Gruppo di ordine $pqr$ con $p,q,r$ primi e $p<q<r$
Sia $G$ un gruppo di ordine $pqr$ con $p
Ma non riesco a capire come si possa dimostare che tale sylow sia proprio l'$r$ sylow!
Ma non riesco a capire come si possa dimostare che tale sylow sia proprio l'$r$ sylow!
Risposte
Hai ragione Martino, non ci sembrano essere alternative alla dimostrazione che tu hai fornito, per quanto riguarda il link
é una cosa che ho letto di sfuggita navigando su ienternet, per cui non ricordo esattamente dove, se riesco a ricordarmelo,
te lo comunico, comunque si tratta di un esercizio che fa venire in mente tante idee, anche se non necessariamente fruttuose!
é una cosa che ho letto di sfuggita navigando su ienternet, per cui non ricordo esattamente dove, se riesco a ricordarmelo,
te lo comunico, comunque si tratta di un esercizio che fa venire in mente tante idee, anche se non necessariamente fruttuose!
Riprendendo quanto ho detto a pagina $2$ in questo postato, e cioè che in $G$ per Sylow deve esserci almeno un sottogruppo unico e quindi normale in $G$, se questo è il sottogruppo $R$ avrei concluso, in quanto l'asserto è dimostrato!
Partiamo quindi dall'ipotesi che $R$ sia non unico e quindi non normale in $G$!
Se suppongo che sia invece $P$ il sottogruppo unico e quindi normale in $G$, questo implica che anche il sottogruppo $Q$ è normale in $G$(vedi quanto scritto da me in precedenza), per cui il sottogruppo $PQ$ risulta conseguentemente normale in $G$, inoltre $PQnnR=(e)$, ed a questo punto ho le condizioni per concludere che tale gruppo è il risultato del prodotto semidiretto tra il stgp $R$ ed il stgp $PQ$,ora riuscendo a dimostrare che l'unico omomorfismo strutturale possibile che va da $R$ in $Aut(PQ)$ è quello identico, ottengo che $G$ è il prodotto diretto tra $R$ ed $PQ$, cioè $R$ normale in $G$; Questo sembra essere vero perchè essendo $|Aut(PQ)|=(p-1)(q-1)q$, sicuramente $r$ non divide $Aut(PQ)$ in quanto non ne divide nessuno dei fattori, e da qui l'asserto!
Se suppongo invece che sia $Q$ unico e quindi normale in $G$,questo non implica che necessariamente $P$ sia unico quindi normale in $G$(vedi quanto scritto da me in precedenza),però anche se $P$ non è unico $PQ$ sottogruppo deve necessariamente contenere tutti gli altri sottogruppi di ordine $p$, in quanto per Sylow questi risultano essere esattamente
in numero di $q$, in $G$; da ciò deduco facilmente che $PQ$ risulta lo stesso normale in $G$, e proseguendo ugualmente
come sopra ottengo l'asserto!
Quindi il nocciolo della questione sta nel fatto che anche se dei due sottogruppi $P$, ed $Q$, uno soltanto dei due risulta unico e quindi normale in $G$, questo comunque comporta che ugualmente il sottogruppo $PQ$ risulta in conseguenza normale in $G$.
Spero che quanto ho asserito sia esatto! Se così fosse, tutto ciò sarebbe un altra dimostrazione del fatto che in qualsiasi caso il sottogruppo $R$ risulta normale e quindi unico in $G$.
In attesa di una valutazione di quanto qui esposto, vi invio cordiali saluti!
Partiamo quindi dall'ipotesi che $R$ sia non unico e quindi non normale in $G$!
Se suppongo che sia invece $P$ il sottogruppo unico e quindi normale in $G$, questo implica che anche il sottogruppo $Q$ è normale in $G$(vedi quanto scritto da me in precedenza), per cui il sottogruppo $PQ$ risulta conseguentemente normale in $G$, inoltre $PQnnR=(e)$, ed a questo punto ho le condizioni per concludere che tale gruppo è il risultato del prodotto semidiretto tra il stgp $R$ ed il stgp $PQ$,ora riuscendo a dimostrare che l'unico omomorfismo strutturale possibile che va da $R$ in $Aut(PQ)$ è quello identico, ottengo che $G$ è il prodotto diretto tra $R$ ed $PQ$, cioè $R$ normale in $G$; Questo sembra essere vero perchè essendo $|Aut(PQ)|=(p-1)(q-1)q$, sicuramente $r$ non divide $Aut(PQ)$ in quanto non ne divide nessuno dei fattori, e da qui l'asserto!
Se suppongo invece che sia $Q$ unico e quindi normale in $G$,questo non implica che necessariamente $P$ sia unico quindi normale in $G$(vedi quanto scritto da me in precedenza),però anche se $P$ non è unico $PQ$ sottogruppo deve necessariamente contenere tutti gli altri sottogruppi di ordine $p$, in quanto per Sylow questi risultano essere esattamente
in numero di $q$, in $G$; da ciò deduco facilmente che $PQ$ risulta lo stesso normale in $G$, e proseguendo ugualmente
come sopra ottengo l'asserto!
Quindi il nocciolo della questione sta nel fatto che anche se dei due sottogruppi $P$, ed $Q$, uno soltanto dei due risulta unico e quindi normale in $G$, questo comunque comporta che ugualmente il sottogruppo $PQ$ risulta in conseguenza normale in $G$.
Spero che quanto ho asserito sia esatto! Se così fosse, tutto ciò sarebbe un altra dimostrazione del fatto che in qualsiasi caso il sottogruppo $R$ risulta normale e quindi unico in $G$.
In attesa di una valutazione di quanto qui esposto, vi invio cordiali saluti!
"francicko":Non è detto che [tex]n_p=q[/tex], potrebbe essere [tex]n_p=rq[/tex] (devi discutere questo caso).
anche se $P$ non è unico $PQ$ sottogruppo deve necessariamente contenere tutti gli altri sottogruppi di ordine $p$, in quanto per Sylow questi risultano essere esattamente in numero di $q$, in $G$; da ciò deduco facilmente che $PQ$ risulta lo stesso normale in $G$, e proseguendo ugualmente come sopra ottengo l'asserto!
Quello che dici su [tex]\text{Aut}(PQ)[/tex] è falso, per esempio [tex]\text{Aut}(S_3)=S_3[/tex].
Per come hai impostato la dimostrazione non è chiaro perché quello che dici basta a concludere. Ti consiglio di osservare che in generale se [tex]R[/tex] non è normale allora [tex]Q[/tex] è normale (se guardi, quando dimostri che se [tex]R[/tex] non è normale e [tex]P[/tex] è normale allora [tex]Q[/tex] è normale non usi mai la normalità di [tex]P[/tex]).
Scusa se insisto, ma supponendo $Q$ unico e quindi normale,ed $R$ sempre non normale,e quindi non unico, i casi $1+kp=r$ ed $1+kp=rq$ non possono sussistere perchè violano la cardinalità di $G$, infatti:
$1+kp=r$ implica $r(p-1)+q+pq(r-1)=rp-r+q+pqr-pq>pqr$ quindi impossibile!
$1+kp=rq$ implica $rq(p-1)+q+pq(r-1)=pqr-rq+q+pqr-pq>pqr$ quindi impossibile!
$1+kp=q$ implica $q(p-1)+q+pq(r-1)=qp-q+q+pqr-qp=pqr$ quindi possibile!
In totale devono esserci $q(p-1)+q=pq$ elementi distinti che non sono di ordine $r$.
Adesso $PQ$ risulta essere intanto un sottogruppo perchè $Q$ normale in $G$, inoltre è di ordine $pq$, quindi deve contenere tutti gli elementi distinti che non sono di ordine $r$, in particolare deve contenere tutti i sottogruppi di ordine $p$ che sono esattamente in numero di $q$, ciò è possibile perchè un gruppo siffatto(non ciclico di ordine $pq$) esiste,
ma questo comporta che $PQ$ sia unico in $G$ e quindi normale! Adesso procedendo come sappiamo arrivo ad un assurdo
cioè che $R$ è normale avendolo supposto non tale, e da qui l'asserto!
Inoltre è vero che $Aut(S_3)=S_3$, infatti $|Aut(S_3)|=(2-1)(3-1)3=(1)(2)(3)=6$ quindi non contraddice ciò che io affermo
e cioè che $|Aut(PQ)|=(p-1)(q-1)q$.
$1+kp=r$ implica $r(p-1)+q+pq(r-1)=rp-r+q+pqr-pq>pqr$ quindi impossibile!
$1+kp=rq$ implica $rq(p-1)+q+pq(r-1)=pqr-rq+q+pqr-pq>pqr$ quindi impossibile!
$1+kp=q$ implica $q(p-1)+q+pq(r-1)=qp-q+q+pqr-qp=pqr$ quindi possibile!
In totale devono esserci $q(p-1)+q=pq$ elementi distinti che non sono di ordine $r$.
Adesso $PQ$ risulta essere intanto un sottogruppo perchè $Q$ normale in $G$, inoltre è di ordine $pq$, quindi deve contenere tutti gli elementi distinti che non sono di ordine $r$, in particolare deve contenere tutti i sottogruppi di ordine $p$ che sono esattamente in numero di $q$, ciò è possibile perchè un gruppo siffatto(non ciclico di ordine $pq$) esiste,
ma questo comporta che $PQ$ sia unico in $G$ e quindi normale! Adesso procedendo come sappiamo arrivo ad un assurdo
cioè che $R$ è normale avendolo supposto non tale, e da qui l'asserto!
Inoltre è vero che $Aut(S_3)=S_3$, infatti $|Aut(S_3)|=(2-1)(3-1)3=(1)(2)(3)=6$ quindi non contraddice ciò che io affermo
e cioè che $|Aut(PQ)|=(p-1)(q-1)q$.
Io non sto dicendo che scrivi cose false, dico solo che prima non avevi fatto una discussione completa, che invece ora hai fatto:
A parte la storia di [tex]\text{Aut}(PQ)[/tex] (che rimane aperta), le osservazioni che ti ho fatto sono di forma, non di sostanza.
"francicko":Fin qui ok, ti ricordo solo che alla fine di questo argomento dovrai dimostrare che [tex]Q[/tex] e' effettivamente normale. Cosa che hai gia' fatto! (cf. il mio intervento precedente) Ma andrebbe scritto meglio.
supponendo $Q$ unico e quindi normale,ed $R$ sempre non normale,e quindi non unico, i casi $1+kp=r$ ed $1+kp=rq$ non possono sussistere perchè violano la cardinalità di $G$, infatti:
$1+kp=r$ implica $r(p-1)+q+pq(r-1)=rp-r+q+pqr-pq>pqr$ quindi impossibile!
$1+kp=rq$ implica $rq(p-1)+q+pq(r-1)=pqr-rq+q+pqr-pq>pqr$ quindi impossibile!
$1+kp=q$ implica $q(p-1)+q+pq(r-1)=qp-q+q+pqr-qp=pqr$ quindi possibile!
In totale devono esserci $q(p-1)+q=pq$ elementi distinti che non sono di ordine $r$.Non e' detto (potrebbe essere vero come no, non lo so, non hai argomentato), e comunque questo non e' necessario per dimostrare che [tex]PQ[/tex] e' normale, basta osservare che dovendo essere [tex]n_p=q[/tex] tutti i [tex]p[/tex]-Sylow stanno in [tex]PQ[/tex], come hai fatto nell'intervento precedente. Da questo la normalita' di [tex]PQ[/tex] segue immediatamente.
Adesso procedendo come sappiamo arrivo ad un assurdoL'informazione che dici di avere su [tex]\text{Aut}(PQ)[/tex] non l'hai dimostrata. [cancello il resto, sono considerazioni non pertinenti].
cioè che $R$ è normale avendolo supposto non tale, e da qui l'asserto!
A parte la storia di [tex]\text{Aut}(PQ)[/tex] (che rimane aperta), le osservazioni che ti ho fatto sono di forma, non di sostanza.
Provo a spegarmi meglio al fine di arrivare alla soluzione del problema.
La condizione che si pùò rendere possibile e che ci interessa è come già osservato in precedenza la seguente:
$1+kp=q$, $1+kq=1$, $1+kr=pq$.
In questa situazione avremo:
esattamente $(p-1)q=pq-q$ elementi distinti di ordine $p$;
esattamente $q$ elementi distinti di ordine $q$;
esattamente $pq(r-1)=pqr-pq$ elementi distinti di ordine $r$;
Essendo il sottogruppo di ordine $q$, che indico con $Q$, unico, è sicuramente normale in $G$.
Indicato con $P$ uno dei sottogruppi di ordine $p$, si avrà che $PQ$ sarà sicuramente un sottogruppo in quanto
$Q$ è normale in $G$.
$PQ$ contiene contiene esattamente $pq$ elementi distinti, che sicuramente non saranno di ordine $r$, e dovrà però contenere necessariamente il sottogruppo di ordine $q$ cioè $Q$, ed i $q$ sottogruppi di ordine $p$ i cui elementi distinti sono in totale $pq$ , questo mi dice che deve essere normale,in $G$.
Penso che su questo non ci siano dubbi!
Ora essendo $PQ$ normale,si avrà essendo $PQnnR=(e)$, $(PQ)R=G$, ora l'unica possibilità è che $G$ risulti prodotto
diretto di $(PQ)xxR$,in quanto l'unico omorfismo strutturale che va da $R->Aut(PQ)$ è quello identico, essendo che $r$ non divide $|Aut(G)|=(p-1)(q-1)q$,ma questo porterebbe ad un assurdo in quanto $R$ risulterebbe normale, avendolo supposto non normale cioè non unico, e da qui la tesi.
Resto in attesa di una risposta,grazie!
La condizione che si pùò rendere possibile e che ci interessa è come già osservato in precedenza la seguente:
$1+kp=q$, $1+kq=1$, $1+kr=pq$.
In questa situazione avremo:
esattamente $(p-1)q=pq-q$ elementi distinti di ordine $p$;
esattamente $q$ elementi distinti di ordine $q$;
esattamente $pq(r-1)=pqr-pq$ elementi distinti di ordine $r$;
Essendo il sottogruppo di ordine $q$, che indico con $Q$, unico, è sicuramente normale in $G$.
Indicato con $P$ uno dei sottogruppi di ordine $p$, si avrà che $PQ$ sarà sicuramente un sottogruppo in quanto
$Q$ è normale in $G$.
$PQ$ contiene contiene esattamente $pq$ elementi distinti, che sicuramente non saranno di ordine $r$, e dovrà però contenere necessariamente il sottogruppo di ordine $q$ cioè $Q$, ed i $q$ sottogruppi di ordine $p$ i cui elementi distinti sono in totale $pq$ , questo mi dice che deve essere normale,in $G$.
Penso che su questo non ci siano dubbi!
Ora essendo $PQ$ normale,si avrà essendo $PQnnR=(e)$, $(PQ)R=G$, ora l'unica possibilità è che $G$ risulti prodotto
diretto di $(PQ)xxR$,in quanto l'unico omorfismo strutturale che va da $R->Aut(PQ)$ è quello identico, essendo che $r$ non divide $|Aut(G)|=(p-1)(q-1)q$,ma questo porterebbe ad un assurdo in quanto $R$ risulterebbe normale, avendolo supposto non normale cioè non unico, e da qui la tesi.
Resto in attesa di una risposta,grazie!
Come ti ripeto,
"francicko":questo non l'hai dimostrato. Lo stai dando per buono? Allora devi dare una referenza.
$|Aut(G)|=(p-1)(q-1)q$
"Martino":questo non l'hai dimostrato. Lo stai dando per buono? Allora devi dare una referenza.[/quote].......Come lo si dimostra , Martino ??? C'ho pensato per un po' di tempo , m a non ne vengo a capo !
Come ti ripeto,[quote="francicko"]$|Aut(G)|=(p-1)(q-1)q$
Ok , perfetto , Martino, chiarissimo come sempre !!!
La formula l'ho trovata su internet, solo che non riesco a trovare più il link, se lo reperisco ve lo indico, comunque la cosa che mi lascia perplesso è che funziona, inoltre per asserire che è falso bisogna mostrare un esempio di un gruppo $G$ non ciclico di ordine $pq$ con $p$,$q$, primi distinti,con $p
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