Gruppo finito generato da sottogruppi normali

[maybe1]

Mi sono imbattuta nel seguente teorema:
se ho un gruppo finito $G $ e siano $ H_1,...,H_t $ sottogruppi normali di $G $ di ordini a due a due coprimi allora
$ ||=|H_1|*...*|H_t| $ .
Nella dimostrazione si procede per induzione su $t $ essendo l'asserto ovvio per $t=1$.
Supposto $ t>1 $, si assume che$|| =|H_1|*...*|H_(t-1)|$.
Allora risulta che $\bigcap H_t ={1}$
(questo lo possiamo dire per il teorema di Lagrange essendo gli ordini a due a tue coprimi, vero?)
Dopodiché il libro dice che $||=|*H_t|$ ma perché?
Molto probabilmente le mie saranno domande banali ma in algebra sono molto debole.
Grazie a chi mi vorrà dare una mano.

[Martino]

Dati $A$ e $B$ sottogruppi di $G$ definisco $AB = { ab\ :\ a in A, b in B}$. Ti consiglio di provare a dimostrare che se $A$ e $B$ sono normali in $G$ allora $< A,B >$ è un sottogruppo normale di $G$ e $ = AB$.

[maybe1]

"Martino":Dati $A$ e $B$ sottogruppi di $G$ definisco $AB = { ab\ :\ a in A, b in B}$. Ti consiglio di provare a dimostrare che se $A$ e $B$ sono normali in $G$ allora $< A,B >$ è un sottogruppo normale di $G$ e $ = AB$.

Se $A$\( \lhd \)$G$ e $B$\( \lhd \)$G $ allora anche$$\( \lhd \)$G$ perché $$ contiene i coniugati dei suoi elementi essendo $A $ e $B $ normali in $G$.



Se \( A\lhd G \) e $B\leqG$ allora $AB =BA$ perché se \( A\lhd G \) allora $xA=Ax \forall x\inG$ quindi \( AB=\coprod_{x\in B}Ax = \coprod_{x \in B}xA= BA \)


Se $AB=BA$ allora $ =AB$
Si dimostra con la doppia inclusione sfruttando il fatto che $ < A,B> ={a_1b_1*...*a_nb_n|a_i\in A,b_i\in B,n\in \mathbb{N}} $ .
Che \( AB\subseteq < A,B> \) è ovvio
Che $ \subseteq AB$ lo si dimostra procedendo per induzione su n.
Come continuo per risolvere il dubbio iniziale?

[Martino]

Hai anche che $|AB|=(|A||B|)/|A \cap B|$.

Con queste informazioni risolvi i tuoi dubbi. Si tratta semplicemente di osservare che $ =H_1...H_k$ se gli $H_i$ sono normali.

[maybe1]

"Martino":Hai anche che $|AB|=(|A||B|)/|A \cap B|$.

Con queste informazioni risolvi i tuoi dubbi. Si tratta semplicemente di osservare che $ =H_1...H_k$ se gli $H_i$ sono normali.

È proprio quest'ultima osservazione che vorrei dimostrare o meglio vorrei riuscire a dimostrare che
$ = H_t$
Cioè se volessi dimostrare formalmente questa cosa come dovrei fare?
Scusami e grazie dei suggerimenti.

[Martino]

$ = < ,H_t> = H_t$.

[maybe1]

"Martino":$ = < ,H_t> = H_t$.

e perché $ = < ,H_t>$ ?
Avrei pensato di mostrarlo con la doppia inclusione...
che $ sube < ,H_t>$ mi sembra ovvio , il viceversa un po' meno
Avevo pensato di dimostrarlo per induzione come si dimostra che se $A$ e $B$ sono permutabili allora $ =AB $, sfruttando il fatto che i sottogruppi sono tutti normali e quindi permutabili tra loro.
Si fa così?

[Martino]

Entrambe le inclusioni sono ovvie.

[maybe1]

Grazie sei stato gentilissimo.