Gruppo moltiplicativo di un campo finito

[squalllionheart]

ciao rega vorrei un chiarimento rispetto a due questioni collegate:

Teorema fondamentale di struttura di gruppi abeliani finiti:
Sia G abeliano finito allora è il prodotto diretto di gruppi ciclici.

Prima questione:
Non è detto che il prodotto diretto di gruppi ciclici sia ciclio?

Teorema: Il gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.
Seconda questione:
Definito K* il campo privato dello $0$ allora sono d'accordo che sia abeliano finito.
cosa che non comprendo come è possibile che sia ciclico.
Sarà prodotto diretto di gruppi ciclici.
Ma mi sfugge il fatto che sia ciclico sempre.

Spero a presto Mari

[Martino]

"squalllionheart":Prima questione:
Non è detto che il prodotto diretto di gruppi ciclici sia ciclio?

No: per esempio $C_2 times C_2$ non è ciclico (dove $C_2$ è il gruppo con 2 elementi).

Teorema: Il gruppo moltiplicativo di un campo è ciclico.
Seconda questione:
Definito K* il campo privato dello $0$ allora sono d'accordo che sia abeliano finito.
cosa che non comprendo come è possibile che sia ciclico.
Sarà prodotto diretto di gruppi ciclici.
Ma mi sfugge il fatto che sia ciclico sempre.

E' una cosa che si dimostra (e vale per i campi finiti, non in generale)

Se non ricordo male il risultato fondamentale è il seguente (ma non fidarti ciecamente perché potrei ricordare male):

Prop: se G è un gruppo finito di ordine n tale che per ogni divisore k di n si abbia $Card(\{x in G,\ x^k=1\}) le k$ allora G è ciclico.

Possiamo applicare questo risultato al nostro caso perché in un campo ci sono al più k radici k-esime di 1 (ovvero zeri del polinomio $x^k-1$, monico di grado k).

[squalllionheart]

ora è più chiaro. la dimostrazione della proposizione la hai su latex?
su tre libri di algebra alcune dimostrazioni rimangono sempre un mistero. grazie a presto mari.

[Martino]

Certo, l'ho su latex (quando ho risposto la prima volta ero fuori casa quindi non potevo controllare).

Ecco qui:

Proposizione: se [tex]G[/tex] è un gruppo finito di ordine [tex]n[/tex] tale che per ogni divisore [tex]k[/tex] di [tex]n[/tex] si abbia [tex]|\{x \in G\ |\ x^k=1\}| \leq k[/tex] allora [tex]G[/tex] è ciclico.

Dimostrazione: per ogni [tex]k|n[/tex] definiamo (con $|x|$ indico l'ordine dell'elemento $x$, e con $C_n$ il gruppo ciclico di ordine n)

[tex]k^{\diamond} = |\{x \in G,\ |x|=k\}|[/tex],

[tex]k_{\diamond} = |\{x \in C_n,\ |x|=k\}|[/tex].

Quello che dobbiamo mostrare è che [tex]n^{\diamond} \neq 0[/tex].
Sia [tex]k[/tex] un divisore di [tex]n[/tex] e supponiamo che [tex]k^{\diamond} \neq 0[/tex], ovvero supponiamo esista [tex]a \in G[/tex] di ordine [tex]k[/tex]. Allora il gruppo ciclico generato da [tex]a[/tex] (che chiamerò [tex]\langle a \rangle[/tex]) consiste di [tex]k[/tex] elementi la cui potenza [tex]k[/tex]-esima è uguale ad uno, e quindi per l'ipotesi gli elementi [tex]x \in G[/tex] tali che [tex]x^k=1[/tex] sono esattamente gli elementi di [tex]\langle a \rangle[/tex] (perché ce ne sono al più [tex]k[/tex], e [tex]\langle a \rangle[/tex] ne contiene esattamente [tex]k[/tex]). In altre parole

[tex]\langle a \rangle = \{x \in G\ |\ x^k=1\}[/tex]

Questo dimostra che [tex]k^{\diamond} = k_{\diamond}[/tex], perché [tex]\langle a \rangle[/tex] ha esattamente [tex]\varphi(k) = k_{\diamond}[/tex] generatori ([tex]\varphi[/tex] è la [tex]\varphi[/tex] di Euler).
In definitiva abbiamo mostrato che se [tex]k^{\diamond} \neq 0[/tex] allora [tex]k^{\diamond} = k_{\diamond}[/tex]. In particolare [tex]k^{\diamond} \leq k_{\diamond}[/tex] per ogni divisore [tex]k[/tex] di [tex]n[/tex].

Ora [tex]\sum_{k|n} k^{\diamond} = n = \sum_{k|n} k_{\diamond}[/tex], e quindi [tex]\sum_{k|n}(k_{\diamond}-k^{\diamond})=0[/tex]. Una somma di numeri non negativi dà zero se e solo se ogni addendo è zero, quindi [tex]k^{\diamond}=k_{\diamond}[/tex] per ogni [tex]k|n[/tex].

In particolare [tex]n^{\diamond} = n_{\diamond}[/tex], quindi [tex]n^{\diamond} \neq 0[/tex], quindi esiste in [tex]G[/tex] un elemento di ordine [tex]n[/tex], e quindi [tex]G[/tex] è ciclico.