Gruppo di ordine $pqr$ con $p,q,r$ primi e $p<q<r$

[francicko]

Sia $G$ un gruppo di ordine $pqr$ con $p Ora facilmente si pùò dimostrare che sicuramente tale gruppo avrà un sylow normale in $G$, questo lo si può fare utilizzando i teoremi di sylow, e facendo vedere che se così non fosse il numero di elementi distinti in $G$ risulterebbe maggiore dello stesso ordine di $G$,assurdo, pertanto deve contenere almeno un sylow unico e quindi normale in $G$.
Ma non riesco a capire come si possa dimostare che tale sylow sia proprio l'$r$ sylow!

[Studente Anonimo]

Ciao francicko,

ti chiederei di inserire un titolo che specifichi l'argomento (clicca su "modifica" nel tuo intervento).

Poi ti invito a consultare più spesso il compendio/raccolta, in cui trovi che quanto proponi si è già discusso qui (e anche qui).

[menale1]

La normalità puoi anche dimostrarla dicendo che l'indice che ottieni è il più piccolo primo che divide l'ordine del gruppo !

[menale1]

Essendo r il maggiore tra i tre primi l'indice deve essere il più piccolo primo che divide l'ordine di G , quindi ottieni la normalità di quell'r-sgr di Sylow , la cui esistenza ti è garantita dal teorema di Sylow stesso !

[Studente Anonimo]

"menale":Essendo r il maggiore tra i tre primi l'indice deve essere il più piccolo primo che divide l'ordine di G , quindi ottieni la normalità di quell'r-sgr di Sylow , la cui esistenza ti è garantita dal teorema di Sylow stesso !

No, attento, l'indice di un [tex]r[/tex]-Sylow non è un numero primo.

[menale1]

Si , ho detto un'ERESIA !

[francicko]

Che esiste almeno un sylow normale in $G$ questo lo asserisco con certezza in quanto avendo fatto il conto diversamente si sforerebbe la cardinalità di $G$, partendo da ciò, ed indicando rispettivamente con $P$ il $p$-sylow, con $Q$ il $q$-sylow, e con $R$ l'$r$-sylow, una delle considerazioni che si possono fare è che analizzando il caso che sia $P$ il sottogruppo normale e quindi unico del suo ordine, il sottogruppo $PQ$ sicuramente risulterà essere ciclico in quanto di sottogruppi di ordine $pq$con $p

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[menale1]

Io proporrei di ragionare per assurdo , imponendo l'esistenza di più r-sgr di Sylow e pervenire in tal modo ad un assurdo che permetta di confermare la normalità dello stesso . Però mi scappa quest'assurdo .....:/

[francicko]

Non so proprio se sia questa la strada giusta!
Comunque ieri mi era venuta in mente la seguente : se riuscissi a dimostrare con i teoremi di sylow che tale gruppo
deve possedere almeno due sottogruppi unici e quindi normali in $G$ allora potrei concludere nel modo seguente:
se uno dei due sottogruppi è $R$ cioè l'$r$-sylow ,avrei concluso!
Se invece i sottogruppi unici risultano $P$ ed $Q$, essendo ambedue normali anche il loro prodotto $PQ$ sicuramente
risulterebbe un sottogruppo normale in$G$, inoltre sicuramente posso affermare che l'intersezione dei due sottogruppi $PQ$ ed $R$ è l'elemento neutro, ossia $PQnnR=(e)$, a questo punto avrei le condizioni per potere asserire che tale gruppo
$G$ è il risultato del prodotto semidiretto tra il sottogruppo $R$ ed il sottogruppo $PQ$,e quindi riuscendo a dimostrare che l'unico omomorfismo strutturale possibile che va da $R$ in $Aut(PQ)$ è quello identico otterrei la normalità di $R$.

[menale1]

mmmmmm , bisogna capire quale strada presenti meno cavilli teorici....

[Studente Anonimo]

francicko, le tue osservazioni sono pertinenti. Però non è chiaro come intendi fare quello che dici.

Hai provato a leggere quello che ho scritto qui?

Lo riscrivo con un po' più di dettagli: supponiamo che gli [tex]r[/tex]-Sylow non siano normali, e sia [tex]R[/tex] uno di essi. Allora [tex]R[/tex] ha [tex]pq[/tex] coniugati (per i teoremi di Sylow), e quindi in [tex]G[/tex] ci sono in totale [tex]pq(r-1)[/tex] elementi di ordine [tex]r[/tex], quindi [tex]pq[/tex] elementi di ordine diverso da [tex]r[/tex]. Se i [tex]q[/tex]-Sylow non sono normali allora ce ne sono in totale [tex]r[/tex] oppure [tex]pr[/tex], in ogni caso ce ne sono almeno [tex]r[/tex], quindi ci sono almeno [tex]r(q-1)[/tex] elementi di ordine [tex]q[/tex], da cui, siccome ci sono almeno [tex]p[/tex] elementi di ordine [tex]\leq p[/tex], da quanto detto sopra segue [tex]p+r(q-1) \leq pq[/tex], da cui [tex](r-p)q \leq r-p[/tex], assurdo. Segue che i [tex]q[/tex]-Sylow sono normali. Sia [tex]Q[/tex] il [tex]q[/tex]-Sylow di [tex]G[/tex].

Ora [tex]RQ/Q[/tex] è un [tex]r[/tex]-Sylow di [tex]G/Q[/tex], che è un gruppo di ordine [tex]pr[/tex], e segue dai teoremi di Sylow che [tex]RQ/Q \unlhd G/Q[/tex]. Segue che [tex]RQ \unlhd G[/tex], quindi gli [tex]r[/tex]-Sylow di [tex]G[/tex] sono tutti contenuti in [tex]RQ[/tex], che è un gruppo di ordine [tex]qr[/tex]. Segue dai teoremi di Sylow che gli [tex]r[/tex]-Sylow di [tex]RQ[/tex] sono normali, assurdo.

[menale1]

Credevo fosse più banale l'assunto ..... Grazie Martino !

[francicko]

Osservo che indicando con $n_i$ genericamente, il numero degli $i$- sottogruppi di sylow distinti in $G$, abbiamo le seguenti possibilità di scelta:
$n_p=1,n_p=q,n_p=r,n_p=qr$.
$n_q=1,n_q=r,n_q=pr$.
$n_r=1,n_r=pq$.
Consideriamo il sguente caso limite di scelta:
Sia $n_p=q, n_q=r,n_r=pq$,
mi chiedo quanti elementi distinti a questo punto avrò in $G$, e calcolando ottengo:
$1+q(p-1)+r(q-1)+pq(r-1)=1+qp-q+rq-r+pqr-pq=1+rq+pqr-(q+r)>pqr$ facilmente perchè $rq>q+r$, pertanto questo caso non potrà sussistere perchè viola la cardinalità di $G$.
A questo punto necessariamente deve esserci almeno un sylow unico e quindi normale in $G$.
Se suppongo sia $R$ avrei evidentemente concluso!
Analizziamo il caso in cui sia $n_r!=1$ cioè $n_r=pq$, quindi $R$ non unico pertanto non normale in $G$,e
supponiamo invece che sia $P$ cioè $n_p=1$ allora calcolando avrò $p+r(q-1)+pq(r-1)=p+rq-r+pqr-pq=pqr+(p+rp)-(r+pq)$ elementi distinti in $G$ ma $p+rq>r+pq$ e ciò viola ancora la cardinalità pertanto se $P$ è unico(normale) implica che $n_q=1$ e quindi $Q$ è normale in $G$.
Diversamente però se suppongo che sia $n_q=1$ quindi $Q$ normale osservo che:
$q(p-1)+q+pq(r-1)=pq-q+q+pqr-pq=pqr$ tale condizione non violerebbe la cardinalità di $G$ pertanto se sussiste tale condizione, $Q$ normale non implica che $P$ sia unico e quindi normale.Molto probabilmente avrò commesso degli errori
comunque se qualcuno cortesemente potrebbe darmi un parere sulla veridicità o meno di queste osservazioni, lo ringrazio anticipatamente e resto in attesa.

[menale1]

Sembra convincente , ma la dimostrazione di Martino è più lineare

[francicko]

Navigando in internet, ho visto proposto un esercizio che asseriva che sfruttando i teoremi di Sylow e la cardinalità di $G$ è possibile dimostrare che almeno due dei sottogruppi $P,Q,R$ debbano risultare necessariamente normali, ma l'ultimo postato(sopra) da me posto lo smentirebbe! Qualcuno potrebbe cortesemente fornirmi qualche delucidazione a riguardo?Grazie!

[Studente Anonimo]

"francicko":... tale condizione non violerebbe la cardinalità di $G$ pertanto se sussiste tale condizione, $Q$ normale non implica che $P$ sia unico e quindi normale.

Questa tua conclusione dice solo che non riesci a dimostrare che almeno due tra P,Q,R sono normali, non dice che ciò è falso.

"francicko":Navigando in internet, ho visto proposto un esercizio che asseriva che sfruttando i teoremi di Sylow e la cardinalità di G è possibile dimostrare che almeno due dei sottogruppi P,Q,R debbano risultare necessariamente normali, ma l'ultimo postato(sopra) da me posto lo smentirebbe!

Non è vero che lo smentirebbe (vedi cosa ti ho scritto sopra). E comunque quanto dice questo esercizio è falso, per esempio detto [tex]G=C_{31} \rtimes C_{15}[/tex] (dove l'omomorfismo [tex]C_{15} \to \text{Aut}(C_{31}) \cong C_{30}[/tex] è l'inclusione), il 3-Sylow e il 5-Sylow sono entrambi non normali.

"francicko":Navigando in internet, ho visto proposto un esercizio [...]

Dove hai trovato questo esercizio su internet? Potresti fornirci il link?

[menale1]

Martino che ne dici di procedere per assurdo ???

[Studente Anonimo]

Per dimostrare cosa? Non mi sembra che sia rimasto niente in sospeso da dimostrare.

[menale1]

Come strada alternativa !!!!!

[Studente Anonimo]

Dovresti dilungarti un po' in dettagli, non capisco cosa vuoi dire. Parli di quello che proponeva di dimostrare francicko nel suo primo intervento? In questo caso "procedere per assurdo" e' quello che ho fatto: ho iniziato dicendo "supponiamo che gli r-Sylow non siano normali" e ho concluso con "assurdo".

[menale1]

Chiedo Venia !!!