Gruppo di ordine 6 isomorfo a S3

[IngegnerCane1]

Ciao a tutti,
c'è una parte di questo teorema che non ho capito:
TEOREMA:
Un gruppo di ordine 6 è isomorfo a ($Z_6$,+) oppure a ($S_3$°).
Dimostrazione:
Sia (G,$*$) un gruppo di ordine 6. Dal teorema di Sylow deduciamo che G ha
- un sottogruppo $H_0$ di ordine 3
- un sottogruppo $H_1$ di ordine 2
Dunque
- un elemento a di ordine 3 per il quale $H_0$= = {$1_G$,a, $a^2$}
- un elemento b di ordine 2 per il quale $H_1$= = {$1_G$,b}
ovviamente b non appartiene ad $H_0$.
Segue che gli elementi $1_G$,a , $a^2$, b, a$*$b, $a^2$ $*$b
sono tra loro distinti ed esauriscono dunque i sei posti a disposizione in G.
Sappiamo poi che $a^3$=$b^2$=$1_G$.
Consideriamo allora b$*$a che deve trovare posto in G e dunque coincidere con uno dei sei elementi elencati.
E' semplice escludere b$*$a=$1_G$,a,$a^2$,b altrimenti b=$a^2$,b=$1_G$, b=a, a=$1_G$ rispettivamente.
Restano allora due possibilità
1-$b*a=a*b$, in questo caso G è abeliano e si vede facilmente che è prodotto diretto interno di $H_0$ e $H_1$ e quindi isomorfo a ($Z_6$,+)
2-$b*a$=$a^2$$*$b, se ne deduce che G è isomorfo a $S_3$.

Io non ho capito il punto 2. Come fa a dedurne che G è isomorfo a $S_3$?

Grazie a tutti

[apatriarca]

Perché quella particolare relazione vale per i corrispondenti valori in \(S_3\). Puoi per esempio considerare \((1\;2\;3)\) come \(a\) e \((1\;2)\) come \(b\). I relativi sottogruppi sono infatti degli ordini richiesti. Hai quindi che \(b \cdot a = (1\;2)\,(1\;2\;3) = (2\;3)\) e che \(a^2 \cdot b = (1\;3\;2)\,(1\;2) = (2\;3)\). Abbiamo inoltre che \(a \cdot b = (1\;2\;3)\,(1\;2) = (1\;3)\) è l'ultimo elemento mancante di \(S_3\).