\overline{1})[/tex], invece, dimmi tu cosa succede!
In quel caso è facile: [tex](a,\overline{b})(0,\overline{1}) = (0,\overline{b})[/tex], quindi [tex]((0,\overline{1})) = \{(0,\overline{0}),(0,\overline{1})\}[/tex].
Per [tex](4,\overline{1})[/tex], invece, dimmi tu cosa succede!
Ci saranno gli elementi $(4a,\barb)$, ma questo vuol dire che è un ideale ma prima abbiamo detto che non lo era...
Ho anche verificato la seconda proprietà cioè: $(4a,\barb)-(4b,\bard)=(4a-4c,\barb-\bard)=(4(a-c),\barb-\bard)$ quindi questo elemento appartiene a $(4,\bar1)$. E quindi sembrerebbe un ideale... ma dove sbaglio?
Ho anche verificato la seconda proprietà cioè: $(4a,\barb)-(4b,\bard)=(4a-4c,\barb-\bard)=(4(a-c),\barb-\bard)$ quindi questo elemento appartiene a $(4,\bar1)$. E quindi sembrerebbe un ideale... ma dove sbaglio?
Non sbagli. Per me gli ideali sono propri. Sicuro che l'unità dell'anello non appartenga a quell'"ideale"?
aaaahhhhhh ora ho capito è un ideale improprio perchè coincide con l'anello stesso siccome l'unità dell'anello appartiene all'ideale... quindi ad esempio $(4,\bar0)$ è un ideale?
Sì, e coincide con l'ideale generato da [tex](1,\overline{0})[/tex].
Quindi $(0,\bar1)$ e $(1,\bar0)$ sono i soli 2 ideali massimali dell'anello...
E $(RRxZZ_2)/(1,\bar0)$ ha come elementi $ZZ_2$... Vero?
E $(RRxZZ_2)/(1,\bar0)$ ha come elementi $ZZ_2$... Vero?
Yes...
Grazie mille!
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