Ideale massimale e inverso
Il mio problema è il seguente:
Sia $A=RRxxZZ_2$ con somma e prodotto definite tra componenti, provare che l'ideale generato da $ x=(0, \bar 1)$ è massimale. Poi preso $A/I$ trovare l'inverso di $(4, \bar3)$.
Come faccio a dimostrare che l'ideale generato da x è massimale, io so la definizione ovvero I è masimale solo se non è contenuto propriamente in nessun ideale proprio di A... come procedo.
Domanda numero 2: esiste un metodo generale per calcolare l'inverso in un anello quoziente? Come faccio in questo caso?
Sia $A=RRxxZZ_2$ con somma e prodotto definite tra componenti, provare che l'ideale generato da $ x=(0, \bar 1)$ è massimale. Poi preso $A/I$ trovare l'inverso di $(4, \bar3)$.
Come faccio a dimostrare che l'ideale generato da x è massimale, io so la definizione ovvero I è masimale solo se non è contenuto propriamente in nessun ideale proprio di A... come procedo.
Domanda numero 2: esiste un metodo generale per calcolare l'inverso in un anello quoziente? Come faccio in questo caso?
Risposte
Io fossi in te proverei ad applicare il primo teorema di isomorfismo...
Come sicuramente saprai un ideale è massimale se e solo se il quoziente è un campo...
Come sicuramente saprai un ideale è massimale se e solo se il quoziente è un campo...
Quindi devo provare che $A/I$ è un campo. Io però sono abituato a provare che I è massimale e quindi implica $A/I$ campo perchè ho avuto solo estensioni algebriche semplici di campi con polinomi, provavo che il polinomio era irriducibile quindi l'ideale generato dal polinomio è massimale... Quindi in sostanza non so come applicare il teorema (che conosco), potresti farmi vedere qualche passaggio.
Grazie mille!
Grazie mille!
In sostanza, osservando com'è fatto l'elemento [tex]x = (0,\overline{1})[/tex] ti viene in mente che forse il quoziente è [tex]\mathbb R[/tex] (questo è quello che si chiama colpo d'occhio, viene con l'esperienza, naturalmente).
Per dimostrarlo formalmente, usiamo il primo teorema di isomorfismo. Considera la proiezione sul primo fattore, [tex]\pi \colon \mathbb R \times \mathbb (Z / 2 \mathbb Z) \to \mathbb R[/tex]. Chiaramente è suriettiva. Chi è il suo nucleo? Esattamente [tex]\{0\} \times (\mathbb Z / 2 \mathbb Z) = (x)[/tex]. Quindi hai finito.
Adesso, se hai davvero capito che cosa ho fatto, sai anche calcolare quell'inverso...
Per dimostrarlo formalmente, usiamo il primo teorema di isomorfismo. Considera la proiezione sul primo fattore, [tex]\pi \colon \mathbb R \times \mathbb (Z / 2 \mathbb Z) \to \mathbb R[/tex]. Chiaramente è suriettiva. Chi è il suo nucleo? Esattamente [tex]\{0\} \times (\mathbb Z / 2 \mathbb Z) = (x)[/tex]. Quindi hai finito.
Adesso, se hai davvero capito che cosa ho fatto, sai anche calcolare quell'inverso...
Grazie, ma scusa non ho ancora capito, così ho dimostarato che il ker è solo ${0}$x$ZZ_2$ quindi come dico che è massimale?
Inoltre $[1]_2$ genera $ZZ_2$.
Gli elementi dell'ideale quali sono?
Grazie!
Inoltre $[1]_2$ genera $ZZ_2$.
Gli elementi dell'ideale quali sono?
Grazie!
Beh, per il primo teorema di isomorfismo [tex](\mathbb R \times (\mathbb Z / 2 \mathbb Z))/ \ker \pi \cong \mathbb R[/tex] e chiaramente questo è un campo.
Inoltre, [tex]\ker \pi = (x)[/tex], quindi hai finito...
Cosa non ti convince?
Inoltre, [tex]\ker \pi = (x)[/tex], quindi hai finito...
Cosa non ti convince?
Non riesco a capire come si arriva a dire che $(R×(Z/(2Z)))/(kerπ)≅R$, il mio problema non è solo in questo caso ma in un qualsiasi caso dove ho $A/(kerf)$ dove I è diverso da un polinomio... penso sia nelle forma $(a,_2) + kerπ$ ma non capisco perchè?
Hai detto che conosci il primo teorema di isomorfismo. Potresti enunciarlo? E magari ricordare i passaggi chiave della dimostrazione? Così vediamo se lo conosci bene...
Se ho un morfismo $f:A->A'$ di nucleo K e immagine Imf, esiste un unico isomorfismo fi che rende commutativo il diagramma
$A ->^p A/K$ , $ A ->^(f) Imf $, $A/K ->^(fi) Imf$ (Scusa ma non so fare il triangolo)
Sappiamo che K è un ideale (posso dire che è massimale? solo se A/K è un campo. Vero?), quindi posso costruire un anello quoziente A/K. Per definizione posso dire che con $k in K$ f(k)=1', quindi $f(k*c)=f(k)*f(c)=1'*f(c)=f(c), AA k in K$.
Applico $fi:A/K->Imf$ fi(K+a)=f(a) ora verifico che sia anche un morfismo di anelli
fi[(K+a)(K+b)]=(ometto i passaggi)=fi(K+a)fi(K+b) e fi(K+1)=f(1)=1'. Finito.
Però non rieso a capire come fare a trovare sempre gli elemeti di A/K, forse sono sempre in forma K+a con $ainA$?
Poi non riesco a capire come fare a calcolare gli inversi in questo modo.
Però, dimmi se sbaglio, nel caso in esame $(0,\bar1)$ è tutto $RR$ perchè gli elementi di $(RRxxZZ_2)/(kerπ)$ sono $(0,\bar1)+(a,\barb)$ con $ainRR$ e $\barb in ZZ_2$.Vero?
$A ->^p A/K$ , $ A ->^(f) Imf $, $A/K ->^(fi) Imf$ (Scusa ma non so fare il triangolo)
Sappiamo che K è un ideale (posso dire che è massimale? solo se A/K è un campo. Vero?), quindi posso costruire un anello quoziente A/K. Per definizione posso dire che con $k in K$ f(k)=1', quindi $f(k*c)=f(k)*f(c)=1'*f(c)=f(c), AA k in K$.
Applico $fi:A/K->Imf$ fi(K+a)=f(a) ora verifico che sia anche un morfismo di anelli
fi[(K+a)(K+b)]=(ometto i passaggi)=fi(K+a)fi(K+b) e fi(K+1)=f(1)=1'. Finito.
Però non rieso a capire come fare a trovare sempre gli elemeti di A/K, forse sono sempre in forma K+a con $ainA$?
Poi non riesco a capire come fare a calcolare gli inversi in questo modo.
Però, dimmi se sbaglio, nel caso in esame $(0,\bar1)$ è tutto $RR$ perchè gli elementi di $(RRxxZZ_2)/(kerπ)$ sono $(0,\bar1)+(a,\barb)$ con $ainRR$ e $\barb in ZZ_2$.Vero?
Ok, è giusto, ma si vede che non sai applicarlo. All'atto pratico questo teorema si usa nel modo seguente: hai un anello [tex]A[/tex] ed un ideale [tex]I[/tex]. Vorresti dare una descrizione di [tex]A/I[/tex]. Allora ti inventi una mappa [tex]f \colon A \to B[/tex] suriettiva (ovviamente devi inventare anche B) tale che [tex]\ker f = I[/tex]. Siccome la mappa è suriettiva il primo teorema di isomorfismo ti dice che [tex]A / I \cong A / \ker f \cong B[/tex]. Hai un isomorfismo, quindi gli elementi di [tex]A/ I[/tex] sono gli elementi di [tex]B[/tex].
Ti torna?
Ti torna?
Sì e no, nel nostro caso $f(a,\barb)$ che formula ha?
E comunque in ogni caso devo inventarmi un morfismo che abbia nucleo (x), cosa non facile
Dimmi se ho capito, ad esempio in $RRxxZZ_3$ $x=(0,\bar2)$ non è massimale perchè x è contenuto in (0,\bar1), vero?
Ti faccio un'ultima domanda: come si esprimono gli elementi di un qualsiasi anello quoziente A/I?
Ti ringrazio infinitamente per il tuo aiuto e la tua pazienza!
E comunque in ogni caso devo inventarmi un morfismo che abbia nucleo (x), cosa non facile
Dimmi se ho capito, ad esempio in $RRxxZZ_3$ $x=(0,\bar2)$ non è massimale perchè x è contenuto in (0,\bar1), vero?
Ti faccio un'ultima domanda: come si esprimono gli elementi di un qualsiasi anello quoziente A/I?
Ti ringrazio infinitamente per il tuo aiuto e la tua pazienza!
"Ale00":
Sì e no, nel nostro caso $f(a,\barb)$ che formula ha?
In questo caso abbiamo preso [tex]\pi(a,\overline{b}) = a \in \mathbb R[/tex]. Pertanto vedi che il quoziente è [tex]\mathbb R[/tex], che è un campo e quindi il tuo ideale è massimale.
Poi, per calcolare l'inverso, basta andare a lavorare in [tex]\mathbb R[/tex]. Se vuoi l'inverso di [tex](4,\overline{1})[/tex], osservi che [tex]\pi(4,\overline{1}) = 4[/tex], che l'inverso di 4 è [tex]\frac{1}{4}[/tex] e quindi non fai altro che prendere un elemento che vada a finire in [tex]\frac{1}{4}[/tex]. Quindi [tex](\frac{1}{4},\overline{0})[/tex] o [tex](\frac{1}{4}, \overline{1})[/tex]. Entrambi questi elementi ti daranno lo (stesso) inverso di [tex](4,\overline{1})[/tex] quando passi al quoziente!
"Ale00":
E comunque in ogni caso devo inventarmi un morfismo che abbia nucleo (x), cosa non facile
E' molto più facile di cercare di capire che diavolo sono i laterali ogni volta.
"Ale00":
Dimmi se ho capito, ad esempio in $RRxxZZ_3$ $x=(0,\bar2)$ non è massimale perchè x è contenuto in (0,\bar1), vero?
No, ti va male perché [tex]\overline{2}[/tex] è invertibile in [tex]\mathbb Z/3\mathbb Z[/tex]! Quindi l'ideale generato da [tex](0\overline{2})[/tex] è uguale all'ideale generato da [tex](0,\overline{1})[/tex] (prova a dimostrarlo tu, per doppia inclusione; potrebbe essere un utile esercizio). Di conseguenza anche questa volta hai un ideale massimale.
Se vuoi un ideale non massimale, puoi sempre considerare [tex](0,\overline{2}) \in \mathbb R \times (\mathbb Z / 4 \mathbb Z)[/tex]
"Ale00":
Ti faccio un'ultima domanda: come si esprimono gli elementi di un qualsiasi anello quoziente A/I?
Non c'è risposta. Il quoziente è uno strumento descrittivo molto potente e di conseguenza ha un alto grado di libertà. Non esiste una descrizione esplicita, cambia esercizio per esercizio (le prime volte si è un po' disorientati, lo so). Puoi descriverlo come insieme delle classi laterali, ma al lato pratico è una descrizione completamente inutile; più che altro questa è una descrizione utile da un punto di vista teorico.
Quindi $(4,\bar1)$ è o no massimale? Direi di no perchè è contenuto in $(0,\bar1)$
L'ideale generato da [tex](4,\overline{1})[/tex] non è nemmeno un ideale, ad essere precisi. Infatti [tex]((4,\overline{1})) = \mathbb R \times (\mathbb Z / 2 \mathbb Z)[/tex]. Vorrei che però provassi tu a dimostrare quest'affermazione... altrimenti temo che non ti serva a nulla tutto questo gran parlare.
E se volessi trovare l'inverso di un elemento di $ZZ_p$ con p primo, come devo fare? finchè p è piccolo è molto semplice mi sembra ma se p è alto come faccio?
Adesso provo a dimostrarlo..
Adesso provo a dimostrarlo..
Ma scusa... avete dimostrato che [tex]\mathbb Z / p \mathbb Z[/tex] è un campo da qualche parte?? Se la risposta è sì, allora in quella dimostrazione c'è anche contenuto l'algoritmo da utilizzare per calcolare gli inversi... Magari nessuno ti ha detto che c'è quell'algoritmo, ma ti assicuro che c'è!
Si lo abbiamo dimostrato ma non riesco a riportare la teoria alla pratica... 
Facciamo più in generale. Fissa [tex]\overline{m} \in \mathbb Z / n \mathbb Z[/tex] e supponi che [tex]m,n[/tex] siano coprimi. Allora cosa succede? Per l'identità di Bézout esistono [tex]a,b \in \mathbb Z[/tex] tali che [tex]am + bn = 1[/tex] (e tu sai come calcolare esplicitamente a e b, vero??). Allora, passando modulo [tex]n[/tex], ottieni [tex]\overline{a} \overline{m} = \overline{1}[/tex], ossia [tex]\overline{m}[/tex] è invertibile e [tex]\overline{a}[/tex] è l'inverso.
devo calcolarli con l'algoritmo di euclide...
Ok... Ecco quello è il metodo generale!
Ad esempio se in $ZZ_7$ voglio calcolare l'inverso di $\bar2$ devo prendere 7 e fare l'algoritmo...
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