Gruppo infinito con indice |G : Z(G)| finito

[iDesmond]

Ciao ragazzi, sapreste farmi un esempio di un gruppo infinito $G$, tale che $|G:Z(G)|$ sia finito?
Dove ovviamente $Z(G)$ è il centro di $G$.

Ed in più, un gruppo in cui $G'$ il sottogruppo generato dai commutatori non coincide con l'insieme dei commutatori (ovvero $ \ne G' $ come insiemi)?

Sto preparando una piccola esposizione sul transfer in cui si arriva a dimostrare questo:
Se $|G:Z(G)Z$ è finito, allora $G'$ è un sottogruppo finito.
(trovate la dimostrazione sull'Isaacs se volete)

[Studente Anonimo]

Quanto alla prima domanda prendi per esempio $S_3 xx ZZ$. Quanto alla seconda vedi qui (leggi tutte le risposte, in particolare quelle di Arturo Magidin e Tom Goodwillie). Vedrai che esempi interessanti sono i gruppi liberi e $SL(2,RR)$.

[iDesmond]

Fantastico, ti ringrazio!

quindi, se non mi sbaglio: $Z(S_3 \times \ZZ ) = Z(S_3) \times Z(\ZZ)$, quindi un rappresentate per le classi laterali modulo il centro è dato da $S_3 \times \{1\}$ ?

Grazie mille.

[Studente Anonimo]

Comunque se vuoi un esempio ancora più semplice (e però banale) puoi prendere $ZZ$ (o un qualunque gruppo abeliano infinito). Qui il centro è $ZZ$ quindi ha indice 1 e un insieme di rappresentanti per le classi laterali modulo il centro è $\{1\}$.

Edit: nel caso di $S_3 xx ZZ$ un insieme di rappresentanti per le classi laterali modulo il centro è $S_3 xx \{1\}$ (quindi non quello che hai detto).

[iDesmond]

Si, ho corretto, mi ero confuso a scrivere ma avevo pensato giusto
Grazie!