Gruppo di ordine 60
Salve ragazzi, mi sono imbattuto in questo simpatico esercizietto:
Sia $G$ un gruppo di ordine $60$. Dire se è vero o falso che:
i) $G$ ha sempre un sottogruppo normale non banale
ii) $G$ è sempre un gruppo semplice
Allora, per il punto i) ho provato ad applicare i Teoremi di Sylow. $60$ si fattorizza come $60=2^2*3*5$ quindi, detti $s_2$, $s_3$ ed $s_5$ rispettivamente il numero dei $2$-Sylow, dei $3$-Sylow e dei $5$-Sylow, deve risultare
$s_2|15$, $s_2-=1 mod 2$ $=>$ $s_2 in {1,3,5,15}$
$s_3|20$, $s_3-=1 mod 3$ $=>$ $s_3 in {1,4,10}$
$s_5|12$, $s_5-=1 mod 5$ $=>$ $s_5 in {1,6}$
Non riesco purtroppo a trovare un unico $p$-Sylow, per poter dire che è normale in $G$.
Come si procede in questi casi?
Sia $G$ un gruppo di ordine $60$. Dire se è vero o falso che:
i) $G$ ha sempre un sottogruppo normale non banale
ii) $G$ è sempre un gruppo semplice
Allora, per il punto i) ho provato ad applicare i Teoremi di Sylow. $60$ si fattorizza come $60=2^2*3*5$ quindi, detti $s_2$, $s_3$ ed $s_5$ rispettivamente il numero dei $2$-Sylow, dei $3$-Sylow e dei $5$-Sylow, deve risultare
$s_2|15$, $s_2-=1 mod 2$ $=>$ $s_2 in {1,3,5,15}$
$s_3|20$, $s_3-=1 mod 3$ $=>$ $s_3 in {1,4,10}$
$s_5|12$, $s_5-=1 mod 5$ $=>$ $s_5 in {1,6}$
Non riesco purtroppo a trovare un unico $p$-Sylow, per poter dire che è normale in $G$.
Come si procede in questi casi?
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